专题09 一元一次方程的五种特殊形式-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题09 解一元一次方程的五种特殊形式 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据方程解的个数来确定字母系数 2 类型二、根据方程定解的情况来确定字母系数 3 类型三、根据相同的解来确定字母系数 3 类型四、根据整数解的情况来确定字母系数 4 压轴能力测评 5 1.含字母系数的方程 当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b的形式,结合方程解的特征,去寻求解题思路。 2根据方程解的个数来确定字母系数 当字母a,b的取值范围未给出时,方程ax=b的解应根据a,b的取值范围分类讨论， (1)当a≠0时,方程有唯一解,x=-; (2)当a=0,且b=0时,方程有无数解; (3)当a=0,且b≠0时,方程无解。 3.含绝对值的一元一次方程 当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分类讨论解决问题,例如,由ax+b＝C,可得ax+b=c或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上述思想策略求解. 类型一、根据方程解的个数来确定字母系数 当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b的形式,结合方程解的特征,去寻求解题思路。 例．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【变式训练1】．解关于x的方程 【变式训练2】．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 【变式训练3】．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 类型二、根据方程定解的情况来确定字母系数 一般将解代入原方程，求得字母参数，要记得未知数的系数为字母时需要分类讨论。 例．关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 【变式训练1】．关于的方程的解为时，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【变式训练3】．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 类型三、根据相同的解来确定字母系数 一般将其中一个方程解出来，再把解代入另一个含参的方程，即可确定字母系数。 例．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．关于x的一元一次方程和的解相同，则k的值为（   ） A． B．11 C． D．13 【变式训练3】．若关于的方程的解和方程的解相同，则的值为（   ） A．7 B．2 C．1 D． 类型四、根据整数解的情况来确定字母系数 当字母a,b的取值范围未给出时,方程ax=b的解应根据a,b的取值范围分类讨论 (1)当a≠0时,方程有唯一解,x=-; (2)当a=0,且b=0时,方程有无数解; (3)当a=0,且b≠0时,方程无解。 例．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式训练1】．已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（    ） A．8 B．0 C． D． 【变式训练2】．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练3】．若关于x的方程的解是整数，则满足条件的整数k的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 类型五、含绝对值的一元一次方程 当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分类讨论解决问题,例如,由ax+b＝C,可得ax+b=c或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上述思想策略求解. 例．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练1】．关于x的方程的解满足，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．当时，关于x的方程的解的情况是（　　） A．方程只有1个解 B．方程有2个解 C．方程有无数个解 D．方程无解 【变式训练3】．已知关于x的方程2x=8与x+2＝－k的解相同，则代数式　的值是（    ） A．－ B． C．－ D． 1．已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ． 2．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 3．关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 4．已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 5．方程与方程的解相同， ． 6．嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“”被污染了． （1）若嘉嘉猜“”是，则原方程的解为 ， （2）老师说：“此方程的解是正整数且常数为正整数”，则被污染的常数“”是 ． 7．如果关于的方程的解是2，则的值是 ． 8．若在□填上一个数，使方程与方程：有相同的解，则□应填的数是 ． 9．已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 10．定义：关于的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”． 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解一元一次方程的五种特殊形式 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据方程解的个数来确定字母系数 2 类型二、根据方程定解的情况来确定字母系数 5 类型三、根据相同的解来确定字母系数 6 类型四、根据整数解的情况来确定字母系数 8 压轴能力测评 12 1.含字母系数的方程 当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b的形式,结合方程解的特征,去寻求解题思路。 2根据方程解的个数来确定字母系数 当字母a,b的取值范围未给出时,方程ax=b的解应根据a,b的取值范围分类讨论， (1)当a≠0时,方程有唯一解,x=-; (2)当a=0,且b=0时,方程有无数解; (3)当a=0,且b≠0时,方程无解。 3.含绝对值的一元一次方程 当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分类讨论解决问题,例如,由ax+b＝C,可得ax+b=c或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上述思想策略求解. 类型一、根据方程解的个数来确定字母系数 当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b的形式,结合方程解的特征,去寻求解题思路。 例．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程，理解“反对方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）根据“反对方程”的定义，得到，，求解即可； （3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程与方程互为“反对方程”， ． （2）解： 关于x的方程与方程互为“反对方程”， ，， 解得，， （3）解：关于x的方程的“反对方程”为， 由方程，得， 方程有整数解， ，得， 和都为整数， 或， 解得或． 【变式训练1】．解关于x的方程 【答案】当时，原方程无解；当时，原方程的为． 【分析】先移项可得，然后对和两种情况解答即可． 【详解】解：可得， ①即时原方程无解， ②即时． 综上，当时，原方程无解； 当时，原方程的为． 【点睛】本题主要考查了解含参数的一元一次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式训练2】．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于m的方程，解之即可求得m； （2）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于a，b的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值； （3）先求出两个方程的解，由“差解方程”的意义分别得到关于m，n的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值． 【详解】（1）解：解关于的一元一次方程，得， 由于是“差解方程”， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：解关于的一元一次方程，得：， 由于关于的一元一次方程即是“差解方程”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：18； （3）解：由，解得， 由题意得：， 解得：； 由，解得， 由题意得：， 解得：， ∴ ． 【变式训练3】．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 类型二、根据方程定解的情况来确定字母系数 一般将解代入原方程，求得字母参数，要记得未知数的系数为字母时需要分类讨论。 例．关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次方程有无数个解的情况． 利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解： ， 方程有无数多个解， ∴，，解得，， ∴， 故选：C． 【变式训练1】．关于的方程的解为时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解、求代数式的值等知识，理解方程的解的定义和整体思想是解题关键． 将代入方程，整理化简，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得：， 化简得：， 故选． 【变式训练2】．若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 【变式训练3】．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据题意求出，代入即可得出结果． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故选：D． 类型三、根据相同的解来确定字母系数 一般将其中一个方程解出来，再把解代入另一个含参的方程，即可确定字母系数。 例．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，同解方程就是解相同的方程，先求出第一个方程的解是解题的关键． 求出两个方程的解，根据两个方程的解相同，得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式训练1】．关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，解方程，将它的解代入方程，求出的值即可．掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 将代入方程， 得：， 解得：， ∴的值是． 故选：D． 【变式训练2】．关于x的一元一次方程和的解相同，则k的值为（   ） A． B．11 C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知识点，能得出关于的方程是解此题的关键． 先求出第一个方程的解，把求出的代入第二个方程，再求出即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的方程和1)的解相同， ∴把代入方程得：， 解得：， ∴当时，关于的方程和的解相同． 故选：C． 【变式训练3】．若关于的方程的解和方程的解相同，则的值为（   ） A．7 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同解方程以及解一元一次方程，先解一元一次方程，得到x的值．然后代入方程，即可得到答案． 【详解】解：， 整理得：， 解得， 把代入得： ， 解得：， 故选：C． 类型四、根据整数解的情况来确定字母系数 当字母a,b的取值范围未给出时,方程ax=b的解应根据a,b的取值范围分类讨论 (1)当a≠0时,方程有唯一解,x=-; (2)当a=0,且b=0时,方程有无数解; (3)当a=0,且b≠0时,方程无解。 例．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得是5的约数，得出满足题意的所有k值，算出和即可． 【详解】解：先求解方程， 解得：， ∵x为整数，且k是正整数， ∴或者 ∴k的值为1或3， ∴所有k值的和为， 故选：A． 【变式训练1】．已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（    ） A．8 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的特殊解计算，分类计算解答即可．本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键． 【详解】当时，，解得，不是负整数解，不符合题意； 当时，变形得， 若时，方程无解，不符合题意； 当且时，解得， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或， 解得或， ∴整数的所有取值之和为， 故选D． 【变式训练2】．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为，得到关于的的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于的一元一次方程，解之即可，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 由关于的方程的解是整数解， 则整数或或，共个， 故选：． 【变式训练3】．若关于x的方程的解是整数，则满足条件的整数k的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．解方程时，整理可得；要使方程的解为整数，则，或，或，由此即可得出k的值． 【详解】解：， 移项，得， 解得． ∵方程的解为整数， ∴，或，或， ∴或或0或或或． ∴k的值共有6个． 故选：D． 类型五、含绝对值的一元一次方程 当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分类讨论解决问题,例如,由ax+b＝C,可得ax+b=c或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上述思想策略求解. 例．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，得到或，分别解一元一次方程，即可求解， 本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 【变式训练1】．关于x的方程的解满足，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，方程的解以及解一元一次方程．由绝对值的意义可得，将代入方程，得到关于的新方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：， ， 将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 【变式训练2】．当时，关于x的方程的解的情况是（　　） A．方程只有1个解 B．方程有2个解 C．方程有无数个解 D．方程无解 【答案】B 【分析】分三种情况：当、当和当时，分别化简绝对值，求解方程即可判断． 【详解】①当时，原方程为：， 解得； ②当时， 原方程为：， 此时，不符合题意，舍去； ③当时， 原方程为：， 解得． 综上：当时，关于x的方程有两个解． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的求解以及分类的思想，熟练掌握相关知识、全面分类是解题的关键． 【变式训练3】．已知关于x的方程2x=8与x+2＝－k的解相同，则代数式　的值是（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【分析】解方程可得，把代入可得，再把代入即可求值. 【详解】解：解方程， 得， ∵关于x的方程与的解相同， ∴， 解得， ∴=. 故选C. 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，根据方程与的解相同求得k的值是解决问题的关键. 1．已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】表示出两方程的解，由两方程为同解方程，求出的值，进而确定出方程的解．此题考查了同解方程，明确“同解方程即为两方程解相同的方程”是解题的关键． 【详解】解：方程，解得：， 方程，解得：， 由题意得：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：． 2．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 3．关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 4．已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 5．方程与方程的解相同， ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程解的定义，熟练掌握使方程左右两边成立的未知数的值为方程的解是解题的关键．先求出方程的解为 ，从而得到方程的解为 ，再将代入，即可求解． 【详解】解： 整理得： ， 解得： ， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为 ， ∴ ， 解得： ． 6．嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“”被污染了． （1）若嘉嘉猜“”是，则原方程的解为 ， （2）老师说：“此方程的解是正整数且常数为正整数”，则被污染的常数“”是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解一元一次方程，整数的性质等知识，准确解一元一次方程是关键． （1）依次去分母、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）设被污染的常数“”是，进而解方程得到，再根据此方程的解是正整数且常数为正整数，得到，分别代入方程的解，得到满足条件的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 故答案为：； （2）设被污染的常数“”是，则方程为 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 方程的解是正整数，且常数为正整数 ，， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上可知，的值为或，即被污染的常数“”是或， 故答案为：或． 7．如果关于的方程的解是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法， 把代入所给方程可得关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为：． 8．若在□填上一个数，使方程与方程：有相同的解，则□应填的数是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出的解，再代入方程中求出结果即可． 【详解】解：， 解得：， 方程与方程：有相同的解， 把代入 得：， ， 故答案为：18． 9．已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键； （1）把代入，再解方程即可； （2）按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可； （3）先把方程去分母整理为，由方程无解可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：把代入方程，得： ， ∴， 解得，； （2）∵， ∴（去分母时漏乘）， 把代入可得： ， 整理得：， 解得：； （3）， ∴， 整理得：， 当时，方程无解， ∴； 10．定义：关于的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”． 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】本题考查一元一次方程的拓展应用： （1）根据互为“反对方程”的定义可得答案； （2）根据互为“反对方程”的定义列出关于m和关于n的一元一次方程，可得答案． 【详解】（1）解：若方程与方程互为“反对方程”，则， 故答案为：5； （2）解：可变形为， 由题意知，，， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$