期中模拟押题密卷02【第二十一章-第二十四章】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

期中模拟押题密卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若的度数为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C在⊙O上，，则的度数为（　　） A．11° B．22° C．44° D．66° 6．2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ） A．130° B．150° C．160° D．170° 8．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知点与点关于原点O对称，则 ． 12．已知关于x的方程 的一个根为2，则另一根是 13．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是 °． 14．如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ． 15．如图，已知抛物线与轴交于，两点，顶点在轴上，则下列结论：①抛物线的解析式是；②若函数值，则的取值范围是或；③若点为抛物线上的一点，且，则点的坐标为或；④连接，为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，则有最大值为1．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．    三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 17．如图，三个顶点的坐标分别为、． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形； (2)若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根的平方等于1，求m的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 20．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ 21．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周． (1)如图1，当点F与点C重合时，若，求的长； (2)如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为 ． 23．如图，抛物线，经过点. （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； （3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟押题密卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题的关键是熟练地掌握中心对称图形和轴对称图形的判断方法．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合．根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】解：将抛物线的图象先向右平移3个单位得到：， 再向上平移4个单位得到：， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42-4×1×c＞0，解之可得答案． 【详解】解：根据题意，得：Δ=42-4×1×c＞0， 解得c＜4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 4．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若的度数为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质求出和的度数，再计算出的度数即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转角是解决本题的关键． 5．如图，点A、B、C在⊙O上，，则的度数为（　　） A．11° B．22° C．44° D．66° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，代入求出即可． 【详解】∵对的圆心角是∠AOB，对的圆周角是∠ACB，∴∠AOB=2∠ACB=2×22°=44°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键． 6．2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程增长率问题可进行求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． 7．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ） A．130° B．150° C．160° D．170° 【答案】C 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°， ∴∠ABC=60°，∠DCB=120°， ∵∠ADA′=50°， ∴∠A′DC=10°， ∴∠DA′B=130°， ∵AE⊥BC于点E， ∴∠BAE=30°， ∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′， ∴∠BA′E′=∠BAE=30°， ∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°． 故选C． 8．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上， ∴； 又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴， ∴； ∴，即①符合题意； ②由图象知，对称轴，则．故②符合题意； ③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则，故③不符合题意； ④由图象可知当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小．故④不符合题意． 综上所述，正确的结论是：①②． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图象找出抛物线的对称轴． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．过点作轴与点，确定 的长和，根据第次旋转后，点恰好在y轴的负半轴上，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴与点，    ∵点，，，且点B在第一象限内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴, ∵， ∴第次旋转后，旋转，则点恰好在y轴的负半轴上，即第次旋转后，点的坐标是． 故选：B． 10．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， ∵AP、BP是切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠ADB=55°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知点与点关于原点O对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案，正确得出的值是解题关键． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 则． 故答案为：1． 12．已知关于x的方程 的一个根为2，则另一根是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，当、为一元二次方程的两个实数根时，有，．设方程的另一根为a，利用一元二次方程根与系数的关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为a， 由题意得：， 解得：， 即另一根为， 故答案为：． 13．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是 °． 【答案】40 【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可． 【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°， ∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°， ∵AE垂直平分CD于点F， ∴∠DAE＝∠CAE＝20°， ∴∠DAC＝20°+20°＝40°， 即旋转角度数是40°， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件． 14．如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ． 【答案】46 【分析】根据切线长定理得到，从而得到，根据四边形的周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 四边形是的外切四边形， ， ， 四边形的周长， 故答案为：46． 【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 15．如图，已知抛物线与轴交于，两点，顶点在轴上，则下列结论：①抛物线的解析式是；②若函数值，则的取值范围是或；③若点为抛物线上的一点，且，则点的坐标为或；④连接，为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，则有最大值为1．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．    【答案】①②④ 【分析】利用待定系数法求解可判断①；求得点B坐标，根据图象位于x轴上方的点的横坐标范围可判断②；利用坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可判断③；求得直线的表达式，根据坐标与图形性质、三角形的面积公式，利用二次函数的性质求解可判断④，进而可得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，，则，∴， ∴抛物线的解析式是，故①正确； ∵抛物线与轴交于，两点，对称轴为y轴， ∴， 根据图象，当或时，， 即若函数值，则的取值范围是或，故②正确； 由得， ∴或， 解得或， 则满足的点的坐标为或或或， 故③错误； 设直线的表达式为， 将，代入，得，则， ∴直线的表达式为， 设，则点， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为1，故④正确， 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形等知识，利用数形结合思想求解是解答的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 解得，，； （2）解：， ， ∴， 解得，，． 17．如图，三个顶点的坐标分别为、． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形； (2)若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所求． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根的平方等于1，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出，再判断即可； （2）求出方程的根是，再代入方程，即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵方程有一个根的平方等于1， ∴此根是， 当根是1时，代入得：， 即，此时m为任何数； 当根是时，， 解得：， 综上所述，m为任意实数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“边角边”证明即可； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据全等三角形对应角相等可得，然后根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 20．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 (3)12元 【分析】(1)运用待定系数法求解即可． (2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可． (3)列方程求解，且取较大值． 【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）（元）． 答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元． （3）依题意，得， 整理，得， 解得，． ∵要让顾客获得更大实惠，∴． 答：这种菠萝蜜每千克应降价12元． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 21．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周． (1)如图1，当点F与点C重合时，若，求的长； (2)如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图：连接，根据正方形的性质可得，，再说明，然后根据勾股定理即可解答； （2）如图2，延长至Q，使，连接，再证明可得，即；然后延长交于点N，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：连接，取的中点O，连接．根据正方形的性质以及相关已知条件可得，进而得到，即点M的运动轨迹是O为圆心，为半径的圆，当与相切时，的值最小；然后说明，在上取一点T，使得，连接，可得；最后根据直角三角形的性质以及线段的和差列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：； 理由如下： 如图2，延长至Q，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：连接，取的中点O，连接． ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴点M的运动轨迹是O为圆心，为半径的圆，当与相切时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、线段的和差、平行线的判定和性质、直角三角形的两锐角互余、全等三角形的判定和性质以及求动点问题中线段最小值等知识点，认真审题添加适当的辅助线是解题的关键． 23．如图，抛物线，经过点. （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； （3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？ 【答案】（1）抛物线的顶点M坐标为；（2）N（4，5）；（3）在时，该抛物线上有65个“互素正整点” 【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入中即可得到答案； （2）设，求得直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，设设直线CN与x轴交于点D，求出点D的坐标，根据即可列式计算得出点N的坐标； （3）抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为，得到，找到符合条件的值即可得到答案. 【详解】（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3）， 解得：， ∴=, 抛物线的顶点M坐标为； （2）∵N是抛物线上第一象限的点， ∴设（t＞0），又点C（0，-3）， 设直线NC的解析式为，N在直线NC上， 解得k=t-2 ∴直线NC的解析式为y=（t-2）x-3， 设直线CN与x轴交于点D， 当y=0时，x=， ∴D（，0），BD=3﹣， ∵S△NBC=S△ABC， ∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3， 即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6， 整理，得：t2﹣3t﹣4=0， 解得：t1=4，t2=﹣1（舍去）， 当t=4时，t2-2t-3=5， ∴N（4，5）； (3)抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为： ，t为正整数，且， 由性质①②，t与的最大公约数， ， 即只需满足即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素， 在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数， 故共有65个数不是3的倍数，满足， 即在时，该抛物线上有65个“互素正整点”. 【点睛】此题是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确把握和运用相关知识，运用数形结合思想是解题的关键. 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