期中模拟押题密卷01【第二十一章-第二十三章】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

期中模拟押题密卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A．   B．   C．   D．   2．用配方法解方程，则方程可变为（    ） A． B． C． D． 3．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   5．把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（    ） A． B． C． D． 6．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点在上，则旋转角α的大小是（  ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论： ①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 ． 12．已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为 13．某种病毒传播速度非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有个人被感染．每轮感染中平均一个人会感染 个人？ 14．如图，把△ABC绕点B逆时针旋转26°得到△EBF，若EF正好经过A点，则∠BAC= ． 15．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 17．解方程 (1) (2) 18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． (1)请画出将绕原点O旋转180后得到的，并写出点B1的坐标； (2)请画出将绕原点O顺时针旋转90后得到的，并写出点B2的坐标． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，，将绕着点B顺时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 20．某商家批发一种成本为元的水果，销售单价不高于元，销售一段时间后发现，每天的销售量与销售单价（元）满足的函数关系为． (1)销售单价定为多少元时，每天获得的利润是元？ (2)销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润． 21．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)如图，若，连接，求的长度； (2)如图，若，求的坐标并直线写出的坐标； (3)在（）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点的坐标． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点为． (1)求顶点的坐标； (2)点在第二象限的抛物线上，连接．设交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，．求证：． (3)若将线段向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，请直接写出常数的取值范围． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟押题密卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合 2．用配方法解方程，则方程可变为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，即， 故选：D． 3．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意可知二次函数对称轴是，根据对称性将点转化到对称轴右侧即与所对的值相等，再利用函数的增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵是抛物线上的三点， ∴二次函数对称轴是， ∵根据对称性将点转化到对称轴右侧即与所对的值相等， 又∵， ∴时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确； 故选：D． 5．把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律求解即可． 【详解】解：的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得． 故选A． 6．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果． 【详解】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步， ∴x(60-x)=864， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 7．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，    在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程有两个不等的实数根，故＞0，得不等式解答即可． 【详解】试题分析：由已知得＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型． 9．如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点在上，则旋转角α的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据点在上，得到是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出，进而得到，由，即可求出α． 【详解】解：是由绕点O顺时针旋转α角度得到， ，， 点在上， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③； ④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线对称轴为直线得到，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，所以；由图像和二次函数性质可判断②④⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ，则，所以③错误； ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ，所以①正确； 当时，， 所以②正确； 当时， ， ∴y的值随x值的增大而增大；所以④正确； ∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴，所以⑤正确， 正确的说法有4个， 故选：D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 12．已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ， ∴， ∴． 故答案为：2025． 13．某种病毒传播速度非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有个人被感染．每轮感染中平均一个人会感染 个人？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，按照题意找到正确的等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意，设每轮感染中平均一个人感染了人，经过两轮感染后共有人被感染，列出关于的一元二次方程，解方程，由此得到答案． 【详解】解：设每轮感染中平均一个人感染了人， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 14．如图，把△ABC绕点B逆时针旋转26°得到△EBF，若EF正好经过A点，则∠BAC= ． 【答案】77° 【分析】根据旋转的性质得出全等，根据全等三角形的性质得出BE=BA，∠E=∠BAC，∠EBF=∠ABC，求出∠EBA=∠FBC=26°，根据BE=BA得出∠E=∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠E，即可得出∠BAC度数． 【详解】∵把△ABC绕点B逆时针旋转26°得到△EBF， ∴△ABC≌△EBF． ∴BE=BA，∠E=∠BAC，∠EBF=∠ABC． ∴都减去∠ABF得：∠EBA=∠FBC=26°， ∵BE=BA， ∴∠E=∠BAE=（180°-∠EBA）=77°． ∴∠BAC=∠E=77°， 故答案为77°． 15．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 【答案】（，2） 【详解】∵点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上， ∴， 解得：， ∴ ∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴， 当y=2时，， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标． 故答案为：（，2） 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)66 【分析】（1）利用根与系数的关系得到结合已知条件，即可得到关于k的方程，求出k的值，再根据方程有两个实数根，必须满足，从而求出实数k的值． （2）根据（1）即可求得与的值，而即可求得式子的值． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时方程无解， ∴不合题意； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴k的值为； （2）∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值，熟知一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． 17．解方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)或 【分析】此题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握配方法，因式分解法，是解决本题的关键． （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即， 则， ∴； ∴，； （2）∵， ∴， 则， ∴或， 解得：或． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． (1)请画出将绕原点O旋转180后得到的，并写出点B1的坐标； (2)请画出将绕原点O顺时针旋转90后得到的，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】作出中心对称图形，写出对应点的坐标； 作出旋转后的图形，写出对应点的坐标． 【详解】（1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求， 点的坐标为 【点睛】本题考查旋转，解题时注意旋转方向和旋转角度． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，，将绕着点B顺时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再根据旋转的性质可得，然后根据等腰三角形的性质求解即可得； （2）先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， ∵将绕着点顺时针旋转得到， ， ． （2）解：∵在中，，， ， ∵将绕着点顺时针旋转得到， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 20．某商家批发一种成本为元的水果，销售单价不高于元，销售一段时间后发现，每天的销售量与销售单价（元）满足的函数关系为． (1)销售单价定为多少元时，每天获得的利润是元？ (2)销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)销售单价定为元时，每天获得的利润是元 (2)销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据题意，每千克的利润为元，销售量为，由此列式求解即可； （2）设每天的利润为，根据题目数量关系列式，并根据二次函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得，整理得，， ∴， ∴，， ∵销售单价不高于元， ∴， ∴销售单价定为元时，每天获得的利润是元． （2）解：设每天的利润为， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵销售单价不高于元， ∴当时，， ∴销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要一元二次方程，二次函数图象的性质的综合，理解题目数量关系，掌握解一元二次方程，二次函数图象的性质是解题的关键． 21．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)点坐标为点坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解； （2）令，求出x的值即可求解； （3）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解； 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， ∴； （2）对于，令，则， 解得， ∴点坐标为点坐标为； （3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点点A，连接，交对称轴于点，如图1，    ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，则点即为所求； 设直线的关系式为：，把代入 得： 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点坐标为 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)如图，若，连接，求的长度； (2)如图，若，求的坐标并直线写出的坐标； (3)在（）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点 ，； (3)的最小值为 ，此时点的坐标为． 【分析】（）先根据点和点的坐标求出、的长，然后用勾股定理求出的长，根据旋转的意义判定是等边三角形即可求出结果； （）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，判定四边形是矩形； （）作点关于轴的对称点，连接交于点，连接，则的值最小，由旋转可知，，则有的值最小，再求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； （2）如图1，过点 作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴，，， ∴点 ，； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交于点，连接， 则的值最小， 由旋转可知，， ∴的值最小， ∵点， ∴点 ， 设直线的解析式为， 把点 ，分别代入，得： ， 解得：。 ∴直线的解析式为， 令， 得：， 解得：， ∴点，， 即的最小值为 ，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识点，深入理解题意是解题的关键． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点为． (1)求顶点的坐标； (2)点在第二象限的抛物线上，连接．设交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，．求证：． (3)若将线段向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）将代入得，求得抛物线的解析式，化为顶点式，即可求解； （2）过点作轴，过点作于点，设与轴交于点， 与轴交于点，设，则，，证明，求得，进而可得的正切相等，即，即可得证； （3）分为和两种情形，抛物线的顶点坐标为，当时，顶点在也符合题意，从而求得结果． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于点，设与轴交于点， 与轴交于点    设，则，， ∵，则， ∵， 则，， ∵ ∴ ∴即， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，，将线段向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度， 对应的点的坐标为， 当时，抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， 当时，， 即， 当时，顶点的纵坐标为时，则，解得：，也符合题意， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数图像与轴的交点与一元二次方程的关系，正切的定义，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确的进行分类讨论． ( 20 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$