专题04 圆【7大经典基础题+6大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题04 圆 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、圆的基本认识 · 题型02、 垂径定理及其推论 · 题型03、 圆心角 · 题型04、 圆周角 · 题型05、点、直线、圆的位置关系 · 题型06、正多边形与圆 · 题型07、弧长与扇形面积 【优选提升题】 · 题型01、圆心角与圆周角 · 题型02、圆内接四边形 · 题型03、圆的切线问题 · 题型04、圆与三角形问题 · 题型05、圆与四边形综合 · 题型06、圆与函数综合 圆的基本认识 1．（23-24九年级上·广东中山·期中）下列说法中，不正确的是（    ）． A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 2．（22-23九年级上·广东惠州·期中）下列说法错误的是（　　） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C．过圆心的线段是直径 D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 3．（21-22九年级上·广东广州·期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（20-21九年级上·广东惠州·期中）下列判断正确的个数有（    ） ①直径是圆中最大的弦； ②长度相等的两条弧一定是等弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④弧分优弧和劣弧； ⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列命题： ①三角形的内心到三角形各边的距离相等； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ③过平面内三点可以作一个圆； ④经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； ⑤的圆周角所对的弦是直径． 其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 垂径定理及其推论 6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 圆心角 11．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 13．（21-22九年级上·广东河源·期中）如图，半径为的中，已知，，则弦的长为（    ）    A． B． C． D． 14．（20-21九年级上·广东广州·期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    15．（22-23九年级上·福建福州）如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且．垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF． (1)求证：； (2)若，求BF的长． 圆周角 16．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，在中，弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是⊙的直径，，是⊙上的两点，若，则（    ）    A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为(    )    A．3 B． C．1 D．2 21．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，是的直径，是切线，交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，、切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（        ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 25．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 正多边形与圆 26．（22-23九年级下·广东云浮·期中）如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）    A． B．3 C．6 D． 27．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图，边长为的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 28．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 29．（2023·河南鹤壁·三模）如图，正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，若，那么经过第609次旋转后，顶点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 30．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知正六边形的边心距 为，则它的边长为 弧长与扇形面积 31.（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，扇形中，，．若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为（    ）（结果保留）． A． B． C． D． 32（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 34．（22-23九年级下·广东清远·期中）如图，在矩形中，连接，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．    35．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．    (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 圆心角与圆周角 36．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图， 是半圆O的直径，C 是半圆O上异于A，B 的一点，D 为 的中点，延长 交 的延长线于点 E，若 ，则 的度数是（ ）    A． B． C． D． 37．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，的半径为4，点C在上，，则的长是(      ) A．2 B．4 C． D．4 38．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，为圆上位于直径两侧的点，连接、，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，平分，求长度． 39．（22-23九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的外接圆的半径． 40．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：． 圆内接四边形 41．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，为的直径，于点E，交于点D，交于点G．求证：． 42．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，C是的中点，于E，交于点F，，．    (1)求的半径和的长； (2)求证：； (3)连接并延长，交的延长线于点G，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 43．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 44．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.    (1)求证：； (2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案） (3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径. 圆的切线问题 45．（22-23九年级上·广东阳江·期中）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号） 46．（19-20九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，且是的直径，的平分线与相交于点. （1）证明：直线是的切线； （2）连接，若，，求边的长. 47．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．    (1)点O到直线的距离为 ； (2)求y与x的函数解析式． 48．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 圆与三角形问题 49．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知锐角三角形内接于，于点D，连接． (1)若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． (2)点E在线段上，．连接，设（m，n是正数），若，试探索m、n之间的数量关系，并证明． 50．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知：如图1，在平面直角坐标系中，，以为圆心，以为半径的圆交轴于点，连结并延长交于点，动点在线段上运动，长为的线段轴（点在点右侧），连接．    (1)求的半径长和点的坐标： (2)如图2，连接，交线段于点， ①求所在直线的解析式： ②当时，求点的坐标； ③点在线段上运动的过程中，请直接写出的最小值和最大值． 圆与四边形综合 51．（20-21九年级上·广东·期末）已知：如图1，∠ACG＝90°，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F． （1）若 ①求AB的长 ②判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明； （2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长． 52．（20-21九年级上·广东广州·期中）如图，AB为☉O直径，半径为2，点D为弧的中点，点C在☉O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD． （1）求证：CD是∠ACB的角平分线； （2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案） （3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗?如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由． 圆与函数综合 53．（20-21九年级下·广东广州·期中）直线分别与x轴y轴相交与A，B两点，原点O及A，B两点，C是上一点，连接交于点D，．    (1)证明：． (2)直线上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 54．（15-16九年级下·广东深圳·期中）如图，二次函数（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的⊙M经过点C． （1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求抛物线的函数表达式； （3）⊙M上是否存在点E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由． ( 20 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、圆的基本认识 · 题型02、 垂径定理及其推论 · 题型03、 圆心角 · 题型04、 圆周角 · 题型05、点、直线、圆的位置关系 · 题型06、正多边形与圆 · 题型07、弧长与扇形面积 【优选提升题】 · 题型01、圆心角与圆周角 · 题型02、圆内接四边形 · 题型03、圆的切线问题 · 题型04、圆与三角形问题 · 题型05、圆与四边形综合 · 题型06、圆与函数综合 圆的基本认识 1．（23-24九年级上·广东中山·期中）下列说法中，不正确的是（    ）． A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【答案】D 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，不符合题意； D、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东惠州·期中）下列说法错误的是（　　） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C．过圆心的线段是直径 D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 【答案】C 【分析】此题考查了圆的认识，属于基础概念的考查，根据：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，逐一判断即可． 【详解】解：A、圆有无数条直径，正确，不符合题意； B、连接圆上任意两点之间的线段叫做弦，正确，不符合题意； C、经过圆心的弦叫直径，故原说法错误，符合题意； D、同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍，正确，不符合题意； 故选：C． 3．（21-22九年级上·广东广州·期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意； ②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是熟练掌握圆的有关定义及性质． 4．（20-21九年级上·广东惠州·期中）下列判断正确的个数有（    ） ①直径是圆中最大的弦； ②长度相等的两条弧一定是等弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④弧分优弧和劣弧； ⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确， ②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确 ③半径相等的两个圆是等圆；故③正确 ④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确 ⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确． 综上所述，正确的有①③ 故选B 【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列命题： ①三角形的内心到三角形各边的距离相等； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ③过平面内三点可以作一个圆； ④经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； ⑤的圆周角所对的弦是直径． 其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据三角形的内心的概念、圆周角定理、确定圆的条件、切线的判定定理判断即可． 【详解】解：①∵三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点， ∴三角形的内心到三角形各边的距离相等，该命题说法正确； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，该命题说法错误； ③过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆，该命题说法错误； ④经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该命题说法错误； ⑤的圆周角所对的弦是直径，该命题说法正确； 故选：A． 垂径定理及其推论 6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 7．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵弦于点E，， ∴， ∵， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键． 8．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 9．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）利用弧中点的定义可得，由垂径定理可得，由此可证明结论； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵C为弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 设圆的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 是半径， ， ， ， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 圆心角 11．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：∵点D、C是的三等分点， 即， ∴， ∴． ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 12．（22-23九年级上·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可求得，继而可求得的度数． 【详解】解：， ， ． 故选：C 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 13．（21-22九年级上·广东河源·期中）如图，半径为的中，已知，，则弦的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先延长，交于点，可得，由圆心角与弦的关系，可得，由圆周角定理可得：，然后由勾股定理求得弦的长． 【详解】解：延长，交于点，连接．    ，， ， ， 是直径， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆心角与弦的关系以及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．（20-21九年级上·广东广州·期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 15．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且．垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF． (1)求证：； (2)若，求BF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据AAS证明：△BFG≌△CDG； （2）连接OF，设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程即可求解； 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∵AB是的直径，且 ∴ ∴ ∴ 在△BFG和△CDG中， ∵△BFG≌△CDG（AAS）； （2）如图，连接OF，设⊙O的半径为r, Rt△ADB中，，即， Rt△OEF中，，即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， 解得：r=2（舍）或6， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 圆周角 16．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，在中，弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，由平行线的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 17．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，先根据平角的定义得到，则由圆周角定理得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选C． 18．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是⊙的直径，，是⊙上的两点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，再根据圆周角定理解即可． 【详解】解：是⊙O的直径， ， ， 由圆周角定理得，， 故选：B． 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，根据是的直径，可得，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∵与所对弧相同， ∴， 故选：． 20．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为(    )    A．3 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点， 过D作垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到，再说明得到，然后再利用勾股定理求得，设，，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 【详解】解：如图：过D作，垂足为E    ∵是直径 ∴ ∵的角平分线 ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中， 设， 在中， 则，解得 ∴ 故选：． 点、直线、圆的位置关系 21．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，是的直径，是切线，交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．由圆周角定理得出，根据切线的性质得出，由余角的性质可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ， 是切线， ， ， ． 故选：C 22．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、三角形内角和定理、圆周角定理，由切线的性质得出，从而得出，再由圆周角定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的切线， ， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故选：B． 23．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，、切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：由题意可知：是从点向引的两条切线， 是从点向引的两条切线， 是从点向引的两条切线， ∴ 的周长 ， ∵， ∴的周长是， 故选：D． 24．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 25．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等弧所对的圆周角相等得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵，， ∴, 又∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 正多边形与圆 26．（22-23九年级下·广东云浮·期中）如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）    A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：    ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 27．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图，边长为的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长．首先求得从B到时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是的长，又由正六边形的内角为，求得所对的圆心角为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角为， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为： ， 故选：D． 28．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，    在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 29．（2023·河南鹤壁·三模）如图，正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，若，那么经过第609次旋转后，顶点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，推出经过第609次旋转后，顶点E的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，得到E与关于原点对称，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， 由正六边形，可知：， ， 在中，， ，   ， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过第609次旋转后，顶点E的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ， 经过第609次旋转后，顶点E的坐标， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质及其旋转，掌握旋转规律中的周期问题，利用点的坐标，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知正六边形的边心距 为，则它的边长为 【答案】 【分析】首先由题意画出图形，易证得是等边三角形，又由正六边形的边心距利用三角函数的知识即可求得的长，即可得的长，继而求得它的周长． 【详解】解：如图，连接，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的内接正多边形的性质，锐角三角函数的应用．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 弧长与扇形面积 31.（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，扇形中，，．若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为（    ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求了扇形的弧长，等腰三角形的性质，旋转的性质等． 先确定点O的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧线，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据计算，可得答案． 【详解】根据题意可知，， ∴， ∴． 故选：A． 32（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，证明为等边三角形，得到，，得到，进而得到为的中线，得到，推出阴影部分的面积等于，计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为的中线， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积． 正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键． 33．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）过点作，证明，得到，即可证明与圆相切； （2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，则点在圆上， 与相切； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，直角三角形的计算，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线． 34．（22-23九年级下·广东清远·期中）如图，在矩形中，连接，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】先根据锐角三角函数求出、，再根据扇形面积公式和三角形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ，， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出、是解题关键． 35．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．    (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切．理由见解析(2)(3) 【分析】（1）由平分得，加上∠1=∠3，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理得到为的切线； （2）作于H，如图，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长； （3）由E是的中点得到，根据垂径定理得，由于，根据等腰三角形的判定得到，即，所以为等边三角形，易得为等边三角形，所以，可计算出，于是可计算出，由于，然后利用进行计算． 【详解】（1）与相切．理由如下：如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）作与H，如图，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴； （3）∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 同理可得为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定：扇形面积的计算．平行线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 圆心角与圆周角 36．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图， 是半圆O的直径，C 是半圆O上异于A，B 的一点，D 为 的中点，延长 交 的延长线于点 E，若 ，则 的度数是（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据弧与角的关系得出，再由圆周角定理得出，结合图形，利用各角之间的关系求解即可． 【详解】解：连接，    ∵D 为 的中点， ∴， ∵ 是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】题目主要考场圆与三角形综合问题，包括圆周角及弧、弦、角的关系，三角形外角的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 37．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，的半径为4，点C在上，，则的长是(      ) A．2 B．4 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、30度所对的直角边等于斜边的一边、勾股定理，由圆周角定理得出，根据，推出，，再利用勾股定理即可解题． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 的半径为4， ，， ． 故选：C． 38．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，为圆上位于直径两侧的点，连接、，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，平分，求长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，添加适当的辅助线． （1）由圆周角定理得出，，即可得出的度数； （2）延长至，使，连接，证明可得，从而得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，延长至，使，连接， ∵平分，， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 39．（22-23九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)cm 【分析】本题考查圆的综合知识． （1）由平分，得，可得，由平分，得，进而推得即可； （2）先证明，得是等腰直角三角形，得到即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴是的直径， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的外接圆的半径为． 40．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答； （2）利用切线的性质可得，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，再利用（1）的结论可得，然后可证，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ； （2）证明：与相切于点C， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，平行线的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 圆内接四边形 41．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，为的直径，于点E，交于点D，交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据垂径定理，证明，再由圆内接四边形性质证明，则问题可证． 【详解】证明：∵为的直径，于点E， ∴， ∴， ∵A、C、D、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆内接四边形性质和垂径定理，解答关键是根据相关条件推导角度之间的关系． 42．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，C是的中点，于E，交于点F，，．    (1)求的半径和的长； (2)求证：； (3)连接并延长，交的延长线于点G，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)的半径10， (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理得出的长，然后根据直角三角形的面积得出的长； （2）利用垂径定理得出，利用C是的中点得出，然后根据圆周角定理得出，即可证明结论； （3）先证，再证，即可证出结论． 【详解】（1）解：∵是的直径, ∴, ∵是的中点, ， ∴, ， 的半径为， ∵， ， ， ∴； （2）证明：延长交于点，    ∵是的直径， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解，，理由如下： 如图：    是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角． 43．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得； （2）先求解，可得，再利用圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵为弧的中点， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键． 44．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.    (1)求证：； (2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案） (3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径. 【答案】(1)见解析 (2)60 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，再根据圆内接四边形的任一外角等于它的内对角以及圆周角定理证得，进而利用等腰三角形的判定可得结论； （2）根据等边三角形的性质和圆内接四边形的任一外角等于它的内对角得到即可求解； （3）先根据等弦对等弧和垂径定理的推论得到，，再证明四边形是矩形，得到，进而求得，在中利用勾股定理求得可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴, 又∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：； （3）解：在图2中，连接延长交于H，交于    K，    ∵， ∴，则， ∴，， ∵为直径， ∴，又， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、圆内接四边形的性质、等弦对等弧、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解答的关键． 圆的切线问题 45．（22-23九年级上·广东阳江·期中）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （3）利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵D为的下半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）设的半径为r，则 在中，， 解得（舍去）， 即的半径为6； （3） 在中， ， ∴ ∴阴影部分的面积 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 46．（19-20九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，且是的直径，的平分线与相交于点. （1）证明：直线是的切线； （2）连接，若，，求边的长. 【答案】（1）见解析；（2）12 【分析】（1）连接OD，AD是∠CAB的平分线，以及OA=DO，推出∠CAD=∠ODA,进而得出OD∥AC,最后根据∠C=90°可得出结论； （2）因为∠B=30°，所以∠CAB=60°，结合（1）可得AC∥OD，证明△ODE是等边三角形，进而求出OA的长．再在Rt△BOD中，利用含30°直角三角形的性质求出BO的长，从而得出结论． 【详解】解：（1）证明：连接 平分∠CAB， ． 在中，， ． ． ∴AC∥OD． 中，， ，直线为圆的切线； （2）解：如图， 中，，, ∴． 由（1）可得：AC∥OD， ， 为等边三角形，， ． 由（1）可得， 又， 在中，． ． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质等知识，在解答此类题目时要注意添加辅助线，构造直角三角形． 47．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．    (1)点O到直线的距离为 ； (2)求y与x的函数解析式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）连接，与相切于点E，推导出半径，即点O到直线的距离即为圆的半径，据此解答； （2）首先作交于F，可得四边形是矩形；然后根据切线长定理得到，，则；在直角中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】（1）解：如图1，连接，      ∵与相切于点E， ∴半径， ∴即为点O到直线的距离， ∵， ∴， （2）作交于F．如图2，    ∵、与切于点定A、B， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∵切于E， ∴， ， 则， 在中，由勾股定理得：， 整理为， ∴y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长的定理的应用，圆周角定理以及直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，反比例函数的应用等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题． 48．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先设的半径为，由于是的直径，是的切线，根据切线性质可知，在中，利用勾股定理可得，解方程可得出答案； （2）连接，由于，，可知是的中位线，那么，于是，根据三角形外角性质可得，易证，而，，利用可证，那么，于是，从而可证是的切线． 【详解】（1）解：（1）设的半径为， 是的直径，是的切线， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； （2）证明：连接， ，， 是的中位线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即， 与相切． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明． 圆与三角形问题 49．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知锐角三角形内接于，于点D，连接． (1)若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． (2)点E在线段上，．连接，设（m，n是正数），若，试探索m、n之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②(2)，证明见解析 【分析】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解； （2）设，则，，，，即可求解． 【详解】（1）解：①连接、， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ， ； ②∵，， ∴， ∴， ∵长度为定值， ∴面积的最大值，要求边上的高最大， 当过点O时，最大，即：， ∴面积的最大值； （2）解：，证明如下： 如图2，连接，， 设， 则，， 则， ， ， ， ∴， ∴， 即：， 化简得：． 【点睛】本题为圆的综合运用题，还涉及到勾股定理、角直角三角形的性质等知识，其中（2），是本题容易忽视的地方． 50．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知：如图1，在平面直角坐标系中，，以为圆心，以为半径的圆交轴于点，连结并延长交于点，动点在线段上运动，长为的线段轴（点在点右侧），连接．    (1)求的半径长和点的坐标： (2)如图2，连接，交线段于点， ①求所在直线的解析式： ②当时，求点的坐标； ③点在线段上运动的过程中，请直接写出的最小值和最大值． 【答案】(1)半径为， (2)①；②点坐标为；③的最小值为，最大值为 【分析】（1）如图1中，过点作轴，分别在和中利用勾股定理即可解决问题． （2）①设解析式为设，利用待定系数法即可解决问题．②可求，设点．由题意得点为，因为点落在上，所以，列方程即可解决问题．③当点与重合时，，此时，过点平行的直线的解析式为，过点垂直的直线的解析式为，与直线的交点为，此时最小，当点与点重合时，，此时，由此即可判断的最大值． 【详解】（1）解：如图1中，过点作轴，    则，， ，即半径为， 所以， ， ，即点． （2）解：如图2中，    ①设解析式为设， 由题意得点与点关于点成中心对称， 设与y轴的负半轴交于点K，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 点， 又点， 代入得：， 解得，， ， ②设，代入得： ， 解得：， ∴， 设点． ∵，轴， ∴点为，点， 点落在上，所以 解得， 所以点坐标为． ③如图3中，    当点与重合时，，此时，设过点平行的直线的解析式为， 把点代入得：， ∴过点平行的直线的解析式为， 过点垂直的直线的解析式为，则把点代入得：， ∴过点垂直的直线的解析式为， 与直线的交点为，此时最小（垂线段最短）， 由，解得， ， 的最小值为． 当点与点重合时，，此时， 最大值为． 【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题． 圆与四边形综合 51．（20-21九年级上·广东·期末）已知：如图1，∠ACG＝90°，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F． （1）若 ①求AB的长 ②判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明； （2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长． 【答案】（1）① ②直线FD与以AB为直径的⊙O相切. （2）BC＝ 【分析】（1）①在Rt△ABC中，根据特殊角的三角函数即可求出AB的长. ②根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切； （2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长． 【详解】解：（1）①∵∠ACG＝90°，AC＝2，， ∴在Rt△ACB中，tan∠BAC =， ∴, ∴. ②判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切． 证明：如图，作以AB为直径的⊙O； ∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的， ∴△ADB≌△ACB， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°∠CAB＝∠BAD＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD＝60°． ∵O为AB的中点，连接DO， ∴OD＝OB＝AB， ∴点D在⊙O上． ∴△BOD是等边三角形． ∴∠BOD＝60°． ∴∠ABC＝∠BOD， ∴FCDO． ∵DF⊥CG， ∴∠ODF＝∠BFD＝90°， ∴OD⊥FD， ∴FD为⊙O的切线． （2）延长AD交CG于点E， 同（1）中的方法，可证点C在⊙O上； ∴四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠FBD＝∠1＋∠2， 同理∠FDB＝∠2＋∠3， ∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠FBD＝∠FDB， 又∵∠DFB＝90°， ∴△BFD是等腰直角三角形. ∴和是等腰直角三角形. ∴EC＝AC＝2． 设BC＝x，则BD＝BC＝x， ∵∠EDB＝90°， ∴EB＝， ∵EB＋BC＝EC， ∴＋x＝2， 解得x＝ ， ∴BC＝． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆的内接四边形等知识点，根据已知的边的长或相等角得出特殊角从而构建出特殊的直角三角形是解题的关键． 52．（20-21九年级上·广东广州·期中）如图，AB为☉O直径，半径为2，点D为弧的中点，点C在☉O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD． （1）求证：CD是∠ACB的角平分线； （2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案） （3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗?如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）是，，最大值为8 【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等即可证明； （2）根据CD最长是直径、最短是C在A或者B，即可求解； （3）利用CD是∠ACB的角平分线过D向AC、BC作垂线即可求解. 【详解】（1）证明：∵点D为弧AB的重点， ∴； ∴∠ACD=∠BCD， ∴CD是∠ACB的角平分线． （2）CD最长是直径，此时CD=4 最短是C在A或者B，此时CD= 又∵点C不与点A，点B重合 ∴； （3）是的 如图，作DE⊥CB于E点，作DF⊥AC的延长线于F点， ∴∠DEB=∠DFC=90° 又∵CD是∠ACB的角平分线． ∴DF=DE ∵ADBC是圆内接四边形， ∴∠FAD=∠DBE ∴△AFB≌△BED(AAS)；   ∴AF=BE    ∴AC+BC=CF+CE=2CF 又∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCD=45° ∴CF=CE=DF=DE    ∴AC+BC=2DF ∴四边形ADBC的面积S= ∵开口向上，对称轴为y轴， ∴当时y随x的增大而增大 ∴当x=4的时，S有最大值=8． 【点睛】本题综合考查圆与二次函数,需要熟记圆周角性质、角平分线性质以及二次函数最值求法是解题的关键. 圆与函数综合 53．（20-21九年级下·广东广州·期中）直线分别与x轴y轴相交与A，B两点，原点O及A，B两点，C是上一点，连接交于点D，．    (1)证明：． (2)直线上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，， 【分析】（1）连接，交轴于点，根据一次函数解析式逐步求出，，再根据同弧或等弧所对圆周角相等求出，得，即可证得； （2）由已知，可得当最小时，的周长最小；过点作于点，并延长交于点，连接交直线于点，此点即为所求；易证得是直径，则可得点与点重合，继而求得点坐标． 【详解】（1）解：连接，交轴于点， 直线分别与轴、轴交于、两点， 当时，，当时，， 点，点，即，， ∴，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ；    （2）存在．， 当最小时，的周长最小， 过点作于点，并延长交于点，连接交直线于点， 则垂直平分， ∴， ∴，故此点即为所求；    ∵点，点， ∴，即， 点的坐标为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，最短路径，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用． 54．（15-16九年级下·广东深圳·期中）如图，二次函数（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的⊙M经过点C． （1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求抛物线的函数表达式； （3）⊙M上是否存在点E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C的坐标为（0，﹣3a），D的坐标为（1，﹣4a）；（2）；（3）（4，1）、（，）． 【详解】试题分析：（1）计算横坐标为0的函数值即可得到C点坐标，然后将解析式配成顶点式即可得出点D的坐标； （2）先利用二次函数与x轴的交点问题确定A点和B点坐标，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，则根据两点间的距离公式表示出BC，CD，BD，接着利用勾股定理建立方程，然后解方程求出a即可得到二次函数解析式； （3）先计算出，，再根据圆周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，则CD=BE，接着证明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，设E（x，y），根据两点间的距离公式得，，然后解方程组得x=4，y=1或x=，y=，从而可得满足条件的E点坐标． 试题解析：（1）当x=0时，=﹣3a，则点C的坐标为（0，﹣3a）； ∵=，∴点D的坐标为（1，﹣4a）； （2）当y=0时，，解得，，则A（﹣1，0），B（3，0），∵BD为⊙M的直径，∴∠BCD=90°，而=，==，==，在Rt△BCD中，∵，∴，整理得，解得a=﹣1或a=1（舍去）；∴抛物线解析式为：； （3）存在．a=1，，，∵∠EDB=∠CBD，∴CD=BE，而BD为直径，∴∠BED=90°，∴Rt△BED≌Rt△DCB，∴DE=BC，设E（x，y），∴=，=，∴，，解得x=4，y=1或x=，y=，∴满足条件的E点坐标为（4，1）、（，）． 考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$