专题05 有理数动点、最值综合（3大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题05 有理数动点、最值综合 简单的数轴动点问题 1．（23-24七年级上·福建厦门·期中）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 4．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图所示，在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． (1)求AB、AC的长； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值． 有理数的新定义问题 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 简单的绝对值最大（小）值问题 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 2．（23-24七年级上·福建南平·期中）当 时，有最大值是 ． 3．（23-24七年级上·福建漳州·期中）式子的最小值为 ． 4．（23-24七年级上·福建福州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 数轴上的最大（小）值问题 1．（23-24七年级上·福建莆田·期中）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为和，表示的点在线段上． (1)若表示的点也在线段上，表示和的点在线段上，则 ． (2)若原点在线段上，点也在线段上，点表示的数为．点在线段上，点表示的数为（，均为整数）．当，时，对应的 ． 绝对值与动点（压轴） 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）在数轴上，点A表示3，点B表示6．在点A、B之间有一动点P（点P不与A、B重合），若点P对应的数为x，化简： ． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足．若点是的中点，为原点，数轴上有一动点，分别表示数轴上与，与两点间的距离，则的最小值是 ． 数轴上的动点问题（压轴） 1．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 2．（23-24七年级上·福建南平·期中）已知数轴上点A表示的数为，点O表示的数为0． （1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为 ； （2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左作匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左作匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度． 绝对值最大（小）值问题（压轴） 1．（23-24七年级上·福建南安·期中）阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数动点、最值综合 简单的数轴动点问题 1．（23-24七年级上·福建厦门·期中）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【详解】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算； 根据先求出点表示的数，再根据数轴特点分情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，， ∴点表示的数为或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或0． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． 4．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图所示，在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． (1)求AB、AC的长； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值． 【答案】(1) (2)变化，当时取得最大值4 【分析】（1）根据点A，B，C表示的数，即可求出AB， AC的长； （2）根据题意分别求得点A表示的数为-2-2t，点B表示的数为3t，点C表示的数为6+4t，根据两点距离求得，进而根据整式的加减进行计算即可． 【详解】（1）解：AB=0-（-2）=2， AC=． （2）当运动时间为t秒时，点A表示的数为-2-2t，点B表示的数为3t，点C表示的数为6+4t， 则， 当时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了列代数式、数轴以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三个点表示的数，求出三条线段的长度；（2）利用含t的代数式表示出BC，AB的长． 有理数的新定义问题 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】根据题意得，当时， ∵ ∴ ． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查定义新运算，化简绝对值． （1）根据新定义的法则，计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可． 掌握新定义的法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由图可知：， ∴， ∴． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 简单的绝对值最大（小）值问题 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【答案】 大 2021 3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，的最小值为0， ∴的最大值为2021，此时． 故答案为：大；2021；3． 2．（23-24七年级上·福建南平·期中）当 时，有最大值是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查的是代数式的值，绝对值非负性的应用，理解时最小是解本题的关键，从而可得本题的答案． 【详解】解：∵时最小， ∴此时，则有最大值是． 故答案为：1，． 3．（23-24七年级上·福建漳州·期中）式子的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·福建福州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 数轴上的最大（小）值问题 1．（23-24七年级上·福建莆田·期中）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为和，表示的点在线段上． (1)若表示的点也在线段上，表示和的点在线段上，则 ． (2)若原点在线段上，点也在线段上，点表示的数为．点在线段上，点表示的数为（，均为整数）．当，时，对应的 ． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及新定义， （1）根据新定义及数轴上两点之间的距离即可求解； （2）如图，先确定线段，其中点、表示的数分别为、，然后分两种情况讨论即可； 正确理解题意并灵活运用数轴上两点间的距离是解题的关键。 【详解】（1）解：（1）∵表示的点在线段上，表示的点也在线段上，表示和的点在线段上，线段，的长度分别为和， 又∵，， ∴线段两个端点表示的数分别为、，线段两个端点表示的数分别为、， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵线段的长度为，表示的点在线段上，原点在线段上， ∴线段，其中点、表示的数分别为、， ∵，，点在线段上，点表示的数为，点在线段上，点表示的数为（，均为整数）， 分两种情况： ①线段，其中点、表示的数分别为、， 当时，，则， 当时，，则， ②线段，其中点、表示的数分别为、， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，对应的或或或。 故答案为：或或或。    绝对值与动点（压轴） 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）在数轴上，点A表示3，点B表示6．在点A、B之间有一动点P（点P不与A、B重合），若点P对应的数为x，化简： ． 【答案】 【分析】根据在数轴上，点A表示3，点B表示6．在点A、B之间有一动点P（点P不与A、B重合），点P对应的数为x，可得，进而根据绝对值的意义即可进行化简． 【详解】解：∵在数轴上，点A表示3，点B表示6．在点A、B之间有一动点P（点P不与A、B重合），点P对应的数为x， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，整式的加减运算，解决本题的关键是掌握数轴和绝对值的意义． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为 ． 【答案】或4.5 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴两点间的距离，根据“点P到点A、B的距离之和为7”列出方程并解答． 【详解】解：依题意，得 ， 因为A、B之间的距离小于7， 即，则，此时不符合题意， 当时， 解得． 当时，（x-2）+（x+1）=7， 解得． 所以或4.5． 故答案为：或4.5． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足．若点是的中点，为原点，数轴上有一动点，分别表示数轴上与，与两点间的距离，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性，数轴上两点之间的距离，根据题意，分别求出的值，点的值，再根据两点之间距离的计算方法即可求解，掌握绝对值的性质，数轴上两点之间的距离的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即点表示的数为， 如图所示， 当点在点的右边时，设为位置，表示的数为， ∴，， ∴，则； 当点在点之间时，设为位置，表示的数为， ∴， ∴， ∴； 当点在点坐标时，设为位置，表示的数为， ∴， ∴； 综上所述，当点在点及点坐标时，有最小值，且最小值为， 故答案为： ． 数轴上的动点问题（压轴） 1．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离．根据题意易得动点表示的数为，动点表示的数为，则，，列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，动点表示的数为，动点表示的数为， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·福建南平·期中）已知数轴上点A表示的数为，点O表示的数为0． （1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为 ； （2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左作匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左作匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度． 【答案】 1或 1或4 【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，分情况求解是解题关键． （1）根据实际情况分两种情况进行求解即可； （2）小乌龟运动t秒的长度为，小白兔运动t秒的长度为，，根据题意分为小白兔在小乌龟的左边时，小白兔在小乌龟的左边时，分别进行求解即可． 【详解】解：（1）点A表示的数为，点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度， 当点B位于点A的右侧时，， 当点B位于点A的左侧时，， 故答案为：1或． （2）小乌龟运动t秒的长度为，小白兔运动t秒的长度为，， ①小乌龟在小白兔的左边时， 当时，小乌龟所在的表示为， 小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， ②小白兔在小乌龟的左边时， 时，小乌龟所在的表示为， 小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度， 时，小乌龟所在的表示为， 小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度， 时，小乌龟所在的表示为， 小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， 时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况， 故综上所述，当或分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， 故答案为：1或4． 绝对值最大（小）值问题（压轴） 1．（23-24七年级上·福建南安·期中）阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【答案】(1)或 (2)有最大值是3 (3)小；2 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答； （2）根据绝对值的非负性解答； （3）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据材料所求为x与之间的距离， ①x在左侧的数轴上时，， 即，， ②x在右侧的数轴上时，， 即，，； （2）解：代数式有最大值， ∵， ∴， 即时， 此时：有最大值是3； （3）解：根据绝对值的定义可知：表示点x到1与3两点距离之和， ， ∴点x在1与3之间时， 有最小值，其值为2． 故答案为：小；2． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1)， (2)①3；②4；③3 (3)①4或6秒；②或6 【分析】（1）将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，则中点表示的数为，根据M点表示的数为，N点表示的数为，计算求解即可； （2）①由绝对值的几何意义求解作答即可；②由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7，由，可知满足条件的所有整数为，然后求和计算即可；③由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离；当时，取最小值，当且时，，此时，取最小值； （3）①设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为，依题意得，，则，计算求解即可；②设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为，则，，依题意得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合， ∴中点表示的数为， ∴M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； （2）①解：由题意知，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和6的点之间的距离， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的最小值为3； 故答案为：3； ②解：由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7， ∵， ∴满足条件的所有整数为， ∴满足条件的所有整数的和是， 故答案为：4； ③解：由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离； 同理（2）①，当时，取最小值， 当且时，， ∴当时，取最小值； （3）①解：设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为， 依题意得，， ∴， 解得，或， ∴经过4或6秒P与A的距离是2个单位长度； ②解：设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， ∴， ∴， 解得，或， ∴经过或6秒时，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识，熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 【答案】(1)或； (2)； 或；有最小值，最小值为，此时 【分析】（1）根据两点之间的距离公式可得，再建立绝对值方程可得的值； （2）由点在线段上，根据绝对值的意义即可求解； 分点在点左侧，点在点和点之间，点在点右侧时三种情况分析即可； 分位于点左侧，位于点与点之间，位于点与点之间，位于点右侧时四种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得：或， 故答案为：或； （2）∵点在线段上， ∴， 故答案为：； 由题意得：当点在点左侧时，即时， ，解得：； 当点在点和点之间时，即时， ，无解； 当点在点右侧时，即时， ，解得：； ∴点表示的有理数或； 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即时， ， ∴， 综上可知：有最小值，最小值为，此时． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$