3.2.2直线与双曲线（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

3.2.2 直线与双曲线 课程标准 学习目标 （1）掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质; （2）了解双曲线的简单应用。 （1）掌握直线与双曲线的位置关系; （2）掌握直线与双曲线的弦长问题； （3）掌握中点弦问题； （4）掌握直线与双曲线的最值问题和定点定值问题.（难点) 知识点01 直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. 1 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与双曲线无交点相离. 2 当时，即得到一个一次方程，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行。 【即学即练1】 若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直线与双曲线的弦长 直线与双曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【即学即练2】 过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型一：直线与双曲线的位置关系】 例1． 已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式1-2．过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 变式1-3．已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断直线与双曲线的位置关系， 方法1 联立直线方程与双曲线方程，看判别式； 方法2 数形结合，比较直线与渐近线两直线的斜率. 从几何的角度看，直线与双曲线的位置关系与渐近线有关， (1) 当点在双曲线上或内， 当或时，只有个交点；当时，只有个交点； (2) 当点在双曲线外， 当或时，只有或个交点；当或时，只有或个交点； 当或时，只有个交点. 做题时注意特殊情况：斜率不存在的直线. 【题型二：直线与双曲线的弦长问题】 例2．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 变式2-1．已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 变式2-2．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（    ） A．2 B． C． D．3 变式2-3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 直线与双曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 2 遇到焦点弦，可以利用双曲线的焦半径公式。 【题型三：直线与双曲线的中点弦问题】 例3．已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【方法技巧与总结】 1 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法(设而不求)，其解题步骤为： (1) 设点：即设出弦的两端点坐标； (2) 代入：即代入圆锥曲线方程； (3) 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； (4) 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． “点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题． 2 求双曲线的中点弦问题最后记得要作出检验！ 【题型四：直线与双曲线的参数范围或最值问题】 例4．已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 变式4-1．已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【方法技巧与总结】 圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 【题型五：直线与双曲线的定点问题】 例5．已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． (1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 变式5-1．双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 变式5-3．设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【方法技巧与总结】 圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 【题型六：直线与双曲线的定值问题】 例6.1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（    ） A． B． C． D． 例6.2 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 变式6-1．双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C． D． 变式6-2．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 变式6-4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率. (1)求双曲线的方程; (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 【方法技巧与总结】 定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口. ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. ③ 几何法 根据几何关系确定相关几何量的不变. 【题型八：双曲线中的定直线问题】 例7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为． (1)求四边形的外接圆方程； (2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上． 变式7-1．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 变式7-3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 【方法技巧与总结】 证明动点在某一定直线上，可设，再证明满足一线性关系；或证明或是一定值. 一、单选题 1． 过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 3.已知为双曲线（）的离心率为，焦点为，且，为双曲线上任意一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．与点的位置有关 4.已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 5. 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（    ） A． B． C． D．3 6. 设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为， ，以为圆心、为半径的圆和以为直径的圆分别与在第一象限内交于点，，直线与直线交于点，若，则下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在直线上 C．双曲线的离心率可能为 D．双曲线的离心率可能为2 二、多选题 9．已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C．点到两条渐近线的距离的乘积为 D．已知点，则的最小值为5 10.设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（    ）． A．C的离心率为 B． C． D． 11.已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 三、填空题 12．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 13. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 14. 已知直线：与双曲线：（，）相交于，两点，双曲线的左、右顶点分别为，，若直线与相交于点，则下列说法中错误的是 .（填写所有错误命题的序号） ①实数的取值范围为或； ②直线与直线的斜率之积为定值； ③点在曲线上； ④的面积最大值为. 四、解答题 15．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 16.已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 17.已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. （i）证明：共线； （ii）判断 是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由. 19．已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. 证明：①共线； ② 为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 直线与双曲线 课程标准 学习目标 （1）掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质; （2）了解双曲线的简单应用。 （1）掌握直线与双曲线的位置关系; （2）掌握直线与双曲线的弦长问题； （3）掌握中点弦问题； （4）掌握直线与双曲线的最值问题和定点定值问题.（难点) 知识点01 直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. 1 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与双曲线无交点相离. 2 当时，即得到一个一次方程，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行。 【即学即练1】 若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围. 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以 . 故选:：D 知识点02 直线与双曲线的弦长 直线与双曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【即学即练2】 过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【题型一：直线与双曲线的位置关系】 例1． 已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 变式1-1．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得. 【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 变式1-2．过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】易知直线的斜率存在，设：，联立双曲线方程可得，分类讨论当、时，求出对应的k，即可下结论. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立， 若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个. 当时，；当时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条. 故选：C. 变式1-3．已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 判断直线与双曲线的位置关系， 方法1 联立直线方程与双曲线方程，看判别式； 方法2 数形结合，比较直线与渐近线两直线的斜率. 从几何的角度看，直线与双曲线的位置关系与渐近线有关， (1) 当点在双曲线上或内， 当或时，只有个交点；当时，只有个交点； (2) 当点在双曲线外， 当或时，只有或个交点；当或时，只有或个交点； 当或时，只有个交点. 做题时注意特殊情况：斜率不存在的直线. 【题型二：直线与双曲线的弦长问题】 例2．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【详解】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 变式2-1．已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长. 【详解】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 变式2-2．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果 【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为， 因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为 所以双曲线方程为，则右焦点， 所以直线方程为， 设，将代入化简得， ， 所以， 所以， 解得，得， 所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为， 直线方程为， 由，得， 由，得， 所以， 故选：C 变式2-3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设，利用双曲线的定义得到，然后设，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 由双曲线的定义得， 解得， 则， 设，，， 联立，消去x得， 由韦达定理得：， 由，得，解得， 所以， ， 解得， 则， 故选：D 【方法技巧与总结】 1 直线与双曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 2 遇到焦点弦，可以利用双曲线的焦半径公式。 【题型三：直线与双曲线的中点弦问题】 例3．已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求得直线斜率的关系式，然后利用二倍角公式列方程来求得正确答案. 【详解】设，， 两式相减并化简得，即， 当时，设直线的倾斜角为， 是以为底边的等腰三角形，所以， 所以， 则. 根据对称性可知，当时，， 综上所述，直线的斜率为. 故选：D 变式3-1．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 变式3-2．已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法求出斜率即可. 【详解】设，因为点在双曲线上， 所以， 两式相减得到， 因为过点且被平分， 所以，代入上式可得， 故选：C 变式3-3．已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 【方法技巧与总结】 1 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法(设而不求)，其解题步骤为： (1) 设点：即设出弦的两端点坐标； (2) 代入：即代入圆锥曲线方程； (3) 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； (4) 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． “点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题． 2 求双曲线的中点弦问题最后记得要作出检验！ 【题型四：直线与双曲线的参数范围或最值问题】 例4．已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据双曲线性质计算即可； （2）设直线l方程及坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出坐标，并求出，利用三角形面积公式及范围计算即可. 【详解】（1）由题意知：，解得，双曲线方程为. （2） 因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知， 设，联立，得， 则，且， （i） ； （ii）由题可得：. 联立可得：，即，同理. ， 故， 且， . 【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量. 变式4-1．已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围. 【详解】设双曲线的方程为 为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得 直线为直线PA, 直线为直线PB, 则， ，又，，可得， 故选：C 变式4-2．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值. 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以 ，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 变式4-3．已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【详解】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.    （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【方法技巧与总结】 圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 【题型五：直线与双曲线的定点问题】 例5．已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． (1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由题意先求出双曲线方程，即可确定，进而设出直线方程求得坐标，即可求得答案； （2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设其方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合化简，可得的关系，即可求得直线所过定点坐标，再说明直线斜率不存在时也过该定点，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知， 设，故， 则 ， 当时，取到最小值，即， 又，则， 故双曲线方程为； 将代入可得，由于是双曲线在第一象限内的点，故， 又双曲线渐近线方程为， 不妨设QA方程为，联立， 解得，则, 设QB方程为，联立，得， 则， 由双曲线渐近线方程可知，则, 则为钝角，结合，可得， 故四边形OAQB的面积为； （2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为，设， 联立，得， 则， 因为，故， 故 即， 可得 即得或； 当时，直线l方程为过点，不合题意； 当时，直线l方程为过点； 当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则可取， ，解得或， 时，直线l过点Q，不合题意； 时，直线l也过点， 综合上述，直线l过定点. 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类题目，比如面积问题以及定值定点问题，解答的思路并不困难，难点在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，计算量较大，需要十分细心. 变式5-1．双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的方程为，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ恒过定点时b的值，即得定点. 【详解】设的方程为,则由 设 又， ，又 代入整理得： 或 当，直线过，舍去 当b=3时，过定点 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线综合，考查了学生转化与划归，数学运算得能力，属于中档题. 变式5-2．已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 变式5-3．设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）设，由利用数量积坐标化得到关系，利用中点坐标公式将坐标用坐标表示，代入消元即可得； （2）由双曲线的性质可得的范围，得到最小值，再求解最值状态下即为实轴端点时的直线方程即可； （3）求解当直线斜率不存在时的方程；当斜率存在时，写出直线的方程，利用一垂直二平分求解点坐标，进而得到直线的方程，观察方程写出定点. 【详解】（1）设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． （2）由（1）得，则的最小值为1，此时或， 即或． 当时，可得，从而直线的方程为； 当时，同理可得直线的方程为． （3）设，，由（2）可知， 当时，直线，得，直线； 当时，直线，得，直线． 当是其他点时，直线的斜率存在， 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于多参设法的消参方法，一是代入消元，如第（1）问中将用动点坐标表示代入关系式即可；二是整体消元，如第（3）问中的应用；三是设而求法，解元消元，如第（3）问中坐标的运算求解. 【方法技巧与总结】 圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 【题型六：直线与双曲线的定值问题】 例6.1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由，得． 因为， 所以．又因为，所以， 故双曲线的方程为， 所以两条渐近线的方程为． 设，则， 故． 不妨设，则， 所以， 所以． 故选：B． 例6.2 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 变式6-1．双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】依题求出点坐标，设出点，得，写出，利用点在双曲线上，化简的表达式，计算即得. 【详解】 如图，,不妨设，则， 依题意，，因点在双曲线上，故有， 于是，. 故选：B. 变式6-2．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确. 故选：C． 变式6-3．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】利用三角换元得到，利用斜率公式可求与的关系，化简后可得的关系，故可判断AB的正误，根据面积公式可求（用表示），故可判断CD的正误. 【详解】由于双曲线的对称性，可设, 由双曲线可得， 则 , 因此,其中， 对于不是定值，故不正确； 对于,由于,即， 若为定值,则为定值,从而和是确定的值, 于是均为定值,这是不可能的,故B错误. 对于选项, 因此是定值,不是定值， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是利用三角换元法假设出，然后利用直线的斜率公式和正切的二倍角公式进行化简，即可判断每个选项 变式6-4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率. (1)求双曲线的方程; (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，1 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求的值，可得双曲线的方程. （2）对直线斜率是否为0分类讨论.当直线斜率部位0时，设其方程为：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，，再表示出，化简即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）如图： 由题意得，， 当直线MN的斜率为零时，则 当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为， 点，联立，整理得， 则，解得且， 所以， 所以 ， 综上，，为定值. 【方法技巧与总结】 定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口. ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. ③ 几何法 根据几何关系确定相关几何量的不变. 【题型八：双曲线中的定直线问题】 例7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为． (1)求四边形的外接圆方程； (2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，且，由求出点，再根据矩形面积及求出、、，即可得到双曲线方程及、点坐标，再求出线段的中点及线段长，最后求出外接圆的方程； （2）设直线为，，，联立消元、列出韦达定理，表示出与的方程，联立求出，即可得证. 【详解】（1）由双曲线的左、右焦点分别为，， 直线与的左、右两支分别交于，两点，且四边形为矩形， 所以，且， 由，解得或， 即，则，又，， 解得，，， 所以双曲线的方程为， 所以，，，， 所以的中点为，又， 所以矩形的外接圆的方程为. （2）由（1）知，， 依题意知直线的斜率不为零，设直线为，， ， 由，得. 当且， 所以，， 所以， 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 所以， 解得， 故点在定直线上. 变式7-1．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法可得与关系式、与关系式，由E，M，N三点共线， 列式可得结果. 【详解】由题得， 设的中点的中点， 则，得 ， 所以，所以①，同理得②， 因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即， 因为直线l的斜率存在，所以， 所以，即点E在直线上. 故选：A. 变式7-2．已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由焦距与通径长转化为的方程组求解可得； （2）设动直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得根与系数的关系，再用求解直线的方程，联立解的坐标，代入韦达定理表达式证明横坐标为常数即可. 【详解】（1）由双曲线焦距为4可得，，即①. 故右焦点为，由， 令，得，则②， 联立①②解得，. 故双曲线的标准方程为； （2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在， 可设方程为， 联立，消得， 则由题意，且， 设， 由韦达定理知，， 由直线与左、右两支都相交，则，得. 又， 直线的方程为③， 直线的方程为④， ④③得，， 由 ， 故，解得， 当时，不论取何值，点横坐标为常数， 即直线和的交点为在定直线上. 【点睛】关键点点睛：运算化简是解决题目关键环节，以下两方面的化简要注意：一是应用直线方程化简消去如：的变形；二是转化变形式子，应用韦达定理化简点的坐标，如 . 变式7-3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点P的坐标为，根据斜率乘积为定值化简即可； （2）设直线l的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，化简弦长得，代入韦达定理式计算即可. 【详解】（1）设点P的坐标为， 由得，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则直线l与曲线只有一个交点，不符合题意， 所以直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为， 设点， 联立方程组，整理得，易知， ，解得， ，解得或， 综上或， 因为， 同理由得， 化简整理得， 所以， 化简整理得，代入， 化简整理得， 所以点D在定直线上．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再对化简得，代入韦达定理式计算即可. 【方法技巧与总结】 证明动点在某一定直线上，可设，再证明满足一线性关系；或证明或是一定值. 一、单选题 1． 过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【详解】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 2.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|. 故选：D. 3.已知为双曲线（）的离心率为，焦点为，且，为双曲线上任意一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．与点的位置有关 【答案】B 【分析】由题意求出双曲线的方程，可得其渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得的表达式，结合点P在双曲线上，化简即可求得答案. 【详解】由题意知，即双曲线的焦距， 又双曲线离心率为，故，故， 则双曲线方程为，则其渐近线方程为，即， 设，则，即， 不妨设分别在和上， 故， 故选：B 4.已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线性质先确定双曲线方程，设Q坐标及切线方程，联立双曲线方程，借助韦达定理得，计算即可. 【详解】由题意得，又， 所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得， 则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以． 故选：B 5. 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】设，由题结合可得.则，后由离心率结合可得答案. 【详解】设，则，又由题得 .则. 则. 故选：D    6. 设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围. 【详解】设 ，则， 那么， 两式相减得：，整理得： 即 ， 又因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 故， 其中，所以 故选：D. 【点睛】本题主要考查点差法化简直线的斜率之间的关系，在求解过程需要掌握这种技巧. 7.已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．   故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义和余弦定理得到，最后利用基本不等式求出最值. 8.在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为， ，以为圆心、为半径的圆和以为直径的圆分别与在第一象限内交于点，，直线与直线交于点，若，则下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在直线上 C．双曲线的离心率可能为 D．双曲线的离心率可能为2 【答案】C 【分析】对于A，由题意知，设，则，，设双曲线的右顶点为，在中由余弦定理得，可得，从而得到点在直线 上；对于B，由，可得，，设，可得，，从而可得结论；对于C、D，由题意可知，分别讨论当和时，所对应离心率的值，从而可判断选项. 【详解】对于A；由题意知，设，则，． 设双曲线的右顶点为，连接，在中由余弦定理得， 所以，，故点在直线 上，A正确． 对于B：易知，则点到直线的距离为， 所以．设，，，则， 得，从而，故点在直线上，B正确． 对于C，D：由题意可知． 当时，点在第四象限，如图1所示．由对称性知， 由角平分线定理得，又，所以， 所以，所以离心率． 当时，点在第二象限，如图2所示．由知为线段的中点， 则可得，所以离心率．故C错误，正确． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是求出，再求出点的纵坐标，从而得到其横坐标. 二、多选题 9．已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C．点到两条渐近线的距离的乘积为 D．已知点，则的最小值为5 【答案】AC 【分析】设P坐标，利用斜率公式、点在双曲线上结合换元法表示斜率平方，根据二次函数的性质计算可判定A，利用双曲线的对称性分类讨论即可判定B，利用渐近线方程、点到直线的距离公式计算可判定C，直接利用三角形三边关系计算即可判定D. 【详解】对于A，由题意可知，，设， 则直线的斜率， ， 令， 则 ， 令， 则在上单调递减， ，则，故A正确； 对于B，当时，满足条件的点有两个， 当时，满足条件的点有两个， 显然不存在点满足， 满足为等腰三角形的点有4个，故B错误； 对于C，易知双曲线的渐近线方程为，即， 点到两条渐近线的距离的乘积为， 故C正确． 对于D，点与在双曲线两侧，当三点共线，且点在线段上时， 有最小值，此时，故D错误． 故选：AC．    10.设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（    ）． A．C的离心率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的离心率定义可判断A；设，，联立，结合根与系数的关系式化简可得，判断B；结合B的结论，利用基本不等式结论判断C；利用双曲线焦半径公式可得的表达式并化简，结合二次函数性质即可判断D. 【详解】对于A，因为，则，所以C的离心率为，故A正确； 对于B，设，，    联立，消去x可得， 则，解得； ，， 则，， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，当F为右焦点时， ， 因为， 所以， 当且仅当或2时取等号， 所以． 显然当F为左焦点时，，所以，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要利用双曲线的焦半径公式求出的表达式，结合二次函数性质进行求解. 11.已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则 ，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则 ，可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 13. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 【答案】 【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点. 【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为. 设，，联立得， . 由韦达定理得，. 因为，所以 . 所以，由题意知，此时. 所以直线方程为，恒经过的定点为. 故答案为： 14. 已知直线：与双曲线：（，）相交于，两点，双曲线的左、右顶点分别为，，若直线与相交于点，则下列说法中错误的是 .（填写所有错误命题的序号） ①实数的取值范围为或； ②直线与直线的斜率之积为定值； ③点在曲线上； ④的面积最大值为. 【答案】①④ 【分析】根据双曲线的基本性质可判断①错误；通过假设点的坐标结合双曲线的方程计算可判断②③正确；通过反面假设④成立，给定面积为最大值，计算得出直线与双曲线渐近线平行，即点不存在，得出矛盾，从而判断④错误. 【详解】如图    ①由直线：与双曲线：相交于、两点，得或，故①错误； ②由点在双曲线上，设，则，即， ，，则， ，，故②正确； ③，，， 设，则， 整理得：，即， 点在曲线上， 若，为椭圆，若，为圆，故③正确； ④若的面积为，则点，， 此时直线与双曲线的渐近线平行， 直线不可能与双曲线有两个交点，故④错误. 错误的说法是①④， 故答案为：①④. 四、解答题 15．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先设出双曲线的方程，代入已知点，求待定系数可得； （2）设出直线的的点斜式，与双曲线方程联立，转化为方程组有两解的问题解决； （3）结合（2）的结论，先根据中点坐标求出斜率的值，再判断是否符合（2）中的取值范围. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图：    设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以 或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 16.已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 17.已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可. （2）设出直线方程及相应点坐标，与双曲线方程联立，根据题目条件结合坐标参数，写出，根据的范围即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【点睛】思路点睛：利用双曲线上点到两渐近线的距离之积为定值可简化面积乘积的计算，另外的面积利用铅锤高水平底计算也较方便. 18. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. （i）证明：共线； （ii）判断 是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）是定值，定值为. 【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解，即可得双曲线标准方程； （2）（i）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论；（ii）设坐标为，直线方程为，结合（i）中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论. 【详解】（1）由题意得解得所以双曲线的标准方程为； （2）（i）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程，消去可得， 该方程有两个正根，解得， 根据韦达定理：， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程两式相加得， 代回方程组得， 根据，易得， 即都在直线上，所以共线； （ii） 为定值，定值为，理由如下： 由（i）得：设坐标为，直线方程为， 即（i）中，根据①中的计算， ， ， ， 所以. 【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理. 19．已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. 证明：①共线； ②为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解，即可得双曲线标准方程； （2）①设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论；②设坐标为，直线方程为，结合①中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论. 【详解】（1）由题意得解得 所以双曲线的标准方程为； （2）证明①：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程消去可得，该方程有两个正根，解得， 根据韦达定理：， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程两式相加得， 代回方程组得， 根据，易得， 即都在直线上，所以共线； 证明②：由①得：设坐标为，直线方程为， 即①中，根据①中的计算， ， ， ， 所以. 【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$