3.2.1&3.2.2双曲线的标准方程与简单几何性质（3知识点+9题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

3.2.1&3.2.2 双曲线的标准方程与简单几何性质 课程标准 学习目标 经历从具体情境中抽象出双曲线的过程, 掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质！ （1）掌握双曲线的标准方程; （2）掌握双曲线的简单几何性质； （3）会根据条件求双曲线方程； （4） 能够根据双曲线的几何性质求值或证明.（难点) 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【即学即练1】 已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案. 【详解】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支. 故选：A. 知识点02 双曲线的方程 焦点在轴上双曲线的方程为， 焦点在轴上双曲线的方程为. 【即学即练2】 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，的值，再根据焦点所在位置直接写出双曲线的标准方程. 【详解】由已知：，，故，由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：. 故选：B 知识点03 双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 【即学即练3】 已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得. 【详解】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以， 由双曲线的定义可得，即， 故双曲线的离心率. 故选：D. 【题型一：双曲线的定义】 例1． 定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】A 【分析】对A点的位置进行分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义，判断出动点的轨迹. 【详解】设圆A的半径为R，对定点B分类讨论： ①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图1所示．    设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的重直平分线l交AP于点M，连接BM， 则． 由椭圆的定义可知，点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆； ②若点B在圆A外，如图2所示．    设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的重直平分线l交AP于点M，连接BM， 则． 由双曲线的定义可知，点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支； ③若定点B与圆心A重合，如图3所示．    设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件， 因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆； ④若点B在圆A上，如图4，则满足条件的点是射线；      综上可知，满足条件的点M的轨迹可能是椭圆、双曲线的一支、圆或一条射线，而不可能是一条直线． 故选：A． 变式1-1．已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 变式1-2．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 变式1-3．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径， 因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为， 则满足，所以， 即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支， 即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 理解双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称2 注意概念中|与两定点距离的大小，注意绝对值符号. 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【题型二：利用双曲线定义求方程】 例2．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 变式2-1．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 变式2-2．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 变式2-3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用双曲线定义求方程时，要确定动点的轨迹是否符合双曲线的定义，确定焦点在轴还是轴，确定与值. 【题型三：根据条件求双曲线方程】 例3．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 变式3-1．双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定即可得双曲线方程. 【详解】双曲线的焦点坐标是和可得， 实轴长是2可得， 所以， 所以方程是. 故选：B. 变式3-2．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件确定双曲线的焦点和顶点坐标，进而确定，，即可求出双曲线方程. 【详解】由椭圆方程可知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 所以双曲线的顶点为，，焦点为，，， 所以双曲线方程为. 故选：A 变式3-3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. （2）由题意先求出双曲线的焦点坐标即求出，然后根据双曲线的定义求出，由平方关系即可求出，从而得解. 【详解】（1）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 若双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）由题意椭圆的半焦距， 所以满足题意的双曲线的焦点坐标为， 所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 而双曲线上的点在第二象限， 所以由双曲线的定义有 ， 解得，又，所以， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【方法技巧与总结】 1 根据条件求双曲线方程，一般采取待定系数法求解； 2 在设双曲线标准方程时，要确定焦点在轴还是轴，若不确定则可分类讨论或设为； 3 根据条件求出和的值. 【题型四：双曲线中焦点三角形问题】 例4．分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，与双曲线的左支交于点.已知是等边三角形，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设点在第一象限，由等边三角形的性质和双曲线的定义可得， 在中，利用余弦定理可得，再结合的关系即可求解. 【详解】由双曲线的对称性，设点在第一象限，如图.因为是等边三角形， 所以，所以， ，则.    在中，由余弦定理可得， 整理得，所以， 解得，所以实轴长为2. 故选：C. 变式4-1．设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线 ，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    变式4-2．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 变式4-3．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点. 【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为， 为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点， 设的内切圆与分别切于，如图所示，    则根据双曲线的定义及圆的性质可知：， 又，得，故为双曲线的右顶点. 同上分析，当双曲线方程为时， 为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点）， 设的内切圆与分别切于， 可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标. 所以此时的内切圆恒过定点. 故选：B. 【方法技巧与总结】 在椭圆的焦点三角形中，要注意椭圆的定义与解三角形知识点（正弦余弦定理、面积公式）的运用。 【题型五：利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 例5．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为 的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 变式5-1．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 变式5-2．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 变式5-3．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用双曲线的定义，把线段和、差问题转化到一些基本的几何模型中去. 【题型六：双曲线的渐近线的求解】 例6．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由已知结合双曲线定义，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，进而可求答案． 【详解】解：如图，由题意得：， 设，则， 所以，， 由双曲线的定义得：， 所以，，则， 因为，在中，， 即，解得， 所以，， 在中，， 即， 可得， 所以， 所以，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 变式6-1．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （   ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可. 【详解】依题意可知，，， 因为，所以，所以，， 所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为， 由双曲线的对称性可知，双曲线的顶点到渐近线的距离为. 故选：B 变式6-2．已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 变式6-3．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案. 【详解】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 求双曲线的渐近线，要注意焦点的位置； 2 要求双曲线的渐近线，只需要得到关于三者中两个量的等式便可. 【题型七：求双曲线离心率】 例7．在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，，根据直角三角形三角比可得，再利用勾股定理列式求解. 【详解】设，则，， 因为，则， 即，整理可得，则， 又因为，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 变式7-1．已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 【答案】D 【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为， 由题意可得， 又 ，，所以 ， 又推不出，所以推不出 故选：D 变式7-2．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线性质可得，再结合双曲线定义即可得解. 【详解】因为直线是圆的切线，所以， 由双曲线定义可得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 变式7-3．双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，过作，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过作于，则，而为线段中点， 于是，， 由，得，，， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 【方法技巧与总结】 求双曲线的离心率，只需要确定关于三者中两个量间的关系便可。 【题型八：求双曲线离心率的取值范围】 例8．已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【答案】A 【分析】首先求出，再结合题干中的条件可知，通过解不等式可得的取值范围，结合双曲线的离心率公式可得答案. 【详解】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 变式8-1．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 变式8-2．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由切线长定理可知，根据得，设点，由根据的范围可得答案. 【详解】连接、、，则，， 由切线长定理可知，，又因为， 所以，，所以，， 则， 设点，则，且，所以， ， 所以，，故. 故选：B. 变式8-3．已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理构造齐次式，再利用对勾函数的性质求范围即可. 【详解】设点在第一象限，由题知， 解得，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 所以， 令，因为，所以， 则， 由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增， 所以． 故选：C 【方法技巧与总结】 1 求双曲线的离心率取值范围，只需要确定关于的不等式； 2 注意双曲线的离心率。 【题型九：与双曲线几何性质有关的最值范围】 例9．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值. 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以 ，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 变式9-1．设双曲线：的两个焦点为，，是双曲线H上的任意一点，过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先根据几何关系求得点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，再根据圆心到直线的距离加上半径为点到直线的距离的最大值，最后求解即可. 【详解】由题意，延长，交于一点，连接，因为，且为的平分线， 所以，且点为线段的中点， 假设点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得， 所以， 因为，分别为，的中点，所以， 由双曲线的对称性可得点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为， 点到直线的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径， 即，故B项正确 故选：B. 变式9-2．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 变式9-3．已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为轴于点，且．当最大时，点恰好在上，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由得为中点，设，计算出，得出时，最大，求出此时点坐标，代入双曲线方程求解即可． 【详解】由题可得，设 因为轴，且，所以为中点，， 设，则，可得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即时，取得最大值，即最大， 此时可得，代入双曲线方程得，，即，则， 故选：D． 【方法技巧与总结】 求解双曲线的最值问题，主要是代数法和几何法； 几何法，需要观察题中涉及的图象，根据所学的几何模型（将军饮马、点与圆上点的最值、垂线段最短等）进行求解； 代数法，可引入参数表示所求最值的量，把问题转化为函数最值问题，此时要注意参数的取值范围. 一、单选题 1． 与圆：和圆：都外切的动圆圆心的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】由题意可以得到，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意圆：的圆心、半径分别为， 圆：的圆心、半径分别为， 不妨设满足题意的动圆圆心、半径分别为， 则由题意有， 故满足题意的动圆圆心轨迹是以为焦点，长轴长为的双曲线的一支（左支）. 故选：A. 2.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 3.与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 4.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 5.椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出双曲线渐近线方程据椭圆离心率的公式，双曲线离心率的公式，构造方程组，解出即可. 【详解】设双曲线的渐近线方程为 记椭圆和双曲线的半焦距分别为，因为， 则, 令，则， 解得，（舍去），故，双曲线渐近线方程为： . 故选:A. 6.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知条件可以得到双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可知，，故的最大值为. 【详解】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点， 所以可设双曲线的方程为， 又因为双曲线的焦距为8，所以， 而，所以，故双曲线的标准方程为. 由双曲线的定义可知，， 由题意可知，，，， 所以,故的最大值为， 当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值. 故选：B    7.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知， 即，得. 故选：D． 8.已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长，交于点T，则可得，再结合双曲线的定义得，连接，则，而为定值，所以由图可知，从而可求得结果. 【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，， 因为P在双曲线上，所以，所以， 连接，则， 因为， 所以，当三点共线时取等号， 即点和点Q距离的最大值为3， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得，，考查数形结合的思想，属于中档题. 二、多选题 9．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程求得，双曲线方程求得，且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，结合椭圆和双曲线的性质逐项分析判断. 【详解】对于椭圆的方程为，可得， 对于双曲线的方程为，可得， 且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误； 对于选项C：椭圆的离心率，故C正确； 对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部， 所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确； 故选：ACD. 10.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，可判断A正确；由三角形性质可知只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，B错误；利用直角三角形的射影定理可知，可得，即，选项C判断正确，求出的表达式并利用函数单调性即可得出其取值范围，可判断D错误. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为；两渐近线倾斜角分别为和， 对于A，设圆与轴切点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为； 由双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，即与轴垂直， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 对于B，由双曲线定义知，中，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，选项B判断错误； 对于C，在中，,， 设圆的半径分别为， 则由直角三角形的射影定理可知，即，则， 故，选项C判断正确； 对于D,由直线AB的倾斜角取值范围为可知的取值范围为, 则的取值范围为, 故 则， 令则在上单调递减，在上单调递增； 易知，所以的值域为； 故的值域为，选项D判断错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆问题时，往往利用双曲线定义和圆的切线长定理可知圆心的横（纵）坐标与双曲线顶点的横（纵）坐标相同. 11.已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则 ，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则 ，可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知双曲线（其中）的右焦点为，则 的离心率为 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线焦点在轴上，得出，计算得出,最后得出离心率. 【详解】由题意可得双曲线焦点在轴上，且， 则，由得， 故的离心率. 故答案为：2. 13. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为 ，最小值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式可直接得该双曲线的渐近线方程；设，利用数量积公式化简，结合双曲线方程以及二次函数的性质即可得最小值. 【详解】根据题意双曲线，所以双曲线的渐近线方程为； 设，则， 所以， 由双曲线性质可知，或， 结合二次函数的性质可得当时，取得最小值为， 故答案为：. 14. 已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 【答案】 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于， 可得，，， 又由双曲线定义可得， 则， 又，解得， 则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得， 化简得，即， 即是的平分线，由于，， 所以点是的内心，且半径为， 则， 又， 所以. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据条件式化简求得，即得是的平分线，再结合双曲线定义和内切圆的性质求得点是的内心. 四、解答题 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 16. 已知和为双曲线上两点． (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为12，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组求出，即得离心率； （2）由（1）写出椭圆方程，求出的长和直线方程，设点，根据面积和题设条件列出方程组，分情况求解方程组即可得到点坐标. 【详解】（1）由题意可得，，解得， 故，则的离心率为； （2）由（1）可得双曲线方程为：， 如图，依题意，, 直线的方程为，即， 设点，则点到直线的距离为：， 于是，的面积为，即①， 又在双曲线上，故得，②， 由①知，当时，将代入②整理得，， 解得或， 此时点坐标为或； 当时，将代入②整理得，， 解得或， 此时点坐标为或. 经验证，以上四点均符合题意，故点的坐标为或或或. 17.已知圆，，为上的动点，线段的垂直平分线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，点不在轴上，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线的定义确定点的轨迹，进而求出轨迹方程. （2）由给定条件，可得点在第一象限，且是腰长为4的等腰三角形，再结合（1）中轨迹方程，求解方程组即得结果. 【详解】（1）依题意，圆的圆心，半径， 由线段的垂直平分线交直线于点，得， 则， 因此点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为的双曲线， 实半轴长，半焦距，则虚半轴长， 所以点的轨迹方程为.    （2）依题意，由与轴不重合，得，则，点在第一象限， 是以线段为底边的等腰三角形，则， 设，则，又，解得， 所以点的坐标是. 18.已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 19．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：； (3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)为定值1，理由见解析. 【分析】（1）根据实轴长和顶点到渐近线的距离求解即可； （2）将转化为线段的中点重合，结合韦达定理求解即可； （3）知识迁移，类比二元二次方程的正整数解，求方程的正整数解，然后将的面积表示出来即可. 【详解】（1）由题意，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）由题意直线的斜率不为0，设直线，因为直线与的右支交于两点，所以， 联立得， 所以，且，即， 联立得，所以， 所以，即线段的中点重合，所以． （3）由题意得方程的初始解为，则根据循环构造原理得 ， 从而， 记，则，设的夹角为， 则的面积 ， 令， 则 ，于是的面积为定值1． 【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，将学习过的知识方法迁移到新的问题中. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1&3.2.2 双曲线的标准方程与简单几何性质 课程标准 学习目标 经历从具体情境中抽象出双曲线的过程, 掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质！ （1）掌握双曲线的标准方程; （2）掌握双曲线的简单几何性质； （3）会根据条件求双曲线方程； （4） 能够根据双曲线的几何性质求值或证明.（难点) 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【即学即练1】 已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 知识点02 双曲线的方程 焦点在轴上双曲线的方程为， 焦点在轴上双曲线的方程为. 【即学即练2】 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 知识点03 双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 【即学即练3】 已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型一：双曲线的定义】 例1． 定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 变式1-1．已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【方法技巧与总结】 1 理解双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称2 注意概念中|与两定点距离的大小，注意绝对值符号. 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【题型二：利用双曲线定义求方程】 例2．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用双曲线定义求方程时，要确定动点的轨迹是否符合双曲线的定义，确定焦点在轴还是轴，确定与值. 【题型三：根据条件求双曲线方程】 例3．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 变式3-1．双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【方法技巧与总结】 1 根据条件求双曲线方程，一般采取待定系数法求解； 2 在设双曲线标准方程时，要确定焦点在轴还是轴，若不确定则可分类讨论或设为； 3 根据条件求出和的值. 【题型四：双曲线中焦点三角形问题】 例4．分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，与双曲线的左支交于点.已知是等边三角形，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式4-1．设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式4-2．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在椭圆的焦点三角形中，要注意椭圆的定义与解三角形知识点（正弦余弦定理、面积公式）的运用。 【题型五：利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 例5．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 变式5-2．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【方法技巧与总结】 利用双曲线的定义，把线段和、差问题转化到一些基本的几何模型中去. 【题型六：双曲线的渐近线的求解】 例6．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （   ） A．3 B． C． D．6 变式6-2．已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求双曲线的渐近线，要注意焦点的位置； 2 要求双曲线的渐近线，只需要得到关于三者中两个量的等式便可. 【题型七：求双曲线离心率】 例7．在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 变式7-2．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求双曲线的离心率，只需要确定关于三者中两个量间的关系便可。 【题型八：求双曲线离心率的取值范围】 例8．已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 变式8-1．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求双曲线的离心率取值范围，只需要确定关于的不等式； 2 注意双曲线的离心率。 【题型九：与双曲线几何性质有关的最值范围】 例9．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．设双曲线：的两个焦点为，，是双曲线H上的任意一点，过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式9-2．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 变式9-3．已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为轴于点，且．当最大时，点恰好在上，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 求解双曲线的最值问题，主要是代数法和几何法； 几何法，需要观察题中涉及的图象，根据所学的几何模型（将军饮马、点与圆上点的最值、垂线段最短等）进行求解； 代数法，可引入参数表示所求最值的量，把问题转化为函数最值问题，此时要注意参数的取值范围. 一、单选题 1． 与圆：和圆：都外切的动圆圆心的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 2.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3.与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 5.椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题 9．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点 10.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 11.已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 三、填空题 12．已知双曲线（其中）的右焦点为，则 的离心率为 ． 13. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为 ，最小值为 . 14. 已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 四、解答题 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 16. 已知和为双曲线上两点． (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为12，求点的坐标． 17.已知圆，，为上的动点，线段的垂直平分线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，点不在轴上，若，求点的坐标. 18.已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 19．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：； (3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$