江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

天一2024-2025学年九年级10月份月考试卷 时间：120分钟总分：150分 一.选释题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的有（) @24x=:@2-30*4=0:®x2-4@2=0:⑤x2号+3=0， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若一元二次方程x2-3x+a=0的一个根为x=2,则a的值为（） A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.如图，若点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),AB=6,则AD的长是() A.3 B.3V5-1 c.9-3W5 D.3W5-3 4.方程2-2x-3=0配方后可化成(x+m)2=n的形式，则m+n的值为() A.5 B.4 C.3 D.1 5.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() E A.A想=AC B.∠B=∠D C.AB=BC D.∠C=∠AED AD AE AD DE 6.若关于x的一元二次方程(k-1)x2++1=0有实数根，则k的取值范围是() Ak>号 B.k>5 4 C.k>且1D.<且 4 7.下列各组图形中，一定相似的是() A,两个平行四边形 B.两个正方形 C.两个矩形 D.两个菱形 8.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若BF:FD=3: 1,BC=10,则CE的长为() A.3 B.4 C.5 D. 3 第1页（共7页） 9.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题：“平 地秋千未起，踏板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉：良工高 士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10 尺)时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳素长 为x尺，则可列方程为() A.x2+102=(x+1)2 B.(x+1)2+102=x2 C.x2+102=(x-4)2 D.(x-4)2+102=x2 I0.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP 翻折，点B落在点E处：在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上 的点F处，直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的是() ①△CMP∽△BPA: ②△CNP的周长始终不变： ③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线： ④线段AM的最小值为V5: ⑤当△4BP≌△ADN时，BP=2√2-2. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二，填空愿（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） a 12.关于x的方程(mr2)xA2-243x-1=0是一元二次方程，则m的值为 13.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm,那么较小的三角形的周 长为 cm. 第2页（共7页） 14.若a,B为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2c2+3aB+5β的值为 15.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平 均一台电脑会感染x台电脑，则x=一 16.已知关于x的一元二次方程c(1-x2)-2bx=a(1+x2),其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果 方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为 I7.如图，△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°，AB=3,AC=4,点D在线段BC上运动，P为线段 DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 B D 18.如图①②，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3√3,3)，点M(4,0)是横轴上的一点，点N 在y轴上，且∠MPW=90°，0t≤4V3. (1)如图①，当1=0时， PM_ (提示：过点P作x轴垂线，垂足为H, PN 交过点N作y轴的垂线于点G) (2)连接MN,设MN的中点为T,在点M从1=0这个时刻走到t=4W3这个时刻的过程中，点T所 走过的路线长是 N OM0H:支 OM ① ② 三.解答题（共10小题，共96分） 19.按要求解下列方程（共16分）： (1)3x2+6x-1=0(配方法) (2)x2.6x+5=0 (3)x2-2W3x-9=0(公式法) (4)4(x+3)2.(x-2)2=2x(x+5). 第3页（共7页） 20.(6分)化简再求值：。一+(a-1+2红- ),其中a是方程x2-x-8=0的根 a+1 21.(8分)已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根： (2)若等腰△ABC的一边a=3,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 22.(6分)如图，在6X10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG,请按要求画线段， (1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ(端点在格点上)，使点P,Q分别落在边AD,BC上，且 PQ与FG的一边垂直. (2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M,EG上一点N,连结MN,使△EMN和△EFG 的相似比为2：5.（保留作图痕迹） A 0 E G 0 G B C B 图1 图2 第4页（共7页） 23.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F,交对角 线AC于点G. (1)若DE=1,AD=2,求CP的值： DF (2)求证：△BCF∽△EAB. B G E 24.(10分)无锡市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”，某商店统计了某品牌头盔的销 售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价 1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那 么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 25.(10分)材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程+bx+c =0(a0.-4c≥0)的两根，知有如下的关系（伟达定理：x1*x2片，x1“x2号 b 材料2：如果实数m、n满足m2-m-1=0、?-n-1=0,且m≠n,则可利用根的定义构造一元二次 方程2-x-1=0,将m、n看作是此方程的两个不相等实数根. 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程2x2-3x-5=0的两根分别为x1,2,则x1+x2=」 ，x1·x2 = ②已知实数a,b满足：+4a-3=0,62+4b-3=0(a≠b),则11= a b (2)已知实数m、n、1满足：m2-4m=11+i,2-4n=11+1,且0<m<n,求(m+1)(t1)的取值 范围 第5页（共7页） 26.(10分)每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为 了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD,发现 水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD=57米，D、E之间有一个花圃无法测 量，然后在E处放置一个平面镜，沿BE后退.退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时EG=2.4 米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米，求出塔高AB. 花丽 B 27.(10分)阅读感悟： 已知方程x2+2x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为少，则y=2x,所以x= 2 把x之代入已知方程，保学)2+2宁1-0 化简，得y2+4y-4=0, 故所求方程为y2+4y-4=0. 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”， 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） 解决问题： (1)己知方程x2-x-3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1.则所求方程 为： (2)方程a2+bx+c=0(a≠0，c≠0，b2-4ac≥0)的两个根与另一个一元二次方程的两个根互为倒数， 求另一个一元二次方程： (3)已知关于x的一元二次方程am+6c=0(a≠0)的雨个实数根分别为1和令 求关于y的一元 二次方程c(y-2024)2+b(y-4)=2020b-a(c≠0)的两个实数根. 第6页（共7页） 28.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线CD与x轴、y 轴分别交于点C、点D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程x2-18+72=0的 两根(01>0Cc,BE=5,0B-号04 (1)求点A、点C的坐标： (2)求直线CD的解析式： (3)在x轴上是否存在点P,使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点 P的坐标：如不存在，请说明理由. D 第7页（共7页）