精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华学校2024—-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷

杭州绿城育华学校初中部2024-2025学年八年级（上）阶段成果展示 数学学科试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某三角形的三边长分别为3，6，，则可能是（ ） A 3 B. 9 C. 6 D. 10 3. 画出一边上的高，下列画法正确的是（） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A. 射线是的平分线 B. 线段平分线段 C. 点和点关于直线对称 D. 6. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，方格纸中的和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知在中，，点在上且．设，，则（） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是________（一个即可）． 12. 已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则等腰三角形的周长为_____． 13. 如图，在中，，平分，，，则________，________． 14. 如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为________． 15. 如图，在中，，点D在上，沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为______． 16. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 三、解答题（共7题） 17. 解下列不等式． （1）； （2） 18. 如图，已知，其中． （1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的周长． 19. 如图，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 20. 某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 21. 如图，的两条高交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 22. 已知关于、方程组 （1）若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． （2）若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）条件下，设，求的取值范围． 23. 如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果，． ①如图2，当点在线段上时（与点不重合），线段、所在直线的位置关系为_______，线段、的数量关系为_______； ②如图3，当点在线段延长线上时，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点在线段上，当_______时，（点、不重合）．（请直接写出答案，如若需要，自行绘图） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州绿城育华学校初中部2024-2025学年八年级（上）阶段成果展示 数学学科试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 2. 某三角形的三边长分别为3，6，，则可能是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：由题意得：3＜x＜9， ∴只有C选项符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3. 画出一边上的高，下列画法正确的是（） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查作图基本作图，三角形高的定义，三角形高的定义对各选项进行判断，掌握三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：根据三角形高的定义可判断C选项符合题意， 故选：C． 4. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键． 根据不等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A. 射线是的平分线 B. 线段平分线段 C. 点和点关于直线对称 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用尺规作角平分线的相关知识，理解题目所给的作图步骤是解题关键；根据作图步骤判断即可解题． 【详解】解：根据作图的步骤和图形可知：尺规作图实际上是平分了，所以射线是的平分线， 故选：A． 6. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 7. 如图，方格纸中的和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，证明，得到，再根据邻补角即可得出结论． 【详解】解：如图，由图可知：， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 8. 小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故选A． 9. 如图，已知在中，，点在上且．设，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形锐角互余等，由得出，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到，，两式相加即可得出，从而求得，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：，即， ∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴的取值范围为：， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是________（一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意可知，当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则等腰三角形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．分腰长为2和腰长为4两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为时2时，三边分别为2、2、4，不能构成三角形， 当腰长为时4时，三边分别为2、4、4，，能构成三角形，周长为：， 故答案为：10． 13. 如图，在中，，平分，，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角的平分线的定义．利用角的和差关系进行计算是正确解答本题的关键． （1）中，根据三角形内角和定理得到的度数，进而求出和的度数； （2）在直角中根据三角形内角和定理，得到的度数，则的度数就可以求出． 【详解】解：（1）在中，，， , ∵平分， ； （2）∵在直角中，， ∴． 故答案为：，． 14. 如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解． 【详解】∵D、E分别是BC，AD的中点， ∴S△CDE＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC， ∴S△CDE＝S△ABC＝×24＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 15. 如图，在中，，点D在上，沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，，根据三角形外角性质可得的度数，进一步可得的度数． 【详解】解：解：由折叠可得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 16. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 三、解答题（共7题） 17. 解下列不等式． （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，已知，其中． （1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结即可； （2）根据垂直平分线的性质得出EA=EC，根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长= ． 【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 19. 如图，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20. 某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元 （2）购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，②购买排球28个，篮球22个，③购买排球27个，篮球23个 【解析】 【分析】（1）设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买气排球个，则购买篮球个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元． 根据题意得：， 解得： 所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元． 【小问2详解】 解：设购买气排球个，则购买篮球个． 根据题意得：， 解得， 又∵为正整数， ∴排球的个数可以为27，28，29， ∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个， ②购买排球28个，篮球22个， ③购买排球27个，篮球23个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 21. 如图，的两条高交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）先通过导角证明，再根据“边边角”证明； （2）根据全等三角形对应边相等，即可求解． 【小问1详解】 证明：是的两条高， ，， ，， ， 在和中， ， ； 小问2详解】 解：，， ， ， ． 22. 已知关于、的方程组 （1）若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． （2）若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； 【小问2详解】 ， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； 【小问3详解】 ，， ， ， ， ． 23. 如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果，． ①如图2，当点在线段上时（与点不重合），线段、所在直线的位置关系为_______，线段、的数量关系为_______； ②如图3，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点在线段上，当_______时，（点、不重合）．（请直接写出答案，如若需要，自行绘图） 【答案】（1）①，；②仍然成立，理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键． （1）①在正方形中，根据得到，进而得到，进而推出，即； ②由正方形的性质可推出，所以，，结合，，得到，即； （2）当时，过点作交的延长线于点，则，可推出，所以，结合（1）①的证明过程即可完成本题． 【小问1详解】 解：①正方形中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； ②当点在线段的延长线上时，①中的结论仍然成立，理由如下： 由正方形得，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，当点在线段的延长线上时，①中的结论仍然成立； 小问2详解】 解：当时，，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$