第7章 图形的变化-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学课本梳理精讲（大庆市专版）

参考答案与解析 ∠ABP=45°，.PA=AB=300,在Rt△ABQ中，tan63.5°= 第24讲 与圆有关的计算 B0-390=150.PC=150.心P0=C0+PC3 【考点梳理·夯基础】 1505335(米). ☐πK 180 （或宁刷 ☒mr2国2mr 固360， 答：医院与大厦的直线距离约有335米 ⑥2☑弧长 第五章四边形 【实战演练·品方法】 第20讲平行四边形与多边形 例1B例2C 【考点梳理·夯基础】 微专题10与圆有关的阴影部分面积的计算 回相等回相等图互补④互相平分固中心 回平行回相等圆平行且相等回相等0互相平分 1, 3π2.A3.C 459-号5号+号6B79 4-2 Π首尾顺次区(n-2)×180°3360° 【实战演练·品方法】 8.2 9.π3 3 10.号1.年-号12m-4 3 例1D例2 910 50 第七章图形的变化 第21讲 特殊的平行四边形 第25讲尺规作图与无刻度直尺作图 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 面直角②互相平分且相等 图直角4用直角 固相等 回适当长 6相等7互相垂直且平分 囫相等回相等而垂直 回大于？MN的长圆∠AOB的内部 山相等2直角3相等国平行四边形固矩形 国大于之B的长 固直线MN⑥适当长 矩形团菱形B菱形四四边形 【重难研析·理要点】 回大于子AB的长图PW长回大于之AB的长为半径 典例2或5-√13 好 【重难研析·理要点】 跟踪训练 典例A 第六章圆 跟踪训练D 第22讲圆的基本性质 第26讲 视图与投影 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 回圆回圆心图半径④直径固优弧石劣弧 回由左向右②实线 图虚线④正方形固长方形 圆心因圆⑨中心对称山圆心山相等应弦 回扇形团三角形 国相等国一半固相等6直角团直径图平分 实战演练·品方法】 回三个顶点①互补 2四180°22∠A 例1B例2C 实战演练·品方法】 第27讲 图形的对称与折叠 例1B例2B 【考点梳理·夯基础】 第23讲 与圆有关的位置关系 团（成轴）对称②对称轴3图轴对称图形4④对称轴 【考点梳理·夯基础】 固垂直平分⑥对称轴☑全等⑧因相等⑨相等 四>回=圆< ④<固=☑> ☑垂直图1 G中心，对称田对称中心2中心对称图形 回垂直0等于 【实战演练·品方法】 【重难研析·理要点】 例1A例29 典例A 微专题11 几何图形的折叠问题 跟踪训练迈 方法指导 微专题8圆中常见辅助线的作法 (2)AD AG FD∠D∠DAG四边形FDAG(3)AE 1.c25352°4号 4).∠4GF 5.证明：(1)连接OB.如答图 12.5攻102号或5 3.1.5或2.5 .OB=OC,.∴.∠OCB=∠OBC AC是⊙0的直径，∴.∠CBA=90°， 4.4-23或25-2 .∠CAB+∠OCB=90°. 第28讲 图形的平移与旋转 ∠CBD=∠CAB 【考点楂理·夯基础】 D ∴.∠CBD+∠OCB=90° 回距离四相等☒相等 ④全等固旋转角度 5题答图 ..∠CBD+∠OBC=90° 回相等团旋转角⑧全等回(x,y±n)0(x,-y) .,∠OBD=90°，，PD是⊙0的切线 【实战演练·品方法】 (2)由(1)知PD是⊙0的切线，直线PA与⊙0相切. 例1D ,P0垂直平分AB.∴.∠AMP=∠AM0=90°. 例290°，180°或270°[解析]如签 .∴.∠APM+∠PAM=90°. 图，连接AC,取BC的中，点E,连接 ,∠0AP=90°，∴.∠PAM+∠OAM=90 AE,则BE=CE=AB.又∠ABE= ∠APM=∠OMM△0AM∽△APMA=W 60°，.△ABE是等边三角形，，AE有 PM=AM· =BE=CE,∴，点A在以点E为圈心 例2题答图 ..AM=OW·PM 的圆上且BC为该圆的直径，，∠BAC=90°（依据：直径 6.52 所对的国周角为0°)，文，·AB∥CD,∴，∠ACD=∠BAC 微专题9辅助圆问题 =90°，AP=AB,,点P在以点A为圈心，AB为半径的 圆上运动.讨论如下： 1.B2.13-23.2+14.3-15.26.24+43 见业图倾合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 RR 数学·精讲本 图示 分析 径长为×mx5= 2. 点P在以CD为直径的圈 上，取CD的中，点0，连 0A,设0C=a,易求得OA 当∠DPC =90°时 5--L- =13a.而/13a>2a+ 4,即OA>AB+0OC,,⊙A 与回0无交点，，此种情 况不存在 11题答图 12题答图 当∠DGCP 点P在直线AC上，明競 12.5 [解析]由题知△EFG为等边三角形，点G的位置 =90°时 转角0=90°浅270° 随着点F的位置的变化而变化，如答图，将△EFB绕点 E顺时针旋转60°得到△EGH,连接BH,由旋转的性质 可知△EFB≌△EGH,EF=EG,EB=EH,∠BEH=6O ∴.△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HW 当∠PDG 延长BA交⊙A于点P,则 上，过点C作CM⊥HN于，点M,刚CM即为CG的最小 =90°时 四边形PACD是矩形， ∴.旋转角位=180 值（垂线段最短），过点E作EP⊥CM于点P,可知四边 形HMP为矩形.又∠BEH=60°，∠HEP=90°， 综上可知旋转角a的度数为90°，180°或270° 微专题12有关最值的问题 ∠PEC=30,在△EPC中，CP=ECBE= 1C2m354255(-号，0)6A7.B 1.BC4..EC=3..CM-MP+CP-E+EC=1+ 3 5 5 8.61 9.6[解析]如答图，以BC为边向外作等边△BCD,连接 2 2,即CG的最小值为 AD,由费马点模型的结论可知AD的长即为PA+PB+PC 第八章统计与概率 的最小值..AB=AC,∠BAC=120°，..∠ABC=∠ACB= 第29讲统计 30°.：△BCD为等边三角形，·∠BCD=60°，∴∠ACD= 【考点梳理·夯基础】 ∠ACB+∠BCD=90°.AC=3,在Rt△ACD中，AD= AC es60=6,一PA+PB+PC的最小值为6. 四全体②1 固++…+送 ④最中间 固最中间两个数的平均数回大☑远回小回近 @A四A回中位数3中位数西百分比51 【重难研析·理要点】 典例解：(1)144 (2)表中依次填7分，2.6.8分.7.5分 (3)乙组的众数高于甲组：乙组的中位数高于甲组.（答 案不唯一) 跟踪训练 解：(1)7.5< (2)选择乙公司.因为乙公司配送速度得分的平均数和中 9答图 10题答图 10.2/53[解析如答图，将△CPM绕C递时针旋转 位数都比甲公司高，说明乙公司的整体配送速度较快 90°得到△CPM',连接MM',PQ,则△CPM≌△CPM', (注：答案不唯一，合理即可) PW=P',CP=GP.又∠MCf=90°，∴.△MCW是等 (3)收集快递公司的收费标准（注：答案不唯一，合理即可） 腰直角三角形，.∴.M'=2MC,.MP+2MC+MQ=P"M 第30讲概率 +M+MO≥PO.当O,M,M',P四点共线时，MP+w2C 【考点梳理·夯基础】 +MQ有最小值，最小值即为线段PQ的长.在正方形 □1☑0图m国P ABCD中，AB=8,BP=2,Q为AD的中点，CP=CP 【实战演练·品方法】 =6,QD=4.在Rt△P"DQ中，PQ=√PD+QD= 7 /(6+8)+4=2、53,.MP+2MC+MQ的最小值 例1 10 为253. 2T[解析]：LACB=90,AC=6,BC=8,AB= 例2解：(1) 11. (2)根据题意列表如下： √AC2+BC=√6+8=10.如答图，连接AM,BM, 1 123 AB是⊙0的直径，∠AMB=90°，即AM⊥BM,分别 1 2 3 取AC,BC的中点E和F,连接NE,NF,EF,在△AMC中， 2 3 N,E分别为MC,AC的中点NE/AM.NE=子AM 2 2 4 6 在△BMC中，：N,F分别为MC,BC的中点，∴.NF∥ 3 3 3 69 BM,NF=BM,NE⊥NF,即LENF=90,六点N在 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中摸出的这两 以EF为直径的半圆上运动，在△ACB中，E为AC的中 个小球上标有的数字之积是偶数的结果有7种，所以P 7 点，F为BC的中点EF=2AB=5,点N的运动路 16 9 见业图标合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧第七章图形的变化 22 第七章 图形的变化 第25讲 尺规作图与无刻度直尺作图 《考点梳理·夯基础》 客案77 贵点①六种基本的尺规作图 3.作已知角的平分线（已知∠AOB) 1,作一条线段等于已知线段（已知线段a)》 图示 图示 1.作射线OP: 步骤 2.以点0为圆心，线段a的长为半径画弧， 1.以点0为圆心，□ 为半径画弧， 交OP于点A,OA即为所求作的线段 交OA于点N,交OB于点M: 作图原理 圆上的点到圆心的距离等于半径 2.分别以点M,N为圆心.回 步骤 为半径画弧，两弧在圆 相交 已知三边作△ABC 于点P: 应用（课 3.画射线OP,射线OP即为所求作的角平 标要求) 分线 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角 作图原理 2.作一个角等于已知角（已知∠α》 形的对应角相等 图示 作三角形的内切圆 应用（课 1.以∠a的顶点0为圆心，任意长为半径画 标要求) 弧，交∠a的两边于点P,Q: 2.作射线0A: 3.以点O为圆心，OP长为半径画弧，交O'A 4.作已知线段的垂直平分线（已知线段AB) 步骤 于点M: 4.以点M为圆心，PQ长为半径画弧，交第3 步中所画的弧于点N: 图示 5.过点N画射线O'B,则∠A0B即为所求作 的角 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角 作图原理 形的对应角相等 1.分别以点A和点B为圆心，④ 为 半径作弧，两弧相交于M,N两点： 已知两边及其夹角作△ABC 步骤 2.作直线MN,固 即为所求作的垂 应用（课 直平分线 标要求) 烹 到线段两个端点距离相等的点在这条线段 作图原理 的垂直平分线上 见业图倾合抖音/微信码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧◆ 59 数学·精讲本 续表 续表 1.已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知一直角边和斜边作直角三角形 a 应用（课 h 标要求)】 2.过不在同一直线上的三点作⊙0（作三角 形的外接圆). 6.过直线外一点作这条直线的平行线（已知，点A和 直线1) 应用（课 B 标要求) 3.作圆的内接正方形 图示 1,在直线I上取一点B,连接AB: 4.作圆的内接正六边形 2.以点B为圆心，适当长为半径画孤，交AB 于点D,交直线I于点E: 3.以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AB 步骤 于点C: 5.过一点作已知直线的垂线（已知，点P和直线） 4.以点C为圆心，DE长为半径画弧，交第3 步所画的弧于点F: 点P在直线I上 点P在直线I外 5.画直线AF,则直线AF即为所求作的平 木 行线 图示 作图原理 内错角相等，两直线平行 者点②复杂作图及应用与设计作图 1.任意取一点M,使 1.以点P为圆心， 1.复杂作图是在六种基本作图的基础上进行作图， 点M和点P在直 a 为半 般需结合几何图形的性质和基本作图方法.解 径向点P两侧作 线1的两侧： 2.以点P为圆心， 决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质， 弧，交直线1于点 图 为半 结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基 A,B: 径作弧，交直线( 2.分别以点A,B为 本作图，逐步操作。 于点A,B: 步骤 圆心，回 2.应用与设计作图主要是把简单作图放人实际问 3.分别以点A,B为 为半径向直线！两 圆心，回 题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形 侧作弧，交于点 作弧，两弧相交于 的要求，再结合对应几何图形的性质和基本作图 M.N: 点N: 3.作直线MN,则直 方法进行作图. 线MN即为所求 4.作直线PV,则直 线PN即为所求作 者点③无刻度直尺作图 作的垂线 的垂线 1.在尺规作图中，无刻度直尺的功能仅限于经过两 点作一条直线，因此确定点的位置是作图的关键： 2.在网格中作图需要确定满足条件的格点的位置： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段 作图原理 的垂直平分线上 3.在等边三角形网格中作图时要注意等边三角形 的边角等数量关系 60 见业图颜合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第七章图形的变化 22 答案77 《重难研析·理要点》 变雅点。尺规作图 中巩图训练链接至《精练本》川3T6>》 典例（河南）如图.已知口AOBC的顶点0(0,0)，A(-1,2), 6思维导引 点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图：①以点0为圆心，适 易知点G的纵坐标，要求点G的横坐标， 先求AG的长， 当长度为半径作弧，分别交边OA,OB于点D,E:②分别以点 ①AC∥OB,点G的纵坐标为2： D,E为圆心，大于2DE的长为半径作弧，两 t F ②射线OF是∠4OB的平分线： ③∠A0G=∠COE,∠GOE=LAG0 弧在∠AOB内交于点F:③作射线OF,交边 则∠A0G=∠AG0,故AG=AO= AC于点G.则点G的坐标为 ( B 5 因此点G的坐标为(5-12) A.(5-1,2)B.(5,2)C.(3-5,2)D.(5-2,2) 跟踪训练 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点 E,F,分别以点E,F为圆心，大于)EF的长为半径作弧，两弧在LBAC的内部相交于点C,作射线AG, 交BC于点D,则BD的长为 ( A.3 R子 C.3 温馨提示 请完成《精练本1》P121-123 第26讲 视图与投影 《考点梳理·夯基础》 答案77 考点①投影 (3)俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物 1.平行投影：由平行光线形成的投影 体的视图。 2.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成 2.三视图的画法 主视图 左礼图 (1)确定主视图位置，画 的投影 出主视图。 3.正投影：投影线垂直照射在投影面上的物体 (2)在主视图正下方画 长对正 宽等 投影. 出俯视图，注意与主 考点②三视图 视图“长对正” 1.三视图的定义 (3)在主视图正右方画 俯视图 (1)主视图：在正面内得到的由前向后观察物体 出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视 的视图。 图“宽相等” (2)左视图：在侧面内得到的四 观察物 (4)看得见部分的轮廓线画成② ,看不 体的视图. 见部分的轮廓线画成☒ 见业图倾合抖音微信的 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 33 数学·精讲本 3.常见几何体的三视图 续表 几何体 主视图 左视图 俯视图 图示（选其 几何体 展开图 中一种) d 一个圆和一个 圆柱 △ 回 0 圆锥 △ △ ☑ 两个全等的回 和三个矩形 加 圆锥 三棱柱 2.正方体的展开图 球 回 “141”型 吧 正方体 “231”型 长方体 口 “33”型 m “222”型 三棱柱 考点③立体图形的展开与折叠 提分点状> 1.常见几何体的展开图 示意图中数字相同的面为相对面，正方体 图示（选其 的表面展开图中若出现“☐☐☐☐”类型，另外 几何体 展开图 中一种) 两而必须在两则，如“141”型，不能出现 间 六个大小相等的 图形 正方体 ④ 日 3.立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面 两个大小相等的圆 图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何 圆柱 和一个固 体，展开与折叠是一个互逆过程. 答案77 《实战演练·品方法》 例（龙东地区）如图是由若干个相同的小正方体 例2（绥化）两个长方体按图示方式摆放，其主视 搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的 图是 小正方体的个数最多是 B 例2题图 左视图 俯视图 D 例1题图 温馨提示 请完成《精练本1》P124-126 A.7 B.8 C.9 D.10 62 见业图颜合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 第七章 图形的变化 第27讲 图形的对称与折叠 《考点梳理·夯基础》 答案77 考点轴对称与轴对称图形 续表 轴对称 轴对称图形 中心对称 中心对称图形 把一个图形沿着某一条 直线折叠，如果它能够与 如果把一个平面图形沿 另一个图形重合，那么就 一条直线折叠，直线两 图形 定义 说这两个图形关于这条旁的部分能够互相重 直线团 ,这条直 合，这个图形就叫做③ 线叫做网 ,折叠 ,这条直线就 (1)有且只有一个对称中心： 后重合的点是对应点，叫 是它的④ (2)对应点所连线段都经过对称中心，且被对称 做对称点 中心平分： 性质 (3)成中心对称的两个图形全等，对应线段相等， 对应角相等： 图形 (4)成中心对称的两个图形，其对应线段互相平 行（或在一条直线上） (1)对应点所连线段被对称轴固 提分点拔>一一 性质 (2)对应线段或延长线的交点在回 上 ①常见的轴对称图形：线段、菱形、矩形、正方 (3)成轴对称的两个图形☑ 对应线段 形、等腰三角形、正六边形、圆等： ⑧ 对应角回 ②常见的中心对称图形：线段、平行四边形、菱 (1)轴对称是指两个全 (1)轴对称图形是指具 形、矩形、正方形、正六边形、圆等； 等图形之间的位置 有特殊形状的一个 ③常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的图 区别 关系： 图形： 形：线段、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 (2)成轴对称的两个图 (2)轴对称图形的对称 形只有一条对称轴 轴至少有一条 煮点3折叠 考点2中心对称与中心对称图形 1.实质：图形的对称 中心对称 中心对称图形 2.性质： (1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称： 把一个图形绕着某一点把一个图形绕着某一点 旋转180°，如果它能够与旋转180°，如果旋转后 (2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线 定义 另一个图形重合，那么就的图形能够与原来的图 段、周长、面积都分别相等： 说这两个图形关于这个 形重合，那么这个图形 (3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分： 点对称或回 这 叫做2 ,这个 个点叫做可 点就是它的对称中心 答案77 《实战演练·品方法》 例下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称 D,E分别在边AB,BC上 图形的是 连接DE,将△BDE沿DE 折叠，点B的对应点为点 好8 B',若点B'刚好落在边ACA D 上，∠CB'E=30°，CE=3. 例2题图 则BC的长为 温馨提示 例2如图，在R1△ABC中，∠C=90°，BC<AC.点 请完成《精练本1》P127-132 见业图原合抖音微信门码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 63 ⑧R 数学·精讲本 微专题11几何图形的折叠问题 [答案77] 方法指亭 ()折叠问题常见的类型有： 求线段长度 利用方程思椹、 勾股定现 折叠 求线段的最值 特殊位置的 动点问题 折登问题 (2)折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形. D ①线段相等：ED'= EG= FD'= ②角度相等：∠D'= ,∠D'EG= ③全等关系：四边形FDEG≌ (3)折痕可看作垂直平分线：GF⊥ (折痕垂直平分连接两个对应点的连线)： (4)折痕可看作角平分线：∠EGF= (对称线段所在的直线与折痕的夹角相等). 类型（一折痕过图形的一个顶点 )思维导引 1.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E (1)分析折叠后点F的轨迹： 为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE (2)确定折叠后点F的落点，常涉及分类 折叠，当点D的对应点F恰好落在线段AB 讨论 的垂直平分线上时，则线段DE的长为 1题图 类型白折痕不过图形顶点 )思维导引 2.如图，正方形ABCD的面积为81，点H是边DC上的一个动 (1)当BB:CE=2:1时，在R1△ECH中，利 点，点G在边AB上，沿过点H的直线GH将正方形折叠，使 用勾股定理列方程： 顶点D恰好落在BC边上的三等分点E处，则线段DH的长 (2)当BE:CE=1:2时，司理可列方程 是 求解 2题图 2题备川图①D 2题备川图② 类型自图形大小不固定 思维导引 3.矩形ABCD中，AB<BC,E是AD的中点，连接BE,将△ABE 分类讨论：点F在DC上或在DC的延长 沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交射线DC于点F,若CF 线上， =1,BC=√I5,则线段DF的长是 3题图 3题各用倒 类型回两次折叠 思维导引 4.如图，在一张边长为4的等边三角形ABC的纸片上做折纸游 分类讨论： 戏，其中D是AC的中点，在AB边上任取一点E,将纸片沿 (1)点E'在AB边上： DE折叠，使点A落在A'处，再将纸片沿A'D折叠，点E落在 (2)点E'在BC边上 E处.当点E恰好落在原等边三角形纸片的边上（不与顶点 重合)时，线段AE的长为 4题图 4题备用图①4题备用② 温馨提示一请完成《精练本1》PI8-129 64 见业图标号抖音微信码对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 第七章 图形的变化 第28讲 图形的平移与旋转 《考点梳理·夯基础》 答案77 雪点①图形的平移与旋转 (3)正方形模型：如图③，在正方形ABCD中，P为 1.平移与旋转 正方形内部一点，将△ABP绕点B按顺时针 平移 旋转 旋转90°，使得BA与BC重合，得到的△PBP 为等腰直角三角形. 考点②图形变换与点坐标变换 图示 在平面直角坐标系中，已知图形上一点(x,y), 若图形变换，则对应点坐标同样变换 平移方向、平移口 旋转中心、旋转方向、 要素 变换后的 固 图形变换类型 点坐标 (1)平移前后，对应线 (1)对应点到旋转中心 平 向右（左）平移m个单位 (x±m,y) 段，对应角②回 的距离回 移 向上（下）平移n个单位 回 (2)各组对应点所连线 (2)对应点与旋转中心 关于x轴对称 国 性质 段平行（或在同一 所连线段的夹角等 对 关于y轴对称 (-x,y) 条直线上)且 于回 称 关于原点对称（中心对称） ☒ (-x,-y) (3)旋转前后的图形 (3)平移前后的图形 用中心对称 ④ ⑧ 旋转角为180 旋 的性质求解 转 2.常考的三种旋转模型 利用全等的 旋转角不是180° 知识求解 (1)等腰直角三角形模型：如图①，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC,P为△ABC内一点， 香点3网格作图 将△APC绕点C逆时针旋转90°，使得AC与 网格作图的步骤 BC重合，则得到的△P'CP为等腰直角三 对称：确定对称轴或对称中心： 角形： 平移：确定平移的方向和距离： (1)确定要求 旋转：确定旋转中心，旋转方向 和旋转角： 图 (2)找出图形中的关键点： (2)等边三角形模型：如图②，在等边△ABC中， (3)把关键点进行对称、平移、旋转得到每个关键 P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针 点的对应点： 旋转60°，使得AB与AC重合，则得到的 (4)按原图依次连接各对应点，从而得到变换后的 △APP'为等边三角形； 图形 见业图原合抖音微信门码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧 e ⑧R 数学·精讲本 《实战演练·品方法》 答案77 例（海南）如图，点A(0,3),B(1,0),将线段AB 例2如图.在口ABCD中， 平移得到线段DC,若∠ABC=90°，BC=2AB,则 ∠B=60°，BC=2AB,将 点D的坐标是 D AB绕点A逆时针旋转角 A.（7,2) a(0°<a<360)得到 例2题图 B.(7,5) AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时，旋 C.(5,6) OB 转角α的度数为 D.(6,5) 例1题图 温馨提示 请完成《精练本1》P133-138 微专题12 有关最值的问题 [答案78] 型。“将军饮马“模型 2.如图.E.F是菱形ABCD的边AB.AD 考法一 “两定点+一动点”型 的中点，P是菱形的对角线BD上的 类型 模型分析 依据 动点.若BD=8,AC=10,则PE+PF 在直线l上找一点P,使得PA+ 的最小值是 2题图 PB的值最小 考法二 “一定点+两动点”型 “两定一 1、 两点之 类型 模型分析 依据 动”求和 B B 1 间，线段 的最小值 最短 点P为∠AOB内一点，在OA上 (作，点B关于直线【的对称点 找一点M,在OB上找一点N,使 B,连接4B',与直线1交于点P) 得PN+NM的值最小 在直线I上找一点P,使得IPA- “一定两 PBI的值最大 垂线段 动”求和 最短 的最小值 0 pr (作点P关于OB的对称点P, “两定一 (连接AB并延长，与直线I交于 三角形 动”求差 点P) 的三边 过点P'作OA的垂线，分别与 的最大值 关系 OB,OA交于点N,M) A A B' B 点P为∠AOB内一点，在OA上 (作，点B关于直线【的对称点 找一点M,在OB上找一点V,使 B,连接AB并延长，与直线1交 得△PMN的周长最小 “一定两 于点P) P 两点之 动”求周 对应训荔> 间，线段 长的最 P 1,如图，A,B两点在直线1的两侧， 0 04 最短 小值 点A到直线1的距离AC=4,点 (分别作点P关于0A,OB的对 B到直线I的距离BD=2,且CD 称点P,P",连接PP",交OA,OB =6,P为直线CD上的动点，则 B IPA-PBI的最大值是( 于点M,N) 1题图 A.6、2 B.2、2 C.210 D.6 66 见业图标日抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 第七章图形的变化 2 利应训练 续表 3.如图，正方形ABCD的对角线BD长为10.BG是 如图，构造射线AD,使sin∠DAN=k,则CH= ∠DBC的平分线，点E是边BC上的动点，在BG 方法 kAC.当B,C,H三点共线时，BC+CH最小，即BC 上找一点F,使得CF+EF的值最小，则最小值 +MC的值最小 为 对痖训练 6.如图，菱形ABCD中，AB=2,∠D=120°，E是对 角线AC上的任意一点，则BE+之CE的最小 值为 3题图 4题图 A.3 4.如图，在扇形OBA中，∠AOB=45°，点C是AB B.2 的中点，点D,E分别为半径OA,OB上的动点 若OB=2,则△CDE周长的最小值为 6题图 考法三“两定点+两动点”型 D.3+1 类型 模型分析 依据 考法二“阿氏圆”模型 直线1同侧有两点A,B,在直线1 阿氏圆：已知平面上两点A,B,则所有满足PA 上找两点M,N(其中MN的长度 =k·PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆.这个轨迹 周定)，使得AM+MN+NB的值 最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿 最小 氏圆”. “两定两 动”求线 两点之 段和的 间，线段 最短 图示 最小值 图 图② 图③ (将点A向右平移MN的长度到 点A,作点A,关于直线I的对称 如图①，⊙0的半径为r,点A,B都在⊙0外，P为 点A2,连接AB,交直线1于点 问题 ⊙0上一动点，已知r=k·OB.连接PA,PB,则当 N,再确定点M) “PA+k·PB"的值最小时，P点的位置如何确定 对应训练 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形 如图②，在线段OB上截取OC=r,则△POB B △COP,故kPB=PC,于是PA+PB=PA+PC.由 OABC的顶点O在坐标原点，顶点A, 方法 于A,C为定点，P为动点，故当A,C,P三点共线 C分别在x轴、y轴上，B,D两点坐标 时（如图③），PA+PC的值最小 分别为(-4,6)，(0,4)，线段EF在FE0 边OA上移动，保持EF=3,当四边形 5题图 在求形如“PA+B”的式子的最值问题中，关键 BDEF的周长最小时，点E的坐标为 总结 是构造与PB相等的线段，将“PA+PB”型问题 型白PA+kPB型最值问题 转化为“PA+PC”型问题 考法一 “胡不归”模型 利瘫训练 B 7.如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P为⊙B上一动点， 图示 则PD+PC的最小值为( D A.6 B.5 如图，点A.C在直线MN上，点B在直线MN外. 问题 求BC+MC(0<k<1)的最小值 C.4 D.25 7题图 见业图原合抖音微信门码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧、 ⊙3 数学·精讲本 型目费马点模型 续表 一、直线轨迹 图示 C 图示 △ABC的最大 △ABC的最大 B 内角小于120 内角大于等于120 A,Q,P三点不共线 当点P的轨迹在直线上时，点Q的轨迹在直 P是△ABC内一点，当 P是△ABC内一点，P 线上 问题 点P在何处时，PA+ 为何处，PA+PB+PC 结论 (1)P,Q两点轨迹所在直线的夹角等于α； PB+PC的和最小 的和最小 (2)P,Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ 当PA+PB+PC的和 二、圆轨迹 最小时，点P满足 当PA+PB+PC的和 结论 ∠APB=∠BPC 最小时，点P与最大角 已知 定点A,动点P和Q,∠PAQ=a, 为定值，点P 顶点重合 在⊙0上运动 ∠AP℃=120° 对逦训练 8.如图.在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,AC=5, P为三角形内一点，则点P到三个顶点的距离之 A.Q,P三点共线 图示 和的最小值为 A,Q,P三点不共线 当点P的轨迹在圆上时，点Q的轨迹在圆上 (1)两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与 8题图 9题图 定点连线的夹角，即∠OAM=∠PAQ: 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 结论 (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到 P是△ABC内一点，若AC=3,则PA+PB+PC 定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AP: 的最小值为 AQ=A0 AM =PO QM 10.如图，在正方形ABCD中，AB= 0 对应训经> 8,点P在BC边上，且BP=2, 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC 点Q是AD的中点，点M是正方 =8,点M在以AB为直径的半圆O上从点A运 形ABCD内部一点，连接MP, 动到点B时停止，连接CM,点N是CM的中 MQ,MC,则MP+√2MC+MQ 点，则点N的运动路径长为 的最小值为 10题图 型@主从联动模型 一、直线轨迹 已知 定点A,动点P和Q,∠P40=代为定值k,点P 11题图 12题图 在直线BC上运动 12.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上 点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接 EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG, 图示 则CG的最小值为 温馨提示一 请完成《精练本1》P134-1351 A,Q,P三点共线 68 见业图标日抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧