第2章 方程(组)与不等式组}-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学课本梳理精讲（大庆市专版）

数学·精讲本 第二章 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 《考点梳理·夯基础》 客案73 贵点①方程的有关概念 边，常数项移到方程的另一边（移项必须 1.方程：含有团 的等式叫做方程 变号)； 2.方程的解：使方程中等号左右两边相等的② (4)合并同类项：把方程化成10 (a≠0) 叫做方程的解， 的形式： 3.等式的基本性质 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）， a,得到方程的解Ⅲ 结果仍相等， 者点3二元一次方程（组）及其解法 如果a=b,那么a±c=③ 1.二元一次方程：含有四 个未知数，并且 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不 含有未知数的项的次数都是☒ ,像这样 为0的数，结果仍相等。 的方程叫做二元一次方程 如果a=b,那么ac=④ :如果a=b,那 2.二元一次方程组：方程组中有两个未知数，每个 含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个 么是=同 (c≠0) 方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 香点②一元一次方程及其解法 3.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组 1.一元一次方程：只含有⑥ 个未知数 的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组 (元)，未知数的次数都是☑ ,等号两边 的解。 都是整式，这样的方程叫做一元一次方程：它的4.解二元一次方程组的基本思想是4 ,使 一般形式为圆 (a,b是常数，且a≠0). 之转化为固 方程，消元的方法有G 2.解一元一次方程的一般步骤 消元法和加减消元法， (1)去分母：方程中未知数系数有分母时，方程 考点④一次方程（组）的应用 两边都乘各分母的⑨ (不含分母的 1.列方程（组）解应用题的一般步骤 项也要乘)： 找等量关系 实际问题 方程问题 设未知数，列方程（组） (2)去括号：方程中有括号时，先去括号（括号外 的符号是负号，要变号)： 检验 实际问题的解 方程的解 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的 (符合实际意义) 见业图标合抖音微信门码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 第二章方程（组）与不等式（组）2 2.列方程（组）解应用题的常见类型 续表 类型 数量间基本的相等关系 类型 数量间基本的相等关系 相遇问题 路程=速度和×时间 利润=售价一进价=进价×利润率； 打折销售 甲速度>乙速度，同时不同地： 售价=标价×折扣： 问题 甲的时间=乙的时间： 销售总额=单件售价×销售数量 行 甲的路程一乙的路程=距离差 程 追及问题 1,工作总量=工作效率×工作时间= 甲速度>乙速度，同地不同时： 问 甲的时间=乙的时间-时间差： 工程问题 各部分工作量之和： 题 甲的路程=乙的路程 2.常把工作总量看作“1” 顺流速度=静水速度+水流速度： 水中航行 设a,b分别为一个两位数的个位、十位 逆流速度=静水速度-水流速度 数字问题 上的数字，则这个两位数可表示为10 浓度问题 溶液=溶质+溶剂 (跨学科) 溶质=浓度×溶液 a 窖案73 《实战演练·品方法》 例（齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备 例2 ,(沈阳)已知方程组 2x+3y=14则x-y的 将生产的棕子装入A,B两种食品盒中，A种食 lx+4y=12. 品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个 值是 粽子，若现将200个粽子分别装人A,B两种食 A.1 B.2 C.4 D.5 品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不 同的分装方式有 温馨提示 请完成《精练本1》P13-18 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 第6讲 一元二次方程及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①一元二次方程的概念及解法 ⑥ 回 ,还可以用图象法求一 1.概念：等号两边都是整式，只含有□ 元二次方程的近似根. 未知数（一元），并且未知数的最高次数是② 解法 适用情况 方程的解 (二次)的方程，叫做一元二次方程，一般 直接开 能化成x2=P或(x+ x=±P 形式是ax2+bx+c=0(a≠0). 平方法 m)2=P的形式(P≥0) 或x=±√p-n 是分点裙>一 适用于所有一元二次 在一元二次方程的一般形式中要注意a≠ -b±y6-4ac 公式法 方程，化为一般形式 2a 0.当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次 ux2+bx+c=0(a≠0) (b2-4ac≥0) 方程.如关于x的方程(m-1)x2+2mx+1=0. 能化成(x+h)2-k的 当m≠1时，才是一元二次方程，当m=1时，就 配方法 x=±瓜-h 形式（≥0）】 是一元一次方程了. 因式分 能化成(x-a)(x-b) x1=0,2=b 2.解法：解一元二次方程的基本思路是3 解法 =0的形式 基本解法有④ 、固 见业图倾合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 9 数学·精讲本 一提分点拔 ②设a为原来的量，x为平均增长（降低）率， ①用公式法解一元二次方程时应注意： b为增长（降低）后的量，n为增长（降低）的 (1)要把方程化为一元二次方程的一般形式： 次数，则a(1±x)”=b. (2)将a,b,c代入公式时应注意其符号； (2)利润问题 (3)若b2-4ac≥0，则代入求根公式，若b2 ①利润=售价-进价： 4ac<0,则原方程无解. ②方程两边不能随便约去含有未知数的因式 2利润率=利润×100%. 进价 如-2(x+4)2=3(x+4)中，不能随便约去 (3)面积问题 (x+4). I.如图①，设空白部分的宽为x,则S= ③当方程有等根时不能出现书写错误.如(x+ (a-2x)(b-2x）: 1)2=0,它的两个根可以写成x1=x2=-1,不 Ⅱ.如图②，设空白部分的宽为x,则S= 能写成x=-1. (a-3x)(b-2x): 雪点2)一元二次方程根的判别式 Ⅲ.如图③，设阴影部分的宽为x,则S= 1.判别式与根的关系 (a-x)(b-x): 根的判别式为b2-4ac,用“△”表示，△=b2-4ac. V.如图④，设阴影部分的宽为x,则S白= 当△>0时，方程有⑧ 的实数根： (a-x)(b-x). 当△=0时，方程有回 的实数根： 当4<0时，方程回 实数根。 2.根与系数的关系（选学内容） 图② 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根，则x1+x2=回 ,x2= 回 图3 图④ 麦点3一元二次方程的实际应用 (4)单循环球赛问题：单循环球赛总场数= 1.一般步骤：审、设、列、解、验、答。 n(n-1(n为参赛球队总数)， 提分点拨 2 检验时既要检验所求结果是否为所列方程 (5)握手问题：握手总次数=n,-山(n为参与 的解，还要检验是否符合实际意义 2 握手的总人数) 2.实际问题常见类型 (6)互赠礼物问题：互赠礼物总份数=n(n-1) (1)增长率问题 ①增长率=增长量 (n为参与互赠礼物的总人数). 基础量 ×100%; 见业图梅合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第二章方程（组）与不等式（组） 《实战演练·品方法》 答案73 例（陕西）在20世纪70年代，我 分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线 国著名数学家华罗庚教授将黄金 段BE的长为 米 分割法作为一种“优选法”，在全 圆（成都）若一个直角三角形两条直角边的长分 国大规模推广，取得了很大成果 别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数 如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框 根，则这个直角三角形斜边的长是 ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金 温馨提示 请完成《精练本1》P19-24 第7讲 分式方程及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 麦点①分式方程及其解法 奢点②分式方程的实际应用 1.分式方程：分母中含有四 的方程 1.一般步骤 2.解分式方程的一般步骤 审题→设未知数一→找等量关系一→列分式方程→ 去分母 解分式方程→双检验→作答 分式方程乘 →整式方程 提分点携> 解整式方程 检验 解分式方程实际应用问题，最终结果一定 代人固 要进行双检验：(1)检验是否是分式方程的解； 最简公分母为0 a是分式方程④ (2)检验是否符合实际意义. 最简公分母不为0 →a是分式方程的解 2.常见类型及关系式 提分点透> ①分式方程的增根是去分母后的整式方程的 (1)工程问题：工作效率=工作总量 工作时间 根，也是使分式方程的最简公分母为0的根 总价=数量 (2)购买（盈利）问题：单价 ②分式方程无解，可能是整式方程的解使得最 简公分母为0，也可能是去分母后的整式方 (3)行程问题：时间=路程 速度 程无解。 答案73 《实战演练·品方法》 2 (齐齐哈尔)若关于x的分式方程 x+2 式方程~！ =·,-2的解是负整数，则所有满 y+1y+1 =+2m的解大于1，则m的取值范围是 足条件的整数a的值之和是 x2-4 4.-26 B.-24 (重庆)若关于x的一元一次不等式组 C.-15 D.-13 x-1≥4x-1 3'的解集为x≤-2，且关于y的分 5x-1<a 温馨提示 请完成《精练本1》P25-30「 见业图倾合抖倍微信修 对话中考安习助手考点攻克提分无忧◆。儿 数学·精讲本 第8讲 一元一次不等式（组）及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①不等式的基本性质 2.几种常见不等式组的解集 性质1：若a>b,则a±c□ b±c. 类型 图示 口诀 解集 (其中a<b) 性质2：若a>b,c>0,则ac>be或g>2 c 同大取大 ④ x>b 性质3：若a>b,c<0,则ac回 bc或a 同小取小 x <a b r<b 大小小大 固 考点2》一元一次不等式的解法及其解集表示 x<h 中间找 1.解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项 大大小小 无解 >b 找不到 →系数化为1. 考点④一元一次不等式的实际应用 2.解集在数轴上的表示 1,列不等式解应用题的一般步骤： 解集 在数轴上表示 总结 (1)审清题意： x<a 0在 方向：小于向 (2)设未知数； 左，大于向右： (3)找出数量关系列不等式； x>a 0 边界：“≤”“≥“ (4)解不等式； 为实心圆点， x≤d 0 (5)检验并写出答案， “<”“>”为空 2.解决不等式的实际应用题时，常用关键词与不等 x≥a 心圆圈 号的对照表： 考点③一元一次不等式组的解法及解集表示 常用关键词 符号 大于，多于，超过，高于 回 1.解法步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解 小于，少于，不足.低于 回 至少，不低于，不小于，不少于 圆 集，再在数轴上表示出各不等式的解集，然后利 至多，不超过，不高于，不大于 回 用数轴或根据口诀确定不等式组的解集， 2 见业图标号抖音微信修对话中考复习帅手考点攻克提分无忧。 第二章方程（组）与不等式（组） 2 《重摊研析·理要点》 答案73 置魔高、方案设计问题的实际应用 本巩固训练链接至《精练本1》32T3>之 典例2024年4月25日20时58分57秒，神舟十八号载人飞 船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学到当 地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A,B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10 元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量 心思维导引 相同. (1)找准等量关系，正确列出分式方程： (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于 (2)根据各数量之间的关系，正确列出 14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买 元一次不等式组： 方案？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折 】(3)根据各数量之问的关系，找出和（购买 优惠，B款每件让利m元，采购人员发现(2)中的所有购 资金)关于a(A款文化衬衫件数)的函数 买方案所需资金恰好相同，试求m值 关系式 见业图倾合抖音微信的 对话中考安习助手考点攻克提分无忧◆。3 R 数学·精讲本 组踪训练> 北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润= 销售价-进货价) 类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 价格 进货价（元件） 30 25 销售价（元件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数： (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和 销售价都不变)，且进货总价不高于2200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销 售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调 查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天 销售利润为90元？ 温馨提示 请完成《精练本1》P31-36 4 见业图标合抖倍微信门码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧参考答案与解析 22 参考答案与解析 第一章 数与式 第二章 方程(组)与不等式(组) 第1讲 实数及其运算 第5讲 一次方程(组)及其应用 【考点梳理·夯基础】 ①未知数 ②未知数的值 ③b土c ④be 【考点梳理·夯基础】 的 10 ②无限不循环小数 ③0 ④实数 大 0 一 71 Bax+b=0 回最小公倍数 0ax=b$$ 9绝对值 00 2减去 2相反数 2正 2负 x-1两 B1 消元 一元一次 代入 25倒数 b+a 2a+(b+c)2ba 2a(be) 30ab+ac 31负数 32正数 -1 341 351 0 【实战演练·品方法】 【实战演练·品方法】 例1 C 例2 B 例1 B 例2 解:原式=12 第6讲 一元二次方程及其应用 第2讲 数的开方及二次根式 【考点梳理·夯基础】 式 【考点梳理·夯基础】 1一 ②2 ③降次 ④直接开平方法 回配方法 公式法 因式分解法 B两个不相等 回两个相等 没有 -吾2 【实战演练·品方法】 进 0. 0 【实战演练·品方法】 3x2x5x2x5-10 例1(v5-1)例227 [解析]0 /300 /300 第7讲 n'Vn 分式方程及其应用 【考点梳理 .听基 ①未知数 ②最简公分母 ③最简公分母 ④增根 【实战演练·品方法】 .n的值可以为3,12,75..n的最小值是3,最大值是75 例1 m>0且m1 例2 D 代数式与整式 第3讲 第8讲 一元一次不等式(组)及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 a(1+10%)②0.75a(1+x%)③(ax+by) A回) ④指数 系数 a7相乘 ⑧指数 9m+mbl0ac+ad+bc+b l-b12a'+2ab+b 【重难研析·理要点】 3m(a+b-c) 14平方差 5完全平方 典例 解:(1)设B款文化衫每件x元. 【实战演练·品方法】 例1 2[解析]:1<2<2.1<3-2<2 .3-、/②的整数部分为a,小数部分为b, 经检验,x=40是原分式方程的解,并且符合题意. '.=1b=3- 2-1=2-② x410=50. 答:A款文化衫每件50元,B款文化衫每件40元 .(2+/2a)·b=(2+/2)(2-2)=2.故答案为2 例2 4 [解析]:m+n^}+10=6m-2, (2)设购进A款文化衫a件,B款文化衫(300-a)件,根 据题意可得 [50+40(300-a)>14750. '.m}+n+10-6m+2n=0. 150a+40(300-a)<14800. 即(m-3)+(n+1)}=0. 解得275<a<280. '.m=3,n=-1.m-n=3-(-1)=4. a取正整数.a=275,276,277,278,279.280 第4讲 分式 .一共有六种方案. 【考点梳理·夯基础】 (3)设购买资金元. B 0 ②A=0且B~0 ③公因式 ④最简 5最简 v=50x0.7a+(40-n)(300-a) =(m-5)a+12000-300m. ·(2)中所有购买方案所需资金相同. 【重难研析·理要点】 '.w与a的取值无关..m=5. 跟踪训练 典例 2024 解:(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣v件,依题 一80般行0 跟踪训练 意,得[+y=30.* 2 解:原式=一 x(x1)* 答:购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件 (2)设购进m件A款钥匙扣.则购进(80-m)件B款钥 x(x-1) 匙扣.依题意,得30m+25(80-m)<2200,解得m540. 设再次购进的A.B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 组的解集为-1<x<3. 的总利润为w元, 2.该不等式组的整数解为-10、12. 则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960 当x=-1,0.1时,分式无意义,.x=2. .3>0..w随m的增大而增大. 21 把x=2代入得,原式= .当m=40时,w取得最大值,最大值=3x40+960= 1080.此时80-m=80-40=40. 见图号扫高/信醒 对话中考复习助王 考点攻克提分无忧 73 22 数学·精讲本 答:当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才能 第11讲 反比例函数 获得最大销售利润,最大销售利润是1080元. 【考点梳理·夯基础】 (3)设B款钥匙扣的售价定为每件a元,则每件的销售 ①0 ②> ③ ④减小同增大 原点(0.0) 利润为(a-25)元,平均每天可售出4+2(37-a)=(78 【重难研析·理要点】 -2a)件, 典例解:(1):AB1y轴.乙AB0=90. 依题意,得(a-25)(78-2a)=90. 整理,得a-64a+1020=0.解得a.=30.a.=34. 答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥是 .AB=2.:0B=4..A(2.4). 扣平均每天销售利润为90元. :点A在反比例函数y=- k(x>0)的图象上, 第三章 函 数 第9讲 平面直角坐标系及函数 【考点梳理·夯基础】 ①(一,+) ②(+,-)③>④><回 . AB0= BOE= AEO=90$ (2)如答图,过点A作AF1x轴干点E 纵 B横 回11 0lal 1、+6 .四边形ABOE是矩形, 14解析式法 5x2l6x=0 17x0且x*1 0E=AB=2.0B=AE-4. 1x>0 乙AD0=45*...△AED是等腰直角三角形, 【实战演练·品方法】 . DE=AE=4. 例1 B [解析]连接BD,在菱形ABCD中,乙A=60*. .OD=0F+DE=2+4=6.D(60). .△ABD为等边三角形. 设直线AD的解析式为y=kx+b(h 0),B 一来 设AB=a.:△ABD的面积为3 .直线AD的解析式为y=-x+6 由题图②可知,△ABD的面积为33. 方+ ·点A.C是反比例函数y-8和一次函 ._35.,解得a=2、. 答图 数y=-x+6的交点, 例2 (4.6)[解析]连接0B,0B’,由位似可知点0,B,B 联立 共线,由“四边形OA'BC的面积是四边形OABC面积的 解得=或=. 4倍”可知0B’=20B.又因为点B在第一象限.点B为 1v=-x+6. 0B的中点,结合B(2.3)可知,点B的坐标为(4.6). :A(2.4).:.C(4.2). 第10讲 一次函数及其应用 跟踪训练 【考点梳理·夯基础】 解:(1)如答图,过点D作D1x轴干 ①0②0③④- 同减小 点F,过点C作CG1x轴于点G. 6y=k(x+m)+b7y=k(x-m)+b (-) 回y=x+b-m D(-6.2). By=k+b+m 2,解得=-12. ._6 【重难研析·理要点】 典例 解:(1)1200 60 答图 (2)900 800 15 , (3)设直线MN的解析式为y=x+n(h0). ·DE//OC.. 乙DEA=COA. 由题意得M(15.900).V(20.800),则 # 000 又:乙DAE=乙CAO..△DAE-△CAO. 21 In=1200. 线段MV的解析式为y=-20x+1200(15<x<20) (4)出发后第8分钟和第64分钟. 。 .点C的坐标为(-2.6). 跟踪训练 将点D(-6.2).C(-2.6)分别代入v=k.x+b中. 解:(1)120 (2)出租车的速度:v.=480+4=120(km/h). 16-8. .一次函数的解析式为y=x+8. (2)对于y=x+8. 当货车停下来开始装货时,两车相距: 当x=0时,y=0+8-8; 480-180-120=180(km). 当y=0时,x+8=0.解得x=-8. 当货车装完货物后再次开始出发时两车相距120km,所 点A.B的坐标分别为(-8.0).(0.8). 以货车装货的时间为(180-120)4120=0.5(h).货车 继续出发2-h两车相遇,所以货车再次出发后的速度: (480-120)-60=6(h). 3) 所以点F的横坐标为1.5+0.5+6=8. 即F(8.0).:.B(2.120).G(8,480). .直线BG的解析式为y=60x(2<x<8). 微专题1 与双曲线上的点有关的问题 17 17 2, 6.C 7.12 8.6 9.C 10.3 见此图号抖音微信码 对话中考复习助王 考点攻克提分无忧