第1章 数与式-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学课本梳理精讲（大庆市专版）

第一章 数与式 第一章 数与式 ...... 第1讲 实数及其运算 《考点梳理·夯基础> 答案P73 考点1 实数的分类 考点 实数的相关概念 ,正整数 ,a(a>0). 自然数 性质 lal= o(a=0). .整数 lal具有非负性 (-a(a<0). 负整数 ,有理数 几何 数轴上表示一个数到原点的距离,离原点越 [正分数,有限小数或无 值 意义 远的数的绝对值越5 “分数 ,按定义分 I负分数限循环小数 绝对值相等的两个数相等或6 [正无理数 即lal=lble=b或$a=-b$ 实数 无理数 ② [负无理数 性质 非零实数a的相反数为[7] 特别地,0的相反数是B 按大小分:正数、③ 、负数 把x数 几何 数轴上表示相反数的两个点(0除外)位于 提分点拨 原点两侧,且到原点的距离 意义 ,这 无理数的常见形式 两个点关于0 对称 带根号且开方开不尽的数,如/2,③,5等 实数a.b互为相反数a+b=II ③含有根式的三角函数值,如sin60{,tan30*等; 非零实数a的倒数是。(或a”). 4有规律的无限不循环小数,如0.1010010001... 密斑 0没有倒数,倒数等于它本身的数是+1 (每相邻两个1之间依次多一个0)等 a与b互为倒数 ab=2 点数轴 考点 科学记数法 1.三要素 表示 ax10*,其中B <lal<14 ,n 厚点正才祠 形式 为整数 a的 将原数变为整数位数只有一位的数,如:原数为 确定 单夜长度 65000时,a为15 2.④ 当原数的绝对 与数轴上的点一一对应 n为正整数,且等于原数的整 值三10时 数位数减1 3.数轴上两点之间的距离:用右边的点表示的数减 n的 确定 去左边的点表示的数.如图,数轴上A.B两点之 n为负整数,1nl等于原数中左 当0原数的绝 对值1时 起第一个非零数字前所有0 间的距离AB=b-a. 的个数(含小数点前的0) 见此图标丹抖高/微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 2 数学·精讲本 一提分点拨 2.运算律 将含有计数(量)单位的数表示为科学记数 法时,要保证原数与要求表示成的科学记数法 (1)加法交换律:a+b=26 形式的单位一致. (2)加法结合律:(a+b)+c=27 常用的计数单位:1万=10 ,1亿=10{*,1万亿=$ (3)乘法交换律:ab=28 10{等。 (4)乘法结合律:(ab)c=29 常用的计量单位:1ns=10*s.1ns=10*s.1nm$$ =10*m,11m=10-*m. (5)乘法分配律:a(b+c)=30 考点近似数和精确度 :“a....“正数的任何次幕都是正数;负 3.乘方: 1.近似数:将一个数四舍五入后得到的数 na 2.精确度:一般地,一个近似数四舍五入到哪一位, 数的奇次寡为③ 就说这个近似数精确到哪一位.如0.3125精确 ,偶次寡为③2 到0.01为0.31,精确到0.001为16 特别地,(-1)”- ## (n为奇数). 考点6实数的大小比较 3 (n为偶数). 1.数轴比较法;数轴上两个点表示的数,右边的数 4.零次寡:a*=③ 总比左边的数17 (a去0),任何不等于0 2.类别比较法;正数>0>负数:两个负数比较大 的数的0次寡都等于1. 小, 大的数反而小 3.作差比较法 (1)a-b>0ea>b; (2)-b=0e→=b; 别地,a-l-1(az0)(倒底数,反指数). (3)a-b<0ea<b n 4.平方比较法;a>b→a>b(a>0.b>0)(主要应 a-b(a>b). 用于无理数估值或无理数的大小比较). 6.去绝对值符号:a-b|=0(a=b). 考点实数的运算 b-a(a<b). 1.四则运算 ,提分点拨 同号两数相加:取相同的符号,并把19 相加 去绝对值符号时,要先比较绝对值符号中 异号两数相加:绝对值相等时和为20 只※ ;绝对 值不相等时,取绝对值较大数的符号,并用较大的 两个数的大小,再根据绝对值的非负性去掉绝 绝对值② 较小的绝对值 对值符号. 一个数同0相加,仍得这个数,即a+0=a 7.实数的混合运算顺序 减去一个数,等于加上这个数的2 ,即a- b=a+(-b) 先计算各小项的值,如:绝对值、三角函数值 两数相乘,同号得23 ,异号得24 等;再按实数四则混合运算的顺序,先乘方,再乘 并把绝对值相乘;任何数与0相乘,积为0 除,后加减,有括号的要先算括号里面的.同级运 除以一个不为0的数,等于乘这个数的2 算按从左到右的顺序算 答案P73 《实战演练·品方法》 (北)若x和y互为倒数,则(x+)(2-) 例2 (齐李哈)计算:(\3-1)+(3)2+ ( 的值是 1.3-21+tan 60. A.1 C.3 B.2 D.4 .温馨提示 请完成《精练本1》P1-3。 见此图献号抖音/微信醒 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 第一章 数与式 D 第2讲 数的开方及二次根式 《考点梳理·夯基础 答案P73 考点 平方根、算术平方根、立方根 考点) 二次根式的运复 a(a>0) a(a=0) a(a<0) 先将每个二次根式化为最简二次根式,再将 加减运算 平方根 0 士V 没有 同类二次根式进行合并 1 算术平方根 0 没有 乘法运算 . =a·b(a=0.b> #V 立方根 0 ② 除法运算 ##或、#=Vb(a=0.6>0) 如64的平方根为③ ,算术平方根为 ④ ,立方根为5 混合运算 先乘除,再加减,有括号的要先算括号里面的 提分点拨一 乘方与开方互为逆运算 把分母中 ()1 的根号化 #·: 点 二次根式的有关概念 去常见 -+ 的方法 1.定义;形如ā(a>0)的式子叫做二次根式,其中 -6(v-b)(v+)-b a叫做被开方数 考点 无理数的估值 ·提分点拨 a可以是数,也可以是式子。 1.估计二次根式/(a>0)值在哪两个连续的整数 之间(以/7为例) 2.若a有意义,则被开方数a>0 3.最简二次根式必须满足的两个条件 (1)对根式进行平方,如(7)}=7; (1)被开方数不含分母; (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽 (2)被开方数中不含能开得尽方的6 方的整数,如4和9: 4.同类二次根式:化为最简二次根式后,被开方数 (3)对以上两个整数开方,如/4=2,9=3; 相同的几个二次根式称为同类二次根式,如12 (4)确定这个根式的值在开方后所得的两个整 (开根号后为2/3)与3就是同类二次根式 数之间,如2</7<3; 唐点③二次根式的性质 (5)根据不等式的性质3可得其负根式的范围. [>0. 如-3<-/7<-2. 1.a的双重非负性: 提点拨 1>0. 确定a土b在哪两个相邻的整数之间时,只 2.()?=a(a>0). 需在步骤(4)的基础上给不等号两边加减b 7 3.-lal= (a>0), ②确定na(n>0)的值在哪两个连续整数之 1⑧ (a<0). 提分点拨_ 间时,则先将na转化为vna,再按上述步 只有当a>0时,va=()2} 骤求解. 4. a=·(a>0.b② 0). 2.确定与二次根式a最接近的整数(以、7为例) (1)先确定二次根式在哪两个整数之间,如2 0). 7<3; 见此图标号抖高/微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 C 数学·精讲本 (2)求这两个整数的平均数,如2+3-2.5; 考点6 ## 非负数及其性质 常见的 (3)对二次根式和平均数进行平方,如(/7)= (1)lal;(2)a}(或a的偶次寡);(3)(a>0) 非负数 7.2.5@}=6.25.若二次根式的平方大于平均 数的平方,如7>6.25,则离较大的整数近 (1)非负数有最小值,最小值为0; 非负数 (2)几个非负数的和仍然是I 即/7离3较近,反之离较小的整数近 的性质 (3)若几个非负数的和等于0.则这几个非负数 3.若a的整数部分为m.则其小数部分为a-m. 都是2 如/7的整数部分为2,小数部分为/7-2 答案P73 《实战演练·品方法> (临近)设m=5 则根据 189m=v3x3x3x7m=3 3x7m可 知m有最小值3x7=21.设n为正整数,若 范围是 __ 300 A.m<-5 B.-5<m<-4 是大于1的整数,则n的最小值为 C.-4<m<-3 D.m>-3 最大值为 (随州)已知m为正整数,若\189m是整数, .温馨提示 请完成《精练本1》P4-6 第3讲 代数式与整式 《考点梳理·夯基础 答案P73 考点 代数式及其求值 ·3.代数式求值的一般方法 (1)直接代人法:把字母所表示的数值直接代 1.代数式:用基本运算符号把数或表示数的字母连 人,计算求值; 接起来的式子,特别地,单独一个数或一个字母 (2)整体代入法:①观察已知条件和所求代数式 是代数式 的关系;②通过提公因式、公式法等,将所求 2. 列代数式的基本模型 代数式变形后与已知代数式成倍数关系 ③把已知代数式看成一个整体代人求值 (1)原价a增加(减少)10%为1 ;原价 4.非负数的和:若几个非负数的和为0.则这儿个 a的n倍多(少)m为an土m; 非负数分别为0,如: (2)原价a的八折为0.8a;按原价a提高x%后 ($1)若$a}+b}=0,则$a =0.b=0;$$ 再打七五折为② (2)若lal+1bl=0,则a=0.b=0; (3)x个单价为a元的商品与v个单价为元的 (3)若 $a+ b=0,则a=0.b=0 商品总价为③ 元. ($4)若a}+lbl+c=0.则a=0.b=0.c=0$ 见此图献号抖音/微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 第一章 数与式 ~ 考点2 整式的相关概念 如$a^b·2a3=(2x2)·}*3.b=4a $b.$$$ 由数或字母的积表示的式子,特别地,单独的一个 (2)单项式乘多项式:n(a+b)= 数或一个字母也是单项式,如2,a.mn (3)多项式乘多项式:(a+b)(c+d)=l0 系数 单项式中的数字因数 系数次数为342-5 式 一个单项式中所有 (4)乘法公式 次数 叫做五次单项式 字母的指数和 ①平方差公式:(a+b)(a-b)=I 几个单项式的和,如a+b+2 多 项 多项式中每个单项式 次数项 常数项 将 ②完全平方公式:(a+b)}=12 式 常数项 不含字母的项 叫做三次三项式 拓展延伸 次数 次数最高项的次数 常用的平方差公式变形: 整式 单项式和多项式统称为整式 (1)(b+a)(-b+a)=a}-b2}; 所含字母相同,且相同字母的指数相同,如 同类项 $($)(-a-b)(a-b)=b-a} -2xy和y ②常用的完全平方公式变形: 考点 整式的运算 (1)^}+b=(a+b)}-2ab; 1.整式的加减运算 (2)}+b2}=(a-b)2}+2ab; (1)合并同类项:字母和字母的④ 不变; 同类项的 相加减作为新的系数,如 (3)(a+b)②}=(a-b)2}+4ab; 3x2+2x2=5x2. (4)(a-b)2}=(a+b)?-4ab (2)去括号法则:括号前为“+”,去括号后每一项 都不变号;括号前为“-”,去括号后每一项都 4.整式的除法 要变号. (1)单项式除以单项式:把系数、同底数幕分别 如a+(b+c)=a+b+c. 相除作为商的因式,对于只在被除式里含有 a-(b-c)=a-b+c. 2.寡的运算(m,n为正整数) 的字母,则连同它的指数作为商的一个因 同底数寡相乘 a”.a”=a“。 式。如4a}b+2a=(4-2)·a}-1·b=2ab. a”:a”-a"。 同底数寡相除 (2)多项式除以单项式:先用多项式的每一项除 (a0.目m>n) 以这个单项式,再把所得的商相加 霉的乘方 (a”):=a“ 唐点 积的乘方 (ah)*=回 因式分解 3.整式的乘法 1.基本方法 (1)单项式乘单项式:把它们的系数、同底数幕 (1)提公因式法:ma+mb-mc=3 分别7 ,对于只在一个单项式里含 ,a-2因式分解 整式乘法 -(a+b)(a-b); 作为积的 有的字母,则连同它的⑧ (2)公式法 a+2ab+b= 因式分解 一个因式 整式乘法 -(a土b)2. 见此图标号抖高/微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 C2C 数学·精讲本 拓展延神 (2)若没有公因式,可尝试公式法,如两项考虑 十字相乘法:+(p+q)x+p=(x+p)(x+q). 公式,三项考虑B ②分组分解法:a^{}+b^{}-c{}+2ab=a^{}+2ab+b$$ 公式; $=(a+b)?}-c2=(a+b+c)(a+b- ). (3)检查各因式分解是否彻底.注意:因式分解 2.一般步骤 (1)若有公因式,先提公因式 的结果一定是几个整式的积的形式 答案P73 实战演练·品方法> (荆州)若3-2的整数部分为a,小数部分为 例2(乐山)若m}+n2+10=6m-2n.则m-n= b.则代数式(2+2a)·b的值是 温馨提示 请完成《精练本1》P7-9 第4讲 分 式 <考点梳理·夯基础> 答案P73 考点分式的概念与性质 约分.约分的结果必须是④ 分式, 回 1.概念:一般地,如果A.B表示两个整式,并且B 分式是指分子与分母没有公因 中含有字母,那么式子4叫做分式,其中A叫做 式的分式 B (2)约分的关键是确定公因式 分子,B叫做分母 ①分子、分母能分解因式的先分解因式: ②取分子、分母中相同因式的最低次幕(数 字因式的最大公约数)的乘积作为公因式 2.通分 4.基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一 (1)定义:根据分式的基本性质,把几个异分母 个不等于0的整式,分式的值不变,即4-A·C BB·C! 的分式分别化成与原来的分式相等的回。 的分式,叫做分式的通分 (Cz0),其中A.B.C是 (2)通分的关键是确定最简公分母: 整式. ①分子、分母能分解因式的先分解因式: 5.变号法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其 ②取各分母所有因式的最高次寡(数字因式 中任意两个,分式的值不变,例如: ? 的最小公倍数)的乘积作为公分母 ” -b 3.加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分 -b _ 子相加减,即a土. ;异分母分式相加减, 点②分式的运算 C 1.约分 2 (1)定义:根据分式的基本性质,把一个分式的 bc .ad bc+ad 分子与分母的③ 约去,叫做分式的 acac aC 见此图献号抖音/信码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 第一章 数与式 D 4.乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分 提分点拨 子,分母的积作为积的分母,即·= 分式的运算中常见的错误 应用分式的基本性质,只把分式的分母乘整 _ 式,而分子未乘: 5.除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠 ②忽略了分数线的括号作用: 当分式中同时含有乘除运算时,应注意将除 b 二 C 法运算转化为乘法运算,注意运算顺序 4通分与去分母混淆:受解方程时去分母的影 6.乘方:分子、分母分别乘方,即()"=回 响,在分式计算中采用了去分母的方法解决 问题,破坏了分式计算的等值变形: (n为正整数). 乱用乘法分配律:对乘法分配律的认识模糊 7.混合运算:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有 将乘法分配律应用到除法运算中 括号的先算括号里面的 <重难研析·理要点> 答案P73 分式化简求值 4巩固训练链接至《精练本1》P1217>>> 典例 D思维导引 先将原式化简,再将x=②024+3 的值是 变为(x-3)=2024代入即可. 跟踪训练 3 (#)先化简,再求值:。(1-1). [2(x-1)<x+1. ),其中:是不等式组 '的整数解. 15x+3=2x .温馨提示 请完成《精练本1》P10-12 见此图标号抖高/微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧参考答案与解析 22 参考答案与解析 第一章 数与式 第二章 方程(组)与不等式(组) 第1讲 实数及其运算 第5讲 一次方程(组)及其应用 【考点梳理·夯基础】 ①未知数 ②未知数的值 ③b土c ④be 【考点梳理·夯基础】 的 10 ②无限不循环小数 ③0 ④实数 大 0 一 71 Bax+b=0 回最小公倍数 0ax=b$$ 9绝对值 00 2减去 2相反数 2正 2负 x-1两 B1 消元 一元一次 代入 25倒数 b+a 2a+(b+c)2ba 2a(be) 30ab+ac 31负数 32正数 -1 341 351 0 【实战演练·品方法】 【实战演练·品方法】 例1 C 例2 B 例1 B 例2 解:原式=12 第6讲 一元二次方程及其应用 第2讲 数的开方及二次根式 【考点梳理·夯基础】 式 【考点梳理·夯基础】 1一 ②2 ③降次 ④直接开平方法 回配方法 公式法 因式分解法 B两个不相等 回两个相等 没有 -吾2 【实战演练·品方法】 进 0. 0 【实战演练·品方法】 3x2x5x2x5-10 例1(v5-1)例227 [解析]0 /300 /300 第7讲 n'Vn 分式方程及其应用 【考点梳理 .听基 ①未知数 ②最简公分母 ③最简公分母 ④增根 【实战演练·品方法】 .n的值可以为3,12,75..n的最小值是3,最大值是75 例1 m>0且m1 例2 D 代数式与整式 第3讲 第8讲 一元一次不等式(组)及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 a(1+10%)②0.75a(1+x%)③(ax+by) A回) ④指数 系数 a7相乘 ⑧指数 9m+mbl0ac+ad+bc+b l-b12a'+2ab+b 【重难研析·理要点】 3m(a+b-c) 14平方差 5完全平方 典例 解:(1)设B款文化衫每件x元. 【实战演练·品方法】 例1 2[解析]:1<2<2.1<3-2<2 .3-、/②的整数部分为a,小数部分为b, 经检验,x=40是原分式方程的解,并且符合题意. '.=1b=3- 2-1=2-② x410=50. 答:A款文化衫每件50元,B款文化衫每件40元 .(2+/2a)·b=(2+/2)(2-2)=2.故答案为2 例2 4 [解析]:m+n^}+10=6m-2, (2)设购进A款文化衫a件,B款文化衫(300-a)件,根 据题意可得 [50+40(300-a)>14750. '.m}+n+10-6m+2n=0. 150a+40(300-a)<14800. 即(m-3)+(n+1)}=0. 解得275<a<280. '.m=3,n=-1.m-n=3-(-1)=4. a取正整数.a=275,276,277,278,279.280 第4讲 分式 .一共有六种方案. 【考点梳理·夯基础】 (3)设购买资金元. B 0 ②A=0且B~0 ③公因式 ④最简 5最简 v=50x0.7a+(40-n)(300-a) =(m-5)a+12000-300m. ·(2)中所有购买方案所需资金相同. 【重难研析·理要点】 '.w与a的取值无关..m=5. 跟踪训练 典例 2024 解:(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣v件,依题 一80般行0 跟踪训练 意,得[+y=30.* 2 解:原式=一 x(x1)* 答:购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件 (2)设购进m件A款钥匙扣.则购进(80-m)件B款钥 x(x-1) 匙扣.依题意,得30m+25(80-m)<2200,解得m540. 设再次购进的A.B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 组的解集为-1<x<3. 的总利润为w元, 2.该不等式组的整数解为-10、12. 则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960 当x=-1,0.1时,分式无意义,.x=2. .3>0..w随m的增大而增大. 21 把x=2代入得,原式= .当m=40时,w取得最大值,最大值=3x40+960= 1080.此时80-m=80-40=40. 见图号扫高/信醒 对话中考复习助王 考点攻克提分无忧 73