特训02 有理数 压轴题（十二大题型）-2024-2025学年六年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训02 有理数 压轴题（十二大题型） 目录： 题型1：化简绝对值 题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题 题型3：数轴上动点-单动点问题 题型4：数轴上动点-双动点问题 题型5：数轴上动点-三动点问题 题型6：有理数的混合运算 题型7：算“24”点 题型8：流程题 题型9：乘方的综合应用 题型10：古代问题 题型11：新定义题 题型12：有理数混合运算的实际应用 题型1：化简绝对值 1．式子的最小值是 ． 2．若，，则 ． 3．若，则 ． 4．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题 5．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 6．一条数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是，2021，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点到B的距离为4，则点C表示的数是 ． 7．大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)式子在数轴上的意义是 ． (2)数轴上数x和的两点A和B之间的距离可以表示为 ；如果，那么 ． (3)若点C表示的数为x，当取得的最小值时，则x的取值范围是 ；当取最大值时，则x的取值范围是 ． (4)点D表示的数为8，点E表示的数为，若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，请写出满足要求的所有的点P表示的整数． 8．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度； (2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒； (3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________； (4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 题型3：数轴上动点-单动点问题 9．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数是______； (2)当点P与点B重合时，______； (3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）； ②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示） (4)当t的值为多少时，． 题型4：数轴上动点-双动点问题 10．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点M表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)运动开始前，A，B两点的距离为______；线段的中点M所表示的数为______． (2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为______；（用含t的式子表示） (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距4个单位长度？ (4)若A，B按上述方式继续运动下去，线段的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合）． 11．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 12．如图所示，数轴上有，，，四个点，点表示的数是，点表示的数是，且满足．已知（单位长度），（单位长度）． (1)求点和点分别表示的数； (2)若线段以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当（单位长度）时，求的值； (3)若动点从表示数的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足的值不随点运动时间的变化而改变，求的值． 题型5：数轴上动点-三动点问题 13．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，， (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 14．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题．    (1)请直接写出a、b、c的值． ______，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时即（时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 15．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．    (1)则 ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： 运动秒后，点与点之间的距离为多少？（用含的代数式表示） 的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由． 题型6：有理数的混合运算 16．观察式子，，，… (1)猜想并写出：＝　 　； (2)填空：＝　 　； (3)尝试解决：． 17．已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 18．计算： ． 19．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 20．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 题型7：算“24”点 21．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．    (1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________． (2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________． (3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________． (4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________． (5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ． 22．点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或． 例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：． 如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或． ① 依次记为：_________________     列式计算：__________________． ② 依次记为：_________________   列式计算：_______． 题型8：流程题 23．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 24．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条） 【尝试解决】      （1）如图1，当输入数时，输出数______； 如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______； （2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值； 【实际应用】 （3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整． 第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________． 题型9：乘方的综合应用 25．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②如果欲求的值，可令     ……………① 将①式右边顺序倒置，得    ……………② 由②加上①式，得2 ； ∴ S=_________________； 由结论求； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②为了求的值，可令，则，因此，所以， 即.     仿照以上推理，计算 26．进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法．我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作4×103+6×102+5×101+2×100，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作1×82+7×81+4×80等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中数应为 ．（请直按写结果） 27．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生． (1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________． (2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． 28．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 题型10：古代问题 29．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ， ． 30．“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行，一纵行及对角线的几个数之和都相等.图（l）所示是一个幻方.有人建议向火星发射如图（2）所示的幻方图案，如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.图（3）是一个未完成的幻方，请你类比图（l）推算图（3）中处所对应的数字是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型11：新定义题 31．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 32．小岳同学仿造二进制，写出了一种数的表示方法：一个n位数，其中的值只能取0或1，他把这样的数叫做本原数．比如当时，2位本原数可以表示00，01，10，11共4个数． 然后小岳设计了一种针对两个本原数的运算，如果，那么定义： （1）计算的值为：_________； （2）若，且，求本原数t的值； （3）①若为k个互不相同的4位本原数，满足对任意，当时，为奇数；当时，为偶数，直接写出k的最大值：________； ②若为k个互不相同的2019位本原数，满足对任意，当时，，直接写出k的最大值：_______ 题型12：有理数混合运算的实际应用 33．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 34．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 35．共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 有理数 压轴题（十二大题型） 目录： 题型1：化简绝对值 题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题 题型3：数轴上动点-单动点问题 题型4：数轴上动点-双动点问题 题型5：数轴上动点-三动点问题 题型6：有理数的混合运算 题型7：算“24”点 题型8：流程题 题型9：乘方的综合应用 题型10：古代问题 题型11：新定义题 题型12：有理数混合运算的实际应用 题型1：化简绝对值 1．式子的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 解法一：分，，，，，讨论，求出各股的最小值，再比较即得； 解法二：由绝对值的几何意义可知当时，有最小值，同理可知当时，有最小值，当时，有最小值，最小值为0，则当时，，，能同时取到最小值，进而可得当时，有最小值，据此求解即可． 【解析】解法一：设， 当时， ， ∴，最小值为：18； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：18． 综上，原式的最小值为：8． 解法二：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数到表示1和5的数的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可知当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， 综上所述，当时，，，能同时取到最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为； 故答案为：8． 2．若，，则 ． 【答案】-2或0或4 【分析】对a和b，以及的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值． 【解析】解：①当，时，，， 原式； ②当，时，，， 原式； ③当，，且时，， 原式； ④当，，且时，， 原式； ⑤当，，且时，， 原式； ⑥当，，且时，， 原式． 故答案是：-2或0或4． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值． 3．若，则 ． 【答案】2或-2. 【分析】对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解． 【解析】解：当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2； 当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式=-1+1+1+1=2； 当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=-1-1+1-1=-2； 当a、b、c都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2， 总是代数式的值是2或-2， 故答案为：2或-2. 【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键． 4．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【解析】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题 5．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或 (3)； (4) (5)， 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【解析】（1）解：由数轴得 数轴上表示和的两点之间的距离是：； 表示和两点之间的距离是：； 故答案：；． （2）解：由得， ， 所以表示与距离为， 因为与距离为的是或， 所以或． 故答案：或． （3）解：由，得， ，， 所以表示与的距离为，与的距离为，， 所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 当，时，则A、B两点间的最小距离是， 故答案：，． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数a的点位于与之间， 所以， 故答案：． （5）解： ， 所以表示与、、的距离之和， ①如图，当表示的点在的右侧时，即，    由数轴得： ， 所以， 所以； ②如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ③如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ④当表示的点在或或的点上时， 即或或， 如图，当时，   ； 如图，当时，   ； 如图，当时，   ； 因为， 所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为； 综上所述：当，的最小值为． 故答案： ，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 6．一条数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是，2021，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点到B的距离为4，则点C表示的数是 ． 【答案】1或 【分析】设点C所表示的数为x，则，分两种情况：①点在点B左侧，②点在点B右侧，分别求出表示的数，根据，分别列出关于x的方程，解出方程即可．本题考查数轴上两点之间的距离问题，能正确地表示出两点间的距离是解题的关键． 【解析】解：设点C所表示的数为x，则， ，B点表示的数为2021， ①点在点B左侧时， 点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， ②点在点B右侧时， 点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， 故答案为：1或 7．大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)式子在数轴上的意义是 ． (2)数轴上数x和的两点A和B之间的距离可以表示为 ；如果，那么 ． (3)若点C表示的数为x，当取得的最小值时，则x的取值范围是 ；当取最大值时，则x的取值范围是 ． (4)点D表示的数为8，点E表示的数为，若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，请写出满足要求的所有的点P表示的整数． 【答案】(1)表示4的点与表示的点之间的距离 (2)；1， (3)； (4)、 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的综合应用， （1）原式变形，根据题意即可得出结果； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到与一点距离相等的点有两个； （3）根据线段上点到这两点的距离最小，可得范围； （4）若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，分情况讨论，可得点P在之间，故而可知x的取值范围，从而求得点P表示的整数． 【解析】（1）解：，表示4的点与表示的点之间的距离， 故答案为：表示4的点与表示的点之间的距离； （2）数轴上数x和的两点A和B之间的距离为， 如果，即， 或 故x为1、； （3）表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 表示点C到A、B这两点的距离之和， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取得的最小值， 此时x的取值范围是； 若，那么 ， 若，那么 ， 若，那么， 取最大值时，且最大值为表示的点与表示2的点之间的距离3， 此时x的取值范围是； （4）若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5， ， 假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 不符合题意，舍去， 满足要求的所有的点P表示的整数、． 8．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度； (2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒； (3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________； (4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 【答案】(1)，； (2) (3)， (4)t 的值为 2，，11 或 17． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）当秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数， （2）分别计算出，，段的运动时间求和即可； （3）因为P从A到O需要5秒，Q从C到B需要8秒，8秒时P点在段，那么可知相遇点M在上，设，根据相遇时运动时间相等列方程求解； （4）分情况讨论，①动点 Q 在 上，动点 P 在 上，②动点 Q 在 上，动点 P 在 上，③动点 Q 在 上，动点 P 在 上，④动点 Q 在 上，动点 P 在 上，再建立方程求解即可． 【解析】（1）解：当秒时，，， 则P点对应的数为，Q点对应的数为； （2）解：动点Q从点C运动至A点所需时间为： （秒 ) （3）解：由题可知， P 、 Q 两点相遇在线段上于 M 处，设． 则， 解得  ．此时  ， M 所对应的数为； （4）解：P 、 O 两点在数轴上相距的长度与 Q 、 B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能： ①动点 Q 在 上，动点 P 在 上， 则： ， 解得：． ②动点 Q 在上，动点 P 在 上， 则： ， 解得：． ③动点 Q 在上，动点 P 在上， 则： ， 解得： ． ④动点 Q 在 上，动点 P 在 上， 则：， 解得：． 综上所述： t 的值为 2，，11 或 17． 题型3：数轴上动点-单动点问题 9．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数是______； (2)当点P与点B重合时，______； (3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）； ②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示） (4)当t的值为多少时，． 【答案】(1) (2) (3)①，； (4)或10 【分析】（1）当时，利用距离速度时间，计算出点运动的距离，点的坐标加上点运动的距离，即可得到答案； （2）当点与点重合时，计算出点运动的距离，根据时间距离速度，即可得到答案； （3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离为：速度时间，点表示的有理数是：点的坐标点运动的距离，即可得到答案，②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是：点与点两点之间的距离（点运动的距离点与点两点之间的距离），即可得到答案， （4）分两种情况讨论：①点由点向点运动时；②点由点向点运动时；根据分别列出方程，求解即可． 【解析】（1）解：当时， 点移动的距离为：， 此时点表示的有理数为：， 即时点表示的有理数为． 故答案为：； （2）当点与点重合时，点运动的距离为：， 运动的时间（秒）， 即点与点重合时的值为． 故答案为：； （3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离为：，点表示的有理数是：． 故答案为：，； ②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是：． 故答案为：； （4）分两种情况： ①如果点由点向点运动，即时， ， ； ②如果点由点向点运动，即时， ， ． 故当或10时，． 故答案为：或10． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是：正确掌握速度，时间，距离公式，数轴的定义，正确找出等量关系，列出一元一次方程． 题型4：数轴上动点-双动点问题 10．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点M表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)运动开始前，A，B两点的距离为______；线段的中点M所表示的数为______． (2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为______；（用含t的式子表示） (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距4个单位长度？ (4)若A，B按上述方式继续运动下去，线段的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合）． 【答案】(1)18； (2)； (3)秒或秒 (4)能，运动时间为2秒，运动方向向右，运动速度为每秒个单位长度 【分析】（1）根据数轴的基本概念，由题意可得与两点之间的距离以及线段的中点表示的数； （2）由题意可得，点运动秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点表示的数加上点运动的路程，即，点运动秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点表示的数减去点运动的路程，即． （3）设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距4个单位长度，根据题意列方程求解即可． （4）设，按上述方式继续运动秒线段的中点能与原点重合，根据题意列方程，解得值，再由运动开始前点的位置及秒后所到的位置得出点的运动方向向右及速度． 【解析】（1）解：、两点的距离为：；线段的中点所表示的数为． 故答案为：18；； （2）由题意可得点运动秒后所在位置的点表示的数为；点运动秒后所在位置的点表示的数为； 故答案为：；； （3）设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距4个单位长度， 当点在点左侧时， 依题意列式，得， 解得； 当点在点右侧时， ， 解得， 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距4个单位长度． （4）能．设，按上述方式继续运动秒线段的中点能与原点重合， 根据题意列方程，可得， 解得． 运动开始前点的位置是，运动2秒后到达原点， 由此得点的运动方向向右，其速度为：个单位长度． 答：运动时间为2秒，中点点的运动方向向右，其运动速度为每秒个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． 11．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 (3)存在；，，，8 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）根据运动特点可得，，再根据M为的中点，N为中点，可得，，依据，可得方程，解方程即可求解； （3）分类讨论：与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时，表示出点，，，．①点P表示的数比点F表示的数大1，即，②点Q表示的数比点E表示的数大1，即；与第二次重合中，P到C返回时，即，同理表示出，，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即，④点P表示的数比F表示的数大1时，即，解方程即可求解． 【解析】（1）∵是一元一次方程， ∴，解得：， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 即，，； （2）∵，，， ∴根据运动特点可得，， ∵M为的中点，N为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）存在．或者或者或者8．理由如下： ∵， ∴， 与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时， 点，，，． ①点P表示的数比点F表示的数大1， 即， 解得：． ②点Q表示的数比点E表示的数大1， 即， 解得：． 与第二次重合中，P到C返回时，即 ， ③点Q表示的数比E表示的数大1时， 即， 解得：． ④点P表示的数比F表示的数大1时， 即， 解得：． 故：，，，8． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 12．如图所示，数轴上有，，，四个点，点表示的数是，点表示的数是，且满足．已知（单位长度），（单位长度）． (1)求点和点分别表示的数； (2)若线段以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当（单位长度）时，求的值； (3)若动点从表示数的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足的值不随点运动时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是 (2)或4 (3) 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出的值，然后根据（单位长度），（单位长度） 进而得出答案； （2）根据题意可得点表示的数是，点表示的数是，从而得出 ，求解即可； （3）根据题意点表示的数是，则，整理化 解，然后根据的值不随点运动时间的变化而改变可求得的值． 【解析】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴点表示的数是，点表示的数是18， ∵（单位长度），（单位长度）， ∴点表示的数是，点表示的数是； （2）由题意得，点表示的数是，点表示的数是， ∴， 解得或4； （3）由题意得，点表示的数是， ∴ ， ∵的值不随点运动时间的变化而改变， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的偶次方的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，运用方程的思想解题是本题的关键． 题型5：数轴上动点-三动点问题 13．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，， (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 【答案】(1)，1，8 (2)5 (3)，， (4)不变，15 【分析】（1）根据非负数的性质可得a，c的值，即可求解； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）先得出A，B，C表示的数，再根据两点间距离的表示方法计算即可； （4）将（3）中结果代入中，去括号合并即可判断． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，1，8； （2）， ∴对称点为3， ∴， 即点B与5表示的点重合； （3）由题意可得： t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，； （4）由题意可得： 即的值不随着时间t的变化而变化，其值为15． 【点睛】此题考查了数轴，整式的加减，绝对值，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 14．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题．    (1)请直接写出a、b、c的值． ______，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时即（时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)，1，5 (2)见解析 (3)存在，t的值是或1或 【分析】（1）根据b是最小的正整数，以及偶次方和绝对值的非负性进行求解即可； （2）分，两种情况进行讨论，化简即可； （3）分A是的中点，B是中点，C是中点三种情况，进行讨论求解． 【解析】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，1，5； （2）当时， ； 当时， ； （3）存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下： 根据题意，运动后A表示的数是，B表示的数是，C表示的数是， ①A是的中点时，，解得， ②B是中点时，，解得， ③C是中点时，，解得， 综上所述，t的值是或1或． 【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的意义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 15．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．    (1)则 ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： 运动秒后，点与点之间的距离为多少？（用含的代数式表示） 的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)3，5，8 (2)；不变，值为2 (3)存在，见解析 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）由点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案；由点以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【解析】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，1，6， ，，， 故答案为：3，5，8； （2）解：点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； 点以每秒5单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键． 题型6：有理数的混合运算 16．观察式子，，，… (1)猜想并写出：＝　 　； (2)填空：＝　 　； (3)尝试解决：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式特点，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再求和即可； （3）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再求和即可． 【解析】（1）解：＝， 故答案为：； （2）解： ， （3）解： ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式运算的一般规律是解题的关键． 17．已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用进行简便运算． 【解析】∵和是一对互为相反数 ∴+=0 ∴a=1，b=2 ∴ = = = = = 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用对，，等进行裂项，并两俩抵消． 18．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用及有理数的四则运算，利用，将原式变形为，逆用乘法分配律即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【解析】解：， ， ； 同理； 原式 ， 故答案为：． 19．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【解析】解：①， ， ， ②， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． 20．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【解析】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 题型7：算“24”点 21．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．    (1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________． (2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________． (3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________． (4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________． (5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ． 【答案】(1)-9 (2)11 (3)6 (4)90 (5)， 【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6， 所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为． 故答案为：-9； （2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5， 所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为． 故答案为：11； （3）解：取出-6和-1，相除得． 所以商的最大值为6； 故答案为：6 （4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为． 故答案为：90； （5）解：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键． 22．点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或． 例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：． 如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或． ① 依次记为：_________________     列式计算：__________________． ② 依次记为：_________________   列式计算：_______． 【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可） ②，，，；．（答案不唯一，正确即可） 【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可． 【解析】解：①四张牌依次记为，，，； 列式计算得：（答案不唯一，正确即可）； ②四张牌依次记为，，，； 列式计算得：（答案不唯一，正确即可）． 【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键． 题型8：流程题 23．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【解析】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 24．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条） 【尝试解决】      （1）如图1，当输入数时，输出数______； 如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______； （2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值； 【实际应用】 （3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整． 第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________． 【答案】（1）-7；×5，-3；（2）-51；（3）×3，×4，+30． 【分析】（1）把代入图1中的程序中计算确定出输出数y即可； 根据输出的代数式确定出程序中应填的运算即可； （2）把代入图3中的程序中计算确定出输出数y即可； （3）根据题意确定出所求计算框图即可． 【解析】解：（1）把代入图1中的程序中，得：(-1)×2-5=-7； 根据题意，得：第①个“”内，应填×5，第②个“”内，应填-3； （2）把代入图3中的程序中，得：(-2)×2-5=-9， ∵-9>-30， ∴把代入图3中的程序中，得：(-9) ×2-5=-23， ∵-23>-30， ∴把代入图3中的程序中，得：(-23) ×2-5=-51， ∵-51<-30， ∴y=-51； （3）由题意，得第①个“”内，应填×3，第②个“”内，应填×4，第③个“”内，应填+30． 【点睛】本题考查了程序图与有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型9：乘方的综合应用 25．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②如果欲求的值，可令     ……………① 将①式右边顺序倒置，得    ……………② 由②加上①式，得2 ； ∴ S=_________________； 由结论求； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②为了求的值，可令，则，因此，所以， 即.     仿照以上推理，计算 【答案】（1）①1，18，n；②，，1540；（2）①2，，；②. 【分析】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差都为1，从而可得常数为1；根据此规律，如果为正整数)=n，据此即可求得答案； ②观察可得2n(n+1)，从而求得 S；根据上面得到的式子进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得为正整数)=2n，据此即可得答案； ②根据推理进行计算即可求得的值. 【解析】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1；根据此规律，如果为正整数)表示这个数列的第项，那么18，n， 故答案为1，18，n； ②令 ，① 将①式右边顺序倒置，得，② ②+①，得2=n(1+n)， ∴ S=； ==1540， 故答案为，，1540； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果为正整数)表示这个数列的第项，那么218，2n， 故答案为2，，； ②令， 则，   ，    ， ， 即. 【点睛】本题考查了阅读理解题，根据题目的内容以及问题的求解方法进行求解，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键. 26．进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法．我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作4×103+6×102+5×101+2×100，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作1×82+7×81+4×80等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中数应为 ．（请直按写结果） 【答案】668． 【分析】根据题意由八进制的定义列出算式计算即可得到结果． 【解析】解：1×83+2×82+3×81+4×80 ＝1×512+2×64+24+4 ＝512+128+24+4 ＝668， 则八进制中的数1234等于十进制中数应为668． 故答案为：668． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键． 27．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生． (1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________． (2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至 【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围． 【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为， 故答案为：； （2）不能，∵， ∴不能用该系统全部识别； ∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位， 改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形， 规则不变，序号改为：， 如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1， 序号为， 第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1， 序号为， 当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1， 序号最大，为， ∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 28．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三：图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 题型10：古代问题 29．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】由题意可得，，，，再分类讨论，推理得出m、n的值即可． 【解析】解：由题意可得，，，， ， ①当时， ，， 与矛盾， 故不成立； ②当时， ， ， 符合题意， 故成立； ③当时， ，， 与矛盾， 故不成立； ④当时， ，， 与矛盾， 故不成立； 综上所述，； 故答案为：1；2． 【点睛】此题考查有理数的运算，正确理解题中的“格子乘法”的计算方法，熟练运用有理数的运算求解是解题的关键． 30．“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行，一纵行及对角线的几个数之和都相等.图（l）所示是一个幻方.有人建议向火星发射如图（2）所示的幻方图案，如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.图（3）是一个未完成的幻方，请你类比图（l）推算图（3）中处所对应的数字是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据每一横行、每一竖列以及斜对角线上的点数的和相等，可得x+1+（-2）=x +（-3）+p，可得P处数字． 【解析】解：设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据题意得， x+（-2）+1=x+(-3)+p，解得p=2， 故选：B． 【点睛】本题通过九方格考查了有理数的加法．九方格题目趣味性较强，本题的关键是找准每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字的和相等，据此列方程求解． 题型11：新定义题 31．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 【答案】(1)， (2)：，， (3) (4) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【解析】（1）解：依题意得：，， 故答案是：，； （2）依题意得：， ， ； 故答案为：，，； （3）依题意得：． 故答案为：； （4） 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 32．小岳同学仿造二进制，写出了一种数的表示方法：一个n位数，其中的值只能取0或1，他把这样的数叫做本原数．比如当时，2位本原数可以表示00，01，10，11共4个数． 然后小岳设计了一种针对两个本原数的运算，如果，那么定义： （1）计算的值为：_________； （2）若，且，求本原数t的值； （3）①若为k个互不相同的4位本原数，满足对任意，当时，为奇数；当时，为偶数，直接写出k的最大值：________； ②若为k个互不相同的2019位本原数，满足对任意，当时，，直接写出k的最大值：_______ 【答案】（1）1；（2）101或111；（3）①4；②2020 【分析】（1）按照M(s，t)的定义计算即可； （2）设，则易得，从而可得，且可取0或1，从而可得本原数t； （3）①当i=j时，设，为奇数，则4位本原数是由3个0和1个1组成即s1=1000，s2=0100，s3=0010，s4=0001共四个，记为第一组，或由3个1和1个0组成，即s5=1110，s6=1101，s7=1011，s8=0111共四个，记为第二组；当i≠j时，计算两组间的值即可判断k的最大值为； ②当时，对任意，考虑相同数位上的数，只有两种可能：相同或不相同，由的计算式知，此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为0，从而相同数位上的数只能是0与1或全为0，从而可得k的最大值． 【解析】（1） 故答案为：1； （2）设，则由 得： 即：， ∴，且可取0或1 ∴t=101或t=111； （3）①当i=j时，设，为奇数，则4位本原数是由3个0和1个1组成即s1=1000，s2=0100，s3=0010，s4=0001共四个，记为第一组；或由3个1和1个0组成，即s5=1110，s6=1101，s7=1011，s8=0111共四个，记为第二组；当i≠j时，每组内的两个满足为偶数，即k≥4；另当i+j=9时， 也有为偶数，对每组的4个数，加上另一组的任意一个数，只要i+j≠9，均有为奇数，从而不满足题意，故k的最大值为4； ②相同数位上的数只有两种可能：同为0或不相同；同为１；当同为0或不相同时，由的计算式知，此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为0；当同为１时，由的计算式知，此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为2，根据题意知，此种情况是不可能，故相同数位上的数只能是0与1或全为0；当时，对任意，，则中只能是1个1，其余全为0，或全为0，对于前者共有2019个数，对于后者只有一个数，故k的最大值为2020． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了新定义问题，掌握题目中新定义的含义并正确计算是解题的关键． 题型12：有理数混合运算的实际应用 33．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【答案】 86 38 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算． （1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可； （2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可． 【解析】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天， ∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要： （天）； 故答案为：86； （2）（天）， ∴至少需要将整个任务缩短6天， ∵B，E，F，G不可缩短， ∴工序最多可以缩短天， ∵天， ∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天， ∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为： （万元）， 故答案为：38． 34．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 【答案】各买一个（答案不唯一） 【分析】根据该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，进行判断即可． 【解析】解：当购买各一个时： 一等奖的个数为：，，满足题意； 二等奖的个数为：，，满足题意； 三等奖的个数为：，，满足题意； 奖品总个数为：，满足题意； 故答案为：各买一个（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的加法的实际应用．解题的关键是根据题意，列出算式，进行求解． 35．共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日与假期的天数，获得骑行的次数与时间，然后计算不同方案所需总费用，进行比较即可． 【解析】解：这段时间有20周，19个周末（含假清明、五一，端午），不足半小时的次数有个，还有个50分钟（回家、返公司）的单程． ∴若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的工作日不超过天，周末加法定假日不超过15个，大约需付费不超过：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）． 综上所述，选用公司的车最省钱，也就是最划算． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用．解题的关键与难点在于理解题意． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$