第十章 分式（压轴专练）（八大题型40道）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第10章 分式（压轴专练）（八大题型40道） 目录 【类型1 分式方程无解类多答案】 1 【类型2 分式方程增根类多答案】 1 【类型3 不等式与分式方程综合含参运算】 2 【类型4 较复杂的分式求值】 2 【类型5 分式找规律】 3 【类型6 特殊分式方程的解法】 3 【类型7 利用整体思想解题】 6 【类型8 分式方程应用题方案类】 8 【类型1 分式方程无解类多答案】 1．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 2．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 3．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 4．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 5．若关于的分式方程无解，则实数的取值是（    ） A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8 【类型2 分式方程增根类多答案】 6．已知关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2 8．解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（　　） A．2 B．1 C．且 D．无法确定 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．或2 B．1 C． D．或 10．若分式方程有增根，则a的值是（    ） A． B．0 C．0或 D．0或2 【类型3 不等式与分式方程综合含参运算】 11．若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为，且关于的分式方程解为奇数，则符合条件的所有整数的和为 ． 12．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 13．若关于的不等式组有且只有个偶数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 14．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 15．若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【类型4 较复杂的分式求值】 16．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 17．已知非0实数a，b，c满足．则 ． 18．已知实数，，，满足，且，则代数式的值等于 ． 19．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 20．已知非零实数a、b满足，则 ． 【类型5 分式找规律】 21．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 22．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ． 23．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 24．观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 25．观察分析下列方程： ①的解是或； ②的解是或； ③的解是或； …… 利用它们所蕴含的规律，则关于的方程(为正整数)的解是 ． 【类型6 特殊分式方程的解法】 26．阅读下列材料： 关于的方程： 的解是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是；… (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：． 27．阅读下列材料：关于x的方程的解是（表示未知数x的两个实数解，下同）；的解是；的解是． (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是 ． (2)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： ①       ②．        ③ 28．阅读下列材料： 方程有两个解，它们是，； 关于x的方程：上有两个解，它们是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是，； … (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证． (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论： 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：． 29．关于x的方程的解是，（，表示未知数x的两个实数解）；的解是，；的解是为，为． (1)请观察上述方程与解的特征，直接得出的解是＿＿＿＿＿． (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验． (3)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： 30．阅读材料： 关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝； x-＝c-（既x+＝c+）的解是x1＝c，x2＝-； x+＝c+的解是x1＝c，x2＝； x+＝c+的解是x1＝c，x2＝； … （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝a+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证： （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解下面关于x的方程（直接写出答案）； ①x+＝4+ 　 　； ②x+＝a+　 　． 【类型7 利用整体思想解题】 31．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，即先求其倒数，再对结果求倒数，以达到计算目的． 【例】若，求代数式 解：设 则 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值； (2)求的值． 32．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解 (2)计算： (3)①已知，求的值 ②若，直接写出的值． 33．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法．请阅读材料： 例题：计算的值． 解：设，则原式． 请解决下列问题： (1)计算：； (2)已知，求的值； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 34．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 35．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【类型8 分式方程应用题方案类】 36．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 37．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． (1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ (2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ (3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 38．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 39．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又购进第二批该款式的衬衫，已知进价每件比第一批降低了10元，若第二次购货款为2100元，则进货量是第一次的一半． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元，第二批衬衫的售价有哪几种方案？（售价是10的倍数） (3)在（2）的条件下，服装店从第二批衬衫中拿出几件奖励员工，其余衬衫全部售出，销售这两批衬衫共获利1680元．直接写出奖励员工衬衫的件数． 40．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式（压轴专练）（八大题型40道） 目录 【类型1 分式方程无解类多答案】 1 【类型2 分式方程增根类多答案】 4 【类型3 不等式与分式方程综合含参运算】 7 【类型4 较复杂的分式求值】 11 【类型5 分式找规律】 14 【类型6 特殊分式方程的解法】 17 【类型7 分式方程增根类多答案】 23 【类型7 利用整体思想解题】 24 【类型8 分式方程应用题方案类】 31 【类型1 分式方程无解类多答案】 1．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 2．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到，再分当，即时和当时两种情况，讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时有，故原方程无解， 当时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：C． 3．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 【答案】C 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 4．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于的分式方程无解， ∴且，或， ∴且，或， 当时，， 解得，， ∴的值为或， 故选：A ． 5．若关于的分式方程无解，则实数的取值是（    ） A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，去分母，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 先用a表示方程的解，再把方程无解时的取值代入运算即可． 【详解】解： 整理得： 去分母得： 解得： ∵， ∴当或时，此方程无解， ∴或， 解得：或， 故选：D． 【类型2 分式方程增根类多答案】 6．已知关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，一元一次方程．熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解： 由去分母得： 解得：， 若分式方程有增根， 或， 或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，或； 故选：B． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 把代入整式方程得： 解得：； 把代入整式方程得：， 解得：； 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（　　） A．2 B．1 C．且 D．无法确定 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，解得，根据题意可得，从而求出k的值． 【详解】解：去分母得，， 解得， ∵方程不会产生增根， ∴， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．或2 B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：2（x+2）+mx=x-1， ∵分式方程有增根， ∴（x-1）（x+2）=0， 解得：x=1或x=-2， 把x=1代入整式方程得：6+m=0，即m=-6； 把x=-2代入整式方程得：-2m=-3，即m=， 综上所述，m的值为-6或， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 10．若分式方程有增根，则a的值是（    ） A． B．0 C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根．先去分母得，再根据增根的定义求出或，然后分别代入求解即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， ∴增根是或， 当时，方程化为：， 解得：； 当时，方程化为，即， 解得或． 故选C． 【类型3 不等式与分式方程综合含参运算】 11．若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为，且关于的分式方程解为奇数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】10 【分析】不等式组整理后，根据所有整数解的和为，确定出的值，进而求出的范围，解分式方程，并检验即可得到满足题意的值，求出符合条件的所有整数即可求解． 【详解】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组所有整数解的和为，得到或， ∴或， ∵分式方程 解得：， 经检验，当时，是方程的解， 又关于的分式方程解为奇数 ∴a为偶数，且， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：10． 12．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为，它们的和是， 故答案为：． 13．若关于的不等式组有且只有个偶数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解，解关于的不等式组，根据其解的情况确定的取值范围；解关于的分式方程，根据其解的情况确定的取值范围，从而确定符合条件的所有整数的值并求和即可．掌握分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有且只有个偶数解， ∴， ∴； ∵， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵或是分式方程的增根， ∴或， ∴且， ∵为整数， ∴可以是，， ∴， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 14．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解．先解出分式方程，再解出不等式组的解，最后确定的值即可． 【详解】解：解方程得 依题得且为整数，， 且为3的倍数，， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， ，且， 为3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 的值为1或4， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：5． 15．若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 解出分式方程，根据题意确定的范围，解不等式组，根据题意确定m的范围，根据分式不为0的条件得到，根据题意计算即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得，， 由题意得，，且， 解得，且， 解不等式组得，， 不等式组有解， ， 则且， 所有满足条件的整数m的值之和为：， 故答案为：． 【类型4 较复杂的分式求值】 16．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．已知非0实数a，b，c满足．则 ． 【答案】9 【分析】用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合化简，所得三部分合并再化简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算化简，完全立方公式的推导及变形运用，是解决本题的关键． 【详解】∵， 同理，，， ∴原式， 又，即， 则， 故原式． 故答案为：9． 18．已知实数，，，满足，且，则代数式的值等于 ． 【答案】/ 【分析】根据，可以先将所求式子化简，然后根据，可以得到∶，，，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解∶∵， ∴，，， ∵， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 20．已知非零实数a、b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握约分是关键．先根据分式的混合计算法则化简所求式子，再根据已知条件式得到，据此代值计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式， 故答案为：． 【类型5 分式找规律】 21．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 22．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算．根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴ 可知此组数三个一循环， ， ∴． 故答案为：． 23．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 24．观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 【答案】第n个方程为，其解为 【分析】本题主要考查了与分式方程有关的规律探索，观察可得规律，第n个方程左边的式子的分子为n，分母为，方程右边的式子，第一项分子为，分母为，第二项为，其解为，据此规律求解即可． 【详解】解：①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是； ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 25．观察分析下列方程： ①的解是或； ②的解是或； ③的解是或； …… 利用它们所蕴含的规律，则关于的方程(为正整数)的解是 ． 【答案】x=n+3或x=n+4 【分析】根据已知三个分式方程和分式方程的解可得出规律：方程左边分式的分母是方程的解的乘积，方程右边是方程的解的和，把x-3看成一个整体，根据规律即可得答案． 【详解】①中，方程的解为x=1或x=2，1×2=2，1+2=3， ②中，方程的解为x=2或x=3，2×3=6，2+3=5， ③中，方程的解为x=3或x=4，3×4=12，3+4=7， …… ∴关于x的方程x+=2a+1(a为正整数)的解为x=a或x=a+1， 把变形得：， ∴x-3=n或x-3=n+1， ∴x=n+3或x=n+4， ∴关于的方程(为正整数)的解是x=n+3或x=n+4， 故答案为：x=n+3或x=n+4 【点睛】本题考查分式方程的解，正确得出已知方程的规律是解题关键． 【类型6 特殊分式方程的解法】 26．阅读下列材料： 关于的方程： 的解是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是；… (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：． 【答案】(1)的解是，，验证见解析 (2)， 【分析】（1）认真审题，找到规律：的解为，，分别代入验证即可； （2）据规律解题即可． 【详解】（1）解：猜想 (m≠0)的解是，． 验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+， ∴方程成立； 当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+， ∴方程成立； ∴ (m≠0)的解是，； （2）解：由得， ∴x-1=a-1，， ∴，． 经检验：它们都是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律： (m≠0)的解是，． 27．阅读下列材料：关于x的方程的解是（表示未知数x的两个实数解，下同）；的解是；的解是． (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是 ． (2)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： ①       ②．        ③ 【答案】(1)x1＝c，x2＝； (2)①x1＝5，x2＝；②x1＝a，x2＝；③x1＝，x2＝ 【分析】（1）根据给出的方程与解的特征，即可得出关于x的方程（m≠0）的解； （2）①变形为x+＝5+，，再根据题干中的信息，即可求出它们的解； ②变形为x﹣1+＝a﹣1+，再根据题干中的信息，即可求出它们的解； ③变形为2x﹣3+＝a+，再根据题干中的信息，即可求出它们的解． 【详解】（1）∵的解是； 的解是； 的解是； ∴（m≠0）的解是x1＝c，x2＝， 故答案为：x1＝c，x2＝； （2）①， ∴x+＝5+， ∴x1＝5，x2＝； ②， ∴x﹣1+＝a﹣1+， ∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝ ∴x1＝a，x2＝； ③， ∴2x+＝， ∴2x+＝a+3+， ∴2x﹣3+＝a+， ∴2x﹣3＝a或2x﹣3＝， ∴x1＝，x2＝． 【点睛】考查了解分式方程及分式方程的解，根据题干中给出的方程与解的特征得出方程解的规律是解题的关键． 28．阅读下列材料： 方程有两个解，它们是，； 关于x的方程：上有两个解，它们是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是，； … (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证． (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论： 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】（1）找到规律：的解为，，据规律解题即可． （2）根据例题解方程即可求解． 【详解】（1）猜想的解是，． 验证：当时，方程左边，方程右边， 方程成立； 当时，方程左边，方程右边， 方程成立； 的解是，； （2）由得， ，， ，． 【点睛】考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律. 29．关于x的方程的解是，（，表示未知数x的两个实数解）；的解是，；的解是为，为． (1)请观察上述方程与解的特征，直接得出的解是＿＿＿＿＿． (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验． (3)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： 【答案】(1)， (2)方程的解为或，检验见解析； (3)， 【分析】此题考查了分式方程的解，解题的关键是：将方程转化为：的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为： 的形式，然后得到：或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 经检验：或是原方程的解 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边， 故是方程的解， 当时，左边右边， 故也是方程的解； （3）解：，， 所以，即或， 解得：，， 经检验，，是原方程的解． 30．阅读材料： 关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝； x-＝c-（既x+＝c+）的解是x1＝c，x2＝-； x+＝c+的解是x1＝c，x2＝； x+＝c+的解是x1＝c，x2＝； … （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝a+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证： （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解下面关于x的方程（直接写出答案）； ①x+＝4+ 　 　； ②x+＝a+　 　． 【答案】（1），验证见解析；（2）①；②x1＝a或x2＝ 【分析】（1）通过观察例题方程与解得特征，得到关于x的方程（m≠0）的解，利用“方程的解”的概念，把解代入原方程，验证后即可， （2），整理得：，得到关于x的一元一次方程，解之即可，x+＝x﹣1+，整理得：x﹣1+，解之即可． 【详解】解：（1）该方程的解是x1＝a，x2＝， 验证：把x＝a代入x+得：，把x＝代入x+得：x+＝a+， 故得证， （2）， 整理得：x+1+＝5+， 即x+1＝5或x+1＝， 解得：x1＝4，x2＝﹣， 故答案为x1＝4，x2＝﹣ ， ， 整理得：x﹣1+＝a﹣1+， 即x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝， 解得：x1＝a或x2＝， 故答案为x1＝a或x2＝． 【点睛】本题考查了解分式方程和分式方程的解，正确掌握观察与分析的能力是解题的关键． 【类型7 分式方程增根类多答案】 【类型7 利用整体思想解题】 31．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，即先求其倒数，再对结果求倒数，以达到计算目的． 【例】若，求代数式 解：设 则 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的除法，分式的加减法和因式分解的应用，将式子根据题意进行合理变形是解题的关键． （1）将变形为，可得，因此； （2）将变形为，可得，则，因此可得：． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 32．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解 (2)计算： (3)①已知，求的值 ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2023 (3)①1；②5 【分析】（1）读懂例1，整体设元，分解因式； （2）读懂例1，整体设元，分解因式，代入化简再求值； （3）①认真读懂例2，整体代入化简求值； ②认真读懂例2，整体代入化简求值． 本题考查了分式、整式混合运算的新定义，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算和整式的混合运算． 【详解】（1）解： ， 设， 原式 ， ； （2）解：， 令，， ， 原式 ； （3）解：①， ； ②， ， ． 33．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法．请阅读材料： 例题：计算的值． 解：设，则原式． 请解决下列问题： (1)计算：； (2)已知，求的值； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整式的混合运算、分式的化简求值的因式分解， （1）设，，将原式转化为，然后化简求值即可； （2）将转化为，然后代入计算即可； （3）设，再进行因式分解即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 若，则，， 此时分式无意义， ∴， ∴ ， ∴的值为； （3）证明：设， ， ∴， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 34．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查利用有理数除法法则解分式不等式． （1）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解； （2）易得与异号，可得两个不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：①若，则a、b同号， 则或； ②若，则a、b异号， 则或； 故答案为：；，； （2）（2）原不等式可转化为： （1）或（2） 解（1）得：无解，解（2）得： 所以原不等式的解集是 35．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得； 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3） ， ∵， ∵是整数， ∴或， 解得：，，或， ∵，，或时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 【类型8 分式方程应用题方案类】 36．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 37．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． (1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ (2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ (3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 【答案】(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元 (2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元 (3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高． 【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案． 【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， ∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， ∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条， 根据题意，可得 ， 整理，可得， ∴， ∵均为正整数， ∴；；， 即有三种进货方案： 方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条， 则利润为：元； 方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条， 则利润为：元； 方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条， 则利润为：元； 综上所述，选择方案一利润最高． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键． 38．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元； (2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件； (3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件． 【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元； （2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可； （3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意． 【详解】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元． 由题意得： 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件． 根据题意得： 的整数值为78，79，80． 商场共有三种进货方案． 方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件； 方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件； 方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件． （3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件， ①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． ②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌， 解得：． 购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌， 解得：． ③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． 因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验． 39．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又购进第二批该款式的衬衫，已知进价每件比第一批降低了10元，若第二次购货款为2100元，则进货量是第一次的一半． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元，第二批衬衫的售价有哪几种方案？（售价是10的倍数） (3)在（2）的条件下，服装店从第二批衬衫中拿出几件奖励员工，其余衬衫全部售出，销售这两批衬衫共获利1680元．直接写出奖励员工衬衫的件数． 【答案】(1)第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件 (2)第二批衬衫的售价有3种方案，方案1：第二批衬衫的售价为170元/件；方案2：第二批衬衫的售价为180元/件；方案3：第二批衬衫的售价为190元/件 (3)奖励员工衬衫的件数为3件 【分析】（1）设第二次购进这种衬衫x件，则第一次购进这种衬衫2x件，利用进货单价等于进货总价÷进货数量，结合第二批进价每件比第一批降低了10元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第二次购进这种衬衫的数量，再将其代入2x中，即可求出第一次购进这种衬衫的数量； （2）设第二批衬衫的售价是y元/件，根据“这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元”，可得出关于y的一元一次不等式组，可得y的取值范围，再结合“y为正整数，且y是10的倍数”，即可解答； （3）利用奖励员工衬衫的数量＝少获得的利润÷第二批衬衫的售价即可解答． 【详解】（1）解：设第二次购进这种衬衫x件，则第一次购进这种衬衫2x件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件． （2）解：设第二批衬衫的售价是y元/件， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数，且y是10的倍数， ∴y可以为170，180，190， ∴第二批衬衫的售价有3种方案， 方案1：第二批衬衫的售价为170元/件； 方案2：第二批衬衫的售价为180元/件； 方案3：第二批衬衫的售价为190元/件． （3）解：当第二批衬衫的售价为170元时，奖励员工衬衫的件数为（件），不符合题意，舍去； 当第二批衬衫的售价为180元时，奖励员工衬衫的件数为（件），不符合题意，舍去； 当第二批衬衫的售价为190元时，奖励员工衬衫的件数为（件），符合题意． 答：奖励员工衬衫的件数为3件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、有理数的混合运算等知识点，解找准数量关系、正确列出分式方程和列出一元一次不等式组是解答本题的关键． 40．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少 【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解； （2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论． 【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米， 根据题意，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：， ， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：， 方案二所用时间为，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴方案二所用的时间少． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$