第十二章 三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第12章 三角形 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 4．在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 5．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带去（    ）    A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 6．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知和都是等腰直角三角形，，、交于点，连接、、下列结论：①；②；③平分；④其中结论正确的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个等腰三角形，若三个角的度数比是，则这个三角形的顶角是 度． 10．如图，点D在内，且，，则的度数为 ． 11．如图，，且点在边上，若，，则的长为 ． 12．如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则 ． 13．如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为 ． 14．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ． 15．如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ． 16．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 18．如图，在中，点在边上．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19．已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求、的值． 20．如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 21．一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 22．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 23．如图，已知，，和分别是和的平分线，点B、C、D在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．大刚利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，你帮大刚求出路灯的高度． 26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 27．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的长； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 28．如图1，在锐角中，于点D，于点E，相交于点F，已知． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长； (3)如图2，将沿线段对折，点C落在上的点M，与相交于点N，当时，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 三角形 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是D选项， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 4．在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 5．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带去（    ）    A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定进行判断即可解答． 【详解】解：由1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，则不能带它们去，只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，符合题意． 故选：D． 6．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵直线为线段的垂直平分线， ∴ 故选：B 7．如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 8．如图，已知和都是等腰直角三角形，，、交于点，连接、、下列结论：①；②；③平分；④其中结论正确的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】证明证明，再利用全等三角形的性质即可判断①；由可得，再由，证得即可判断②；分别过作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，可无法得到平分，可判断③；由平分结合即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故②符合题意； 分别过作，垂足分别为，如图： ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ， ，与题干条件互相矛盾，故③不符合题意； ∵平分，， ，故④符合题意． 综上，正确的是①②④， 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个等腰三角形，若三个角的度数比是，则这个三角形的顶角是 度． 【答案】100 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，知道三角形内角和为是解题的关键． 由题意可得顶角为：． 【详解】解：由题意得，顶角为：， 故答案为：100． 10．如图，点D在内，且，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 通过三角形内角和以及已知角的关系逐步分析即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以 ． 11．如图，，且点在边上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形性质；根据全等三角形对应边相等可知：；，根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴； ∴4； 故答案为：． 12．如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 13．如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，的值最小，再根据角平分线的性质求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵平分，，， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 14．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． 15．如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的折叠问题．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 16．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称最短路径的计算，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意，如图，连接，则就是的最小值，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：已知， ∴是等腰直角三角形， ∵点是中点， ∴， ∴点关于的对称点为点， 如图，连接，当点三点共线时，就是的最小值， ∵在中，，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 18．如图，在中，点在边上．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了尺规作角及平行线的判定，熟练掌握利用尺规作角的方法作平行线是解题的关键．作交于点，根据平行线的判定方法可得到． 【详解】解：如图，点即为所求． 19．已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求、的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对分为为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：为等腰三角形，且周长为， 分两种情况： 当为腰长时， 底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时， 腰长， 为底边，为腰长符合三角形的三边关系， ． 20．如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先根据条件证明 ，得到为等腰三角形，再通过证明，得到，得到为的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等边对等角）． 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 即． 所以（等角对等边）． 在和中， ， 所以（）． 得（全等三角形对应角相等）． 所以（等腰三角形的三线合一）． 21．一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 22．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最小，即可得的周长最小． （3）利用割补法求三角形的面积即可； 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求 （3）解：的面积为． 23．如图，已知，，和分别是和的平分线，点B、C、D在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）根据和分别是和的平分线可得，再结合，即可根据证明； （2）根据可得，，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴在与中， ， ∴； （2）解：∵（已证）， ∴，， ∵，， ∴，， ∵点B、C、D在同一直线上， ∴． 24．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 25．大刚利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，你帮大刚求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度是 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：路灯的高度是． 26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】小汽车超速了 【分析】根据题意，运用勾股定理可求出的长，由此可求出小汽车的速度，与限速比较即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，即，，， ∴在中，， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 27．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的长； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2)秒钟 (3)11秒或12秒或秒 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，用时间t表示出相应线段的长并根据题意列出方程成为解题的关键． （1）根据点P、Q的运动速度求出和，进而求得，然后运用勾股定理求解即可； （2）设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，列方程求解即可； （3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当时，则，可证明，则，则，从而求得t；②当时，则，易求得t；③当时，过B点作于点E，则求出，即可得出t． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点Q在边上运动时，， ∵为等腰三角形， ∴，解得：， ∴出发秒钟后，能形成等腰三角形． （3）解：①当时，如图1所示： 则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒． ②当时，如图2所示， 则， ∴秒． ③当时，如图3所示， 过B点作于点E，则， ∴， ∴， ∴， ∴秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形． 28．如图1，在锐角中，于点D，于点E，相交于点F，已知． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长； (3)如图2，将沿线段对折，点C落在上的点M，与相交于点N，当时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，折叠图形的性质，解直角三角形，三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 熟练掌握全等三角形的判定与性质并能全等三角形的应用 （1）证，即可得出结论； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出，则，，然后由三角形面积求出的长，即可解决问题； （3）证，，则，再由线段垂直平分线的性质得，进而由等腰直角三角形的性质得，则，得，然后由全等三角形的性质得，则，即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴，， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 即的长为； （3）解：由折叠的性质得：， ∴， 当时，如图3， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴． 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