第十二章 三角形（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形（单元测试） （试卷满分100分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．已知在中，，边上的高，则边的长为（　　） A．9 B．21 C．6或15 D．9或21 2．如图，已知的两直角边分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B．24 C．48 D． 3．在中，为线段上一点，过点做直线，交平分线于点，交平分线于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 6．如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，单位长度为1的的正方形网格中，A、B、C、D四点都在小正方形的顶点上，连接，则所夹的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 8．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 10．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 11．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为 ． 12．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点表示．若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 13．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 14．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 15．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为 ． 16．已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是 ． 三、解答题（9小题，共60分） 17．如图，和都是等边三角形，点在上，求证：． 18．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 19．在正方形中，点E，F分别在边上，且． (1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； (2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； (3)若．求线段的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 20．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离可能相等吗？若可能，请求出这个距离；若不可能，请说明理由． 21．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 22．如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 23．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 24．如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形： (1)在图①中，以线段为边画正方形，该正方形的面积为______； (2)请在图②中画出一个直角三角形（顶点均在格点上），其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数． 25．在中，，，，， 求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形（单元测试） （试卷满分100分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．已知在中，，边上的高，则边的长为（　　） A．9 B．21 C．6或15 D．9或21 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，分是锐角三角形，和是钝角三角形，两种情况利用勾股定理分别求出的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时， ∵边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当是钝角三角形时， ∵边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为9或21， 故选：D． 2．如图，已知的两直角边分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B．24 C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．先分别求出以，，10为直径的三个半圆的面积，再求出三角形的面积，阴影部分的面积是三角形的面积加以为直径和以为直径的两个半圆的面积再减去以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵，， ∴ 以为直径的半圆的面积：， 以为直径的半圆的面积：， 以为直径的半圆的面积：， 三角形的面积：， 阴影部分的面积：， 故选：B． 3．在中，为线段上一点，过点做直线，交平分线于点，交平分线于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义与平角度数，证明，即可由勾股定理得，可判定A正确；根据角平分线的定义与平行线的性质可得，利用等腰三角形的判定得，同理可得，即可得出，，即可判定B、C正确；假设，证明得，而根据题意与并不一定相等，故可判定D错误． 【详解】解：A、∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 由勾股定理，得， 故此选项正确，不符合题意； B、∵ ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ 故此选项正确，不符合题意； C、∵，， ∴， 故此选项正确，不符合题意； D、若，则 ∵，， ∴， 而题目中没有这一条件，根据题意与并不一定相等，故与不一定相等， 故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定以及勾股定理是解题的关键． 4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，依题意得： ， 故选：D． 5．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 【答案】A 【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置． 【详解】解：如图 ∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴活动中心P应在斜边AB的中点． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 6．如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质， 连接，根据勾股定理求出，，的长，进而根据勾股定理的逆定理判定为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：连接， 由图可知，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：A． 7．如图，单位长度为1的的正方形网格中，A、B、C、D四点都在小正方形的顶点上，连接，则所夹的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识.取格点F，连接，设相交于点P，证明是等腰直角三角形，则，由即可得到所夹的锐角度数. 【详解】解：如图，取格点F，连接，设相交于点P， 则，， ∴， ∴是直角三角形且， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即所夹的锐角度数为. 故选：B 8．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 【答案】A 【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状. 【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时， 由勾股定理可知42+52=41>36=62 可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形. 故应选A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势. 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 【答案】37 【分析】此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出的值是解题关键．直接根据题意分别得出由12生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案． 【详解】解：把由12生成的勾股数的“弦数”记为， ，，， 故． 故答案为：37． 10．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，  在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 11．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为 ． 【答案】25或16/16或25 【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解． 【详解】解：， ，解得：， ， ，， 解得，， ①当a，b为直角边， 该直角三角形的斜边长的平方为， ②4也可能为斜边， 该直角三角形的斜边长的平方为16， 故答案为：25或16． 【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键． 12．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点表示．若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，两点间的距离公式，求出点所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∵点表示 ∴点所表示的数为； 故答案为：． 13．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 【答案】5m 【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC=AC， 设BC=AC=xm， 则OC=（9-x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2， ∴32+（9-x）2=x2， 解得x=5． 故答案为：5m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 14．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，找出拖拉机会影响学校的路段的长度，再根据“时间路程速度”求解即可．熟练掌握勾股定理及题目情景是解本题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时， 又∵， ∴， ∴学校受影响的时间为秒． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是尺规作图-作垂线，勾股定理逆定理的运用，如果三角形的三条，，，满足．则三角形为直角三角形，先判定为直角三角形，根据作图得到，根据三角形面积公式计算得到答案． 【详解】解：，，， ， ，即， 为直角三角形，且， 由作图得到， ， ， ． 故答案为：． 16．已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是 ． 【答案】24cm2． 【分析】根据勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可. 【详解】∵62+82=102， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：6×8=24(cm2)． 故答案为：24cm2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握是解题的关键． 三、解答题（9小题，共60分） 17．如图，和都是等边三角形，点在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据题意，连接并延长，过点作，可证，可得，，根据勾股定理，进行等量代换计算即可求解． 【详解】解：连接并延长，过点作， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握等边三角形的性质，辅助线构造全等三角形，勾股定理的计算是解题的关键． 18．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 【答案】(1)股的算式为：；弦的算式为： (2)，，；证明见解析 (3)股表示为：；弦为： 【分析】本题主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1），；，； ，24，25的股的算式为：； 弦的算式为：； （2）当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； 故答案为：，，； （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； 为勾，股表示为：；弦为：． 19．在正方形中，点E，F分别在边上，且． (1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； (2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； (3)若．求线段的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）证得，进一步得，即可求证； （2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．由（1）知；根据题意可推出均为等腰直角三角形，结合即可求证； （3）根据为等腰直角三角形即可求解； （4）延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，可证；由题意得为等腰直角三角形，推出；证明四边形是矩形推出；根据，通过线段之间的等量关系可得出，即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ （3）解：由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴ （4）解：延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即 又∵， ∴ 即： ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的面积 【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握举一反三的数学思想，作出正确的辅助线是解题关键． 20．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离可能相等吗？若可能，请求出这个距离；若不可能，请说明理由． 【答案】当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离相等 【分析】本题是勾股定理的应用，求得的长，然后根据即可列方程求解，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在直角中，． 设梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离是，则，， 根据勾股定理得， 解得：（舍或． 答：当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离相等． 21．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 22．如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】(1)E站应建在离A点处 (2)2小时 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； （2）解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 23．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 24．如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形： (1)在图①中，以线段为边画正方形，该正方形的面积为______； (2)请在图②中画出一个直角三角形（顶点均在格点上），其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、无理数，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据正方形的判定画图即可；利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式计算即可． （2）借助网格，结合勾股定理、勾股定理的逆定理、无理数的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图①，正方形即为所求． 由勾股定理得，， 该正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：如图②，即为所求； 由题意知，，，， ∵， ∴为直角三角形． 25．在中，，，，， 求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先证明，再由勾股定理的逆定理得到，据此利用勾股定理得到，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$