第十二章 三角形（压轴专练）（六大题型60道）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第12章 三角形 （压轴专练）（六大题型60道） 目录 【类型1 折叠问题】 1 【类型2 最值问题】 4 【类型3 动点定值问题】 7 【类型4 动点存在性问题】 11 【类型5 全等证明含辅助线——倍长中线】 16 【类型6 全等证明含辅助线——截长补短】 19 【类型1 折叠问题】 1．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 4．如图，在中，，将沿折叠得到，点与点重合，连接，交于点，在线段上取一点，使得．连接，则点到的距离是（    ） A． B． C．8 D． 5．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 6．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（    ） A． B．10 C．11 D． 9．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 10．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 【类型2 最值问题】 11．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 12．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针转得到，连接．则在点运动过程中，的最小值是（   ） A．6 B．3 C．1.5 D．0.75 13．如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 14．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 15．如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 16．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．6 18．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 19．如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 20．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【类型3 动点定值问题】 21．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 22．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 23．如图，在中，，，D为边上一动点（点D不与B，C重合），过B作于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若D为边的中点，，求的面积． 24．在中，，，点O是的中点，点P是直线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点P的直线经过点A，过点C作于点E，过点B作于点F，连接．                【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）线段与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，通过分析发现的大小是一个定值，请直接写出的度数： （4）的延长线交直线于点G，若，，则的面积为__________． 25．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 26．如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 27．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 28．如图，在中，，，为射线上一动点，连接．    (1)当点是的中点时，求的面积； (2)过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 29．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 30．如图，是边长为12的等边三角形，点是边上一动点，由点向点运动（与、不重合），点是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于，连接交于点． （1）当时，求的长； （2）证明：在运动过程中，点是线段的中点； （3）点，点运动过程中线段的长是否为定值？如果线段的长为定值，求出线段的长；如果线段的长不为定值，请说明理由． 【类型4 动点存在性问题】 31．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为何值时，； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 32．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 33．如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 34．如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 35．如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值．   36．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度；点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度．它们同时出发，设出发的时间为秒．根据以上信息，解答下列问题． (1)求的长． (2)当为何值时，点在边的垂直平分线上． (3)当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 37．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 38．已知：，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． (1)如图1，若AB∥ON，则： ①的度数是_______________； ②如图2，当时，试求的值； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 39．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 40．在如图中，，，点D在上，点E在上． (1)如图①，若，，，求的长； (2)如图②，过B点作交的延长线于点F，过C点作于E，求证：； (3)如图③，若，点H在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，试问在点M、N运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由． 【类型5 全等证明含辅助线——倍长中线】 41．如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．    42．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 43．如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 44．已知，，，．直线过点，交、于点、． （1）若是中线，求证：； （2）若，求证：． 45．如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 46．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 47．如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 48．如图，在中，，是的中线，．    (1)若，，则的取值范围是______； (2)求证：； (3)求证：． 49．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点． （1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长． （2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED． 50．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【类型6 全等证明含辅助线——截长补短】 51．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 52．在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 53．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 54．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 55．我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 56．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°． （1）求证：AD为∠BDC的平分线； （2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______． 57．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 58．如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 59．如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 60．综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是______，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 三角形 （压轴专练）（六大题型60道） 目录 【类型1 折叠问题】 1 【类型2 最值问题】 14 【类型3 动点定值问题】 25 【类型4 动点存在性问题】 45 【类型5 全等证明含辅助线——倍长中线】 68 【类型6 全等证明含辅助线——截长补短】 87 【类型1 折叠问题】 1．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 3．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 4．如图，在中，，将沿折叠得到，点与点重合，连接，交于点，在线段上取一点，使得．连接，则点到的距离是（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】作于点，由，，得，由勾股定理得，由折叠得垂直平分，则，可求得，则，由，得，利用角平分的性质以及等积法，耙犁，，设点到的距离是，则，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，则， ，， ，， ， 将沿折叠得到，点与点重合， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即是的平分线， ∴， ∴， 设与交于点，作于点， ∴，设， ∵， ∴，解得，∴， ， 设点到的距离是，则， ， ， 点到的距离是， 故选：D． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠变换，三角形的面积，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 6．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于， 由翻折的性质可得：， 为等边三角形， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ，， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 7．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ． 【详解】解∶ 由折叠可知， ， 等腰Rt 中， ， ， 是 的中点， ， 在Rt 中， ， ， 设 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 在 Rt 中， ， 过点 作 于点 ， ， ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 在 Rt 中， ， ， ， ， 故选∶ C． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 8．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（    ） A． B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果． 【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G， ∵∠BAC＝120°， ∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°， ∴AG＝，DG＝， 设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE， 在Rt△DGE中，， 即， 解得：x＝， ∴S△ADE＝DG×AE＝＝， 过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， ∵， ∴AN＝AB＝6，BN＝ ， ∴BC＝， 设DF＝y， 则CF＝， DH＝，CH＝， 则有，即， 解得：， 则S△DFC＝， ∴S△DEF＝ ×（S△ABC－S△DEA－S△DFC） ＝ ＝ ＝ 故选A． 【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键． 9．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【答案】C 【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，如图所示：    ∵△AD'E≌△ADE， ∴∠AD'E=∠D=90°， ∵∠AD'B=90°， ∴∠AD'B+∠AD'E=180°， ∴B、D'、E三点共线， ∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD， ∴BE=AB=5， ∵BD'==4， ∴DE=D'E=5-4=1； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：    ∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°， ∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ， ∴△ABD″≌△BEC（ASA）， ∴BE=AB=5， ∵BD''==4， ∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9； 综上所知，DE的长为1或9， 故选C． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度． 10．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE， ∴△DHE≌△EGD， ∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x， ∵=， ∴， ∴， ∴， ∴BE=2EH=， 故选：C. 【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度. 【类型2 最值问题】 11．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，将求的最小值转化为求的长是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点是边的中点， ， ∴，解得， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为6． 故选：C． 12．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针转得到，连接．则在点运动过程中，的最小值是（   ） A．6 B．3 C．1.5 D．0.75 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，取的中点，连接，证明，进而得到，得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵边长为6的等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形的对称轴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针转得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是对称轴上的一个动点， ∴当时，最小，此时， ∴， ∴最小为， ∴最小为； 故选C． 13．如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当点A、P、F三点共线时，周长最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点P， ∵， ∴， 当点A、P、F三点共线时，周长最小， ∵F为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10， 故选：B．    14．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 15．如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 16．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一．连接，过点作，中垂线的性质，得到，得到，再根据垂线段最短，得到重合时，的值最小，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点作， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵垂线段最短， ∴当与点重合时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值为8，即：的最小值为8； 故选C． 17．如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，得到，，根据三角形的面积求出的长，根据周长，以及，求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为13； 故选A． 18．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短和利用面积法求线段长是解题的关键． 过C作于F，交于E，此时，值最小，最小值等于，利用面积法求出长即可求解． 【详解】解：过C作于F，交于E，    则的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为：4.8， 故选：B． 19．如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设的中点为，连接，过点作于，证和全等得，因此当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得，故点与点重合时，为最小，最小值为的长，然后在中求出的长即可． 【详解】解：设的中点为，连接，过点作于，如下图所示： 和都是等腰三角形，且， ，，， ， 点是的中点，点是的中点，， ， 在和中， ， ， ， 当为最小时，为最小， 点为的中点，，点在直线上运动， 根据“垂线段最短”得：， 当点与点重合时，为最小，最小值为的长， 在中，，， ， 在中，，， ， 的最小值为， 即的最小值为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形． 20．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图，在的下方作等边，作射线． ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在射线上运动点是定点，是定值， 当时，的值最小，最小值， 故选：B． 【类型3 动点定值问题】 21．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 【答案】(1) (2)①②的值是定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理： （1）设，则，，，根据得，由此得，据此可得的度数； （2）①设，则，，由（1）可知，则，由三角形内角和定理得，，进而得，则，再根据可得出∠D的度数； ②设，则，，，，由（1）可知，则，由三角形的外角定理得：，，据此可得的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 设， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵是的平分线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； ②为定值， 设， ∵是的平分线，平分， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， 由三角形的外角定理得：，， ∴， ∴． 22．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长是定值，为16，图见解析，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）过点C作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解； （3）当点D在线段的延长线（或反向延长线）上时，同（1）得，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 和都是等边三角形． ， ，即， ， ， （2）解：如图2，过点作于点， ， 是等边三角形，是高线， ， ∵， ∴对应边上的高相等， ， ， ， ； （3）解：的长为定值16，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图3所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等， ， ， ， ，即的长是定值； 当点在线段的反向延长线上时，如图4所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等． ． ， ，即的长是定值； 综上所述，的长是定值16． 23．如图，在中，，，D为边上一动点（点D不与B，C重合），过B作于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若D为边的中点，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，，由得到，再证明，又由，即可证明； （2）过点C作交于点G，证明，则，得到是等腰直角三角形，则，再利用外角的性质和等量代换即可得到； （3）过点C作于点H，证明是等腰直角三角形，得到，由全等三角形的性质得到，由D为边的中点得到，勾股定理求出，等积法求出，勾股定理得到，则，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵过B作于点E，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴； （2）过点C作交于点G， ∴， ∴， ∵，即，， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ （3）过点C作于点H， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 24．在中，，，点O是的中点，点P是直线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点P的直线经过点A，过点C作于点E，过点B作于点F，连接．                【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）线段与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，通过分析发现的大小是一个定值，请直接写出的度数： （4）的延长线交直线于点G，若，，则的面积为__________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）9或25 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）结论：，证明，推出，利用全等三角形的性质证明即可； （3）结论．证明是等腰直角三角形，可得结论； （4）分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由：，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：①同（1）可证，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， ； ②当P点在线段上运动时，延长交于点G． ∵由（1）知，， ∴，， ∴ 由（2）知， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 当P点在线段的延长线上运动时，延长交于点G． 同理可得，， 则的面积为9或25． 25．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①见解析；②是定值， 【分析】（1）①利用三角形内角和定理即可解答；②分别以点为圆心，小于的长为半径画弧与点，连接，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，即作，连接，点E即为所求； （2）①利用三角形内角和定理及邻补角的定义结合角平分线的定义即可证明；②如图，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，，由折叠的性质得到，即可求出，由①得，即可得出结论． 【详解】（1）①解： ，， ， ，， ； ②解：如图，作，点E即为所求， 由①可得， ， ， ， ， 与β互补； （2）①证明：如图3， 根据题意得：平分，平分， ， ， ， ， ， ； ②是定值， 如图， ，， 由折叠的性质得到， ，即， ， 由①得． 【点睛】本题考查尺规作图-作角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 26．如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是， (3)是， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据题意得到，再由等边三角形的性质得到，，据此可利用证明； （2）根据全等三角形的性质，则由三角形外角的性质可得； （3）先证明，再由等边三角形的性质推出，，进而证明得到，则． 【详解】（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形 ，， 在和中， ； （2）解：，是定值，理由如下： ， ； （3）解：，是定值，理由如下： 点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ． 27．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴（四边形内角和可以看做两个三角形内角度数之和）， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是180°． 28．如图，在中，，，为射线上一动点，连接．    (1)当点是的中点时，求的面积； (2)过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 【答案】(1)16； (2)①的面积的值是为定值：；②见解析． 【分析】（1）由中点定义求得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①过点作于点，证得，即可求解；②过点作，交的延长线于点，先证，得，再证得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵在中，，，是的中点时， ∴ ， ∴； （2）解：①如图，过点作于点，    ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交的延长线于点，    同①的理由可证明， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，直角三角形的两锐角互余，与高有关的面积计算，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 29．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值， 【分析】（1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】证明：（1）∵为的中点， ∴． 又∵，， ∴ ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 30．如图，是边长为12的等边三角形，点是边上一动点，由点向点运动（与、不重合），点是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于，连接交于点． （1）当时，求的长； （2）证明：在运动过程中，点是线段的中点； （3）点，点运动过程中线段的长是否为定值？如果线段的长为定值，求出线段的长；如果线段的长不为定值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）线段的长为定值， 【分析】（1）设，则，先根据等边三角形的性质和可得，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）如图（见解析），过点作，交于点，先根据平行线的性质得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （3）先根据题（2）可知，再根据线段的和差、即可得出答案． 【详解】（1）设，则 ∵是等边三角形 ∴ ∵， ∴ 则在中， 即 解得 故AM的长为4； （2）如图，过点作，交于点 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 即在运动过程中，点是线段的中点； （3）线段的长为定值．求解过程如下： 由（2）知，是等边三角形 ∵ ∴ 由（2）的结论可知： ∴ 又∵ ∴ 故线段的长为定值6． 【类型4 动点存在性问题】 31．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为何值时，； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，； (3)或时，与全等． 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，利用方程的思想解题是关键： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论：①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，，分别列方程求解即可； （3）分两种情形求解：①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，，如图， ∵， ∴， 解得， ②当点Q在射线上时，，如图， ∵， ∴， 解得， 综上可知，当或时，； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 32．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，的最小值是 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出 【详解】（1）解：若， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线交与点N， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图：连接， ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②过点作于点，交于点， 垂直平分 最小 的面积是． 的最小值是 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键． 33．如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）作的平分线，交于Q，证明，可得，，证明，可得，同理可得，，再证明，即可得到结论； （3）在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接，依次证明，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作的平分线，交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴； （3）证明：如图2， 在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 34．如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，含直角三角形的性质； （1）根据点Q的速度可得，进而可得答案； （2）分和两种情况，分别根据含直角三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵． ∴， 故答案为：； （2）解：①若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当或时，是直角三角形． 35．如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，，    由（1）可知，， ， 在线段上， ， 解得：； ②， ， 、当点在线段延长线上时，如图3，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 36．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度；点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度．它们同时出发，设出发的时间为秒．根据以上信息，解答下列问题． (1)求的长． (2)当为何值时，点在边的垂直平分线上． (3)当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．当为秒或秒或秒时，为等腰三角形 【分析】本题考查的是中垂线的性质、勾股定理的运用、三角形面积公式的运用及等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）由勾股定理即可求解； （2）点在边的垂直平分线上，则，，在中，由即可求解； （3）分、、，利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，， ． 答：． （2）解：∵点在边的垂直平分线上， ，， 在中，，即， 解得． （3） 解：存在．当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 分三种情况进行讨论： ①如图1，当时，则． ， ，， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，，； ③如图3，当时，过点B作于点E， ， ， ， ， ， ． 综上所述，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 37．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 38．已知：，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． (1)如图1，若AB∥ON，则： ①的度数是_______________； ②如图2，当时，试求的值； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①40°；②60° (2)存在，的值为10°或40°或25° 【分析】（1）①根据平分，可得∠BON=∠AOB=40°，再由AB∥ON，即可求解；②由①得：，再由AB∥ON，可得∠BAO=100°，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO=50°，然后分两种情况讨论：当点D在线段OB上时，若∠ADB=∠ABD=50°；若∠BAD=∠ABD=50°；若∠BAD=∠ADB；当点D在射线OE上时，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴∠BON=∠AOB=40°， ∵AB∥ON， ∴∠ABO=∠BON=40°； 故答案为：40° ②由①得：， ∵AB∥ON， ∴∠BAO+∠MON=180°， ∵， ∴∠BAO=100°， ∴∠OAC=∠BAO-∠BAD=60°，即 （2）解：存在， ∵∠AOB=40°，∠BAO=90°， ∴∠ABO=50°， 当点D在线段OB上时，如图， 若∠ADB=∠ABD=50°， ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=80° ∴∠OAC=90°-80°=10°，即； 若∠BAD=∠ABD=50°， ∴∠OAC=90°-50°=40°，即； 若∠BAD=∠ADB， ∴， ∴∠OAC=90°-65°=25°，即； 当点D在射线OE上时，∠ABD=180°-∠ABO=130°， ∴只有∠ADB=∠BAD， ∵∠ABO=∠ADB+∠BAD， ∴∠BAD=25°， ∴∠DAO=115°， ∵∠MON=80°， ∴此时AD与ON不相交，故不符合题意，舍去； 综上所述，的值为10°或40°或25°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和三角形的外角性质的应用，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 39．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质； （1）根据三角形的面积公式，直接求的面积； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可求：，即，且，即可证，可得； （3）根据的面积是的面积的两倍，列出方程可求的值． 【详解】（1）解：， ； （2）证明：如图：连接， ，是中点， 平分， 又， ， ， 依题意得：， 在与中， ， ， ； （3）解：如图：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 解得：或 综上所述：当或． 40．在如图中，，，点D在上，点E在上． (1)如图①，若，，，求的长； (2)如图②，过B点作交的延长线于点F，过C点作于E，求证：； (3)如图③，若，点H在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，试问在点M、N运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值为3 【分析】对于（1），先作，交的延长线于点P，连接，再根据证明，可知，然后根据含直角三角形的性质得出答案； 对于（2），在上取点G，连接，，使，再根据证明，可得是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案； 对于（3），作点E关于直线的对称点，作点H作直线的对称点，可知，当四点、M、N、共线时，此时的最小值为，可确定点M、N，然后判断为等边三角形，即可得出答案． 【详解】（1）过点C作，交的延长线于点P，连接， ∵， ∴，则， ∴，由题意和辅助线得和都是的余角， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴在直角中，，， ∴； （2）在上取点G，连接，，使． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，，由， ∴， 即是等腰直角三角形， 由， ∴点E是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）存在最小值为3． 作点E关于直线的对称点， 作点H作直线的对称点，则， 当四点、M、N、共线时，此时的最小值为， 连接，分别与、于交点即是所找的点M、N， 可知，， ∴，， ∴为等边三角形， 所以． ∴的最小值为3. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，轴对称的应用等，构造辅助线是解题的关键． 【类型5 全等证明含辅助线——倍长中线】 41．如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．    【答案】见解析 【详解】解析：过点B作交CE的延长线于点F，由点E为AB中点，得到，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到与全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，即，再由，根据点B为AD中点，得到，利用外角性质及等量代换得到，利用SAS得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证． 答案：证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F．    ∵CE是的中线，， ∴，，， 在和中， ∵ ∴（AAS）， ∴，， ∴， 又∵，CB是的中线， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴（SAS）， ∴． 易错：证明：在和中， ∴（ASA）． 错因：写错证明方法． 满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题． 42．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，即可证明； （2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形． （2）证明：延长至E，使， P为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又 ， ， ，， ， 在和中， ， ， 又 ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 43．如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 44．已知，，，．直线过点，交、于点、． （1）若是中线，求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论. （2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到． 【详解】解：（1）如图，延长至，使， ∵是中线，∴． 在和中，， ∴≌（SAS）．∴，． ∵，∴． ∵，，∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴≌（SAS）．∴． ∵，∴．∴． 在中，，∴． （2）如图，过点作交的延长线于，则， ∵，∴． ∵，∴．∴． ∵，，∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴≌（AAS）．∴． ∵，∴． 在和中，， ∴≌（AAS）．∴． 【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形； 第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法. 45．如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键． （1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论； （2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长至E，使，连接 ∵点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 47．如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）利用可得； （）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可； （）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到， 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：，理由如下： 延长到点，使，连接，如图 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图， 由（）得，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 48．如图，在中，，是的中线，．    (1)若，，则的取值范围是______； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）延长至点，构造全等三角形，然后用三角形三边关系即可求解； （2）根据全等三角形的性质，证明角度相等即可； （3）根据全等三角形的性质，再通过角度和差即可证明． 【详解】（1）解：延长至点，使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， （2）由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， （3）由(1)(2)得：，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 49．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点． （1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长． （2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED． 【答案】（1）；（2）见详解； 【分析】（1）利用等腰直角三角形DEC，求解CD，然后勾股定理求解AD，最后直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可； （2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M；利用△AFN≌△DEF，可求DM∥AN；进而可得∠OMB=∠BAN，∠OMB=∠OCD；可得△BAN≌△BCD，可知NB=BD，再证明△BEN≌△BED，可得DE=EN=2EF；故； 【详解】（1）由题可知：在等腰Rt△DEC中，∠CDE=90°，DE=DC，CE=； ∴ ED=CD=2；又AB=BC=3；∴ BD=1； 在Rt△ABD中，； 又点F是线段AD的中点， ∴； （2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M； 在△AFN和△DEF中， AF=DF；∠AFN=∠DFE；FN=EF； ∴△AFN≌△DEF ∴ AN=DE=CD，∠FAN=∠FDE ∴ DM∥AN ∴∠OMB=∠BAN；又∠MOB+∠OMB=90°；∠DOC+∠OCD=90°； ∠MOB=∠DOC； ∴ ∠BAN=∠BCD； 在△BAN和△BCD中， AB=BC；∠BAN=∠BCD；AN=CD； ∴△BAN≌△BCD ∴ ∠ABN=∠CBD；BN=BD； ∴∠DBN=∠CBA=90°； 又∠DBE=45° ∴ ∠EBN=∠EBD；又BE=BE； BN=BD； ∴△BEN≌△BED ∴DE=EN=2EF； ∴ ． 【点睛】本题考查三角形综合问题，全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；难点在于辅助线的添加和三角形全等的构造． 50．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【类型6 全等证明含辅助线——截长补短】 51．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 53．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． 54．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长，相交于点M，分别证明和即可得解． 【详解】证明：延长，相交于点M， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 55．我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）． 【分析】（1）在上取一点使，连接，证明，得到 ，，根据可证得，则有，可证得； （2）在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可； （3）延长到，使，连接，根据 分别证明， 可以证得 ； （4）作于，在上截取，用证明，，得到，再根据可以证明，得到，进而可以得到． 【详解】解：（1）如图1，在上取一点使，连接， ∵为的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （2）如图2示，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，又， ， 而， ， ， ， ； （3）如图3示，延长到，使，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）如图4示，作于，在上截取， ，， ， ， 点是外角平分线上一点，， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 56．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°． （1）求证：AD为∠BDC的平分线； （2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______． 【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC. 【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论； （2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系. 【详解】证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F， ∵AG⊥BD，AF⊥DC， ∴∠AGD=∠F=90°， ∴∠GAF+∠BDC=180°， ∵∠BAC+∠BDC=180°， ∴∠GAF=∠BAC， ∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC， ∴∠BAG=∠CAF， 在△BAG和△CAF中 ∴△BAG≌△CAF（AAS）， ∴AG=AF， ∴∠BDA=∠CDA， （2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下： 如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE=∠BAE+∠CAD， ∵∠CAH=∠BAE， ∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH， 在△EAD和△HAD中 ， ∴△EAD≌△HAD（ASA）， ∴DE=DH，AE=AH， 在△EAB和△HAC中 ， ∴△EAB≌△HAC（SAS）， ∴BE=CH， ∴DE=DH=DC+CH=DC+BE， ∴DE=DC+BE. 故答案是：DE=DC+BE. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口． 57．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 58．如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)13 【分析】（1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 59．如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】．理由见解答过程 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先作，连接，即可证明，进而说明，可得，再结合，可得答案． 【详解】证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵， ． ∵， ∴， ，． ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 60．综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是______，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质． （1）证明，得到，根据，即可得出结论； （2）延长至G，使，连接，推出垂直平分，得到，，证明，得到，根据，即可得出结论． 掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形，是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵． ∴； （2）如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$