第十一章 实数和二次根式（压轴专练）（六大题型50道）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第十一章 实数和二次根式 （压轴专练）（六大题型50道） 目录 【类型1 二次根式找规律】 1 【类型2 二次根式综合判断】 7 【类型3 复合二次根式化简】 14 【类型4 整数部分与小数部分】 19 【类型5 利用“有理化因式”计算】 23 【类型6 二次根式与不等式综合】 37 【类型1 二次根式找规律】 1．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 2．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 3．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 4．观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2021个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给出的数列可以看出第奇数个数为正，第偶数个数为负，第n个数的绝对值是，即可确定第n个数为，据此即可求得． 【详解】解：观察这列数：， ， ， ， ， ……， 根据规律可知，第n个数为， ∴第2021个数是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳总结出数字的变化规律是解题的关键． 5．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】首先根据题意，得出一般规律，代入数字相加即可得解． 【详解】解：第个等式：，     第个等式：， 第个等式：，     第个等式：， …… 第n个等式：， ∴ = ，故C正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案． 6．观察下列式子： ①；②；③；④；…． 请你按照规律写出第n（）个式子是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可． 【详解】解：由规律可得，第n个式子为： ． 故选项A、B、D错误，选项C正确 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律． 7．观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知得出数字变化规律，进而化简得出答案． 【详解】解：原式 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律以及二次根式运算，正确得出数字变化规律是解题关键． 8．观察下列各式：，……，，……请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先进行分母有理化，然后进行二次根式的加减法得出结果． 【详解】解：∵ ， ， …… ， ∴原式= = ， 故选择A． 【点睛】本题考查找规律——式子的变换，解决问题的关键是找到原式分母有理化后的变化规律． 9．观察下列各式规律：①；②；③；…；若， 则m＋n的值为（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】先找出分母与分子的关系，从而得到一般规律是，然后由列出代数式即可解得． 【详解】解：∵；；； ． 当时，，即． ∴， 故： 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键． 10．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解． 【详解】； ； ； ， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质（等）． 【类型2 二次根式综合判断】 11．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对各个项利用有理化因式进行变形计算后即可判断，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【详解】解：① ，故错误； ②设有理数，满足：， ， ， ，故错误； ③ ， ， ， ，故正确； ④ ， 而， ，故错误； ⑤， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的为③⑤，为2个， 故选：B． 12．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③． 【详解】解：由题意得：， ∵，是的小数部分， ∴，则，故①正确； ∵， ∴， 即 ∴，即， ∵b、c为有理数 ∴，解得， ∴，故②正确； ∵ ， ∴ ，故③正确， 故正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键． 13．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时， 故该选项①正确； ②， 当，则 当则． 故选项②正确； ③， 当时， ，所以不存在， 故该选项③正确； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故该选项④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 14．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④ ；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为； ，它的整数部分为4，小数部分为； ，它的整数部分为5，小数部分为； ，它的整数部分为7，小数部分为； ，它的整数部分为8，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为； n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为； ∴①，正确； ②的小数部分为，错误； ③，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键． 15．二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值． 【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①对； ∵a是 的小数部分， ∴， ∴， 故②错误； ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③对； ∵ ， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得. 故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化,解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题． 【类型3 复合二次根式化简】 16．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 17．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 18．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 19．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 20．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 21．化简 ． 【答案】 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 22．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 【答案】﹣． 【分析】将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握． 23．代数式的值是 . 【答案】． 【分析】首先把原式平方，计算出结果，再进一步开方得出答案即可. 【详解】设， 则x2= = =16+2 =18， ∵x>0， ∴x=. 故答案为． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，根据式子的特点，灵活变形，运用适当的方法解决问题. 24． . 【答案】1． 【分析】根据完全平方公式的结构，把每个被开方数化成完全平方的形式，即可化简求值. 【详解】原式 =， . 故答案为1 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是关键. 25．已知均为有理数，且满足，则 . 【答案】0． 【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质把化为，然后根据有理数和无理数的计算得到x=1，y=2，代入求值即可. 【详解】∵ ∴， ∵x，y均为有理数， ∴x=1，y=2， ∴ . 故答案为0. 【类型4 整数部分与小数部分】 26．如果与的小数部分分别为a，b，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．先估算，进而求得、的值，再代值计算便可． 【详解】解：， ，， 和小数部分分别为，， ，， ， 故答案为：1． 27．的小数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算以及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用，得到和，从而推出，即可得到答案． 【详解】解： 的整数部分为2 的小数部分为 的整数部分为8 的小数部分为 故答案为：1． 28．已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算，找出整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． 【详解】， ， 整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． ，， ， 故答案为：1． 29．的整数部分为 ，小数部分为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解： ， ， 的整数部分为：， 小数部分为， 故答案为：， 30．的整数部分为a，的小数部分为b，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而得出，再估算出，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为a， ∴， ∵， ∴，即， ∵的小数部分为b， ∴， ∴， 故答案为：． 31．已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴则的整数部分和小数部分分别是， 即， ∴， 故答案为：． 32．已知，a是的整数部分．b是的小数部分，则：的值是 【答案】2 【分析】本题考查的是实数的混合运算和无理数整数部分的运算，正确得出a、b的值是解题的关键． 先根据题意得出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵是的整数部分，是的小数部分， ， ， ， 故答案为：2． 33．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据可得的小数部分，进而得出的小数部分与的小数部分相同，然后确定与的小数部分相同，可得a，b，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴， ∴ ． 故答案为：5． 34．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 35．已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出、的值，再计算的值，最后求出平方根即可．本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 即， ， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即， ， 的平方根是， 的平方根是， 故答案为：． 【类型5 利用“有理化因式”计算】 36．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式 例如：，， 我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可） (2)将分母有理化； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，明确分母有理化的方法，找出相应的有理化因式是解题的关键． （1）根据材料一即可得到答案； （2）根据题意分子分母同时乘以计算即可； （3）分别将每一项进行分母有理化，即可发现规律计算得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 即的有理化因式为，的有理化因式为． 故答案为：，． （2）解： （3）解： 37．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______； (2)计算： ； (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）分母有理化求得，，，得到，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：；理由如下； ∵，，， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 38．【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法运算，分母有理化，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法． （1）利用分母有理化的方法进行运算即可； （2）利用分母有理化的方法进行运算即可； （3）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 39．阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质． （1）根据互为有理化因式的定义和示例直接得出答案； （2）利用平方差公式对分母进行分母有理化，即可解答； （3）利用平方差公式对分母进行分母有理化，再合并计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故填：，； （2） （3） 40．阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： (1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； (2)通过化简，比较和的大小关系； (3)已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键． （1）阅读材料可直接得出结果； （2）先把分母有理化，然后比较大小即可； （3）①将已知两等式相乘可得出关于a的方程，然后解方程即可； ②两等式相加可得出，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， 又， 两等式相加，得， ∴， 解得． 41．阅读理解题： 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：①______，②______； (2)计算：； (3)已知，，试比较，，的大小． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法． （1）利用分母有理化的方法进行运算即可； （2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解； （3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解． 【详解】（1）解：①； ②， （2） ； （3）， 同理：， ， ∵， ∴． 42．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算： ___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、无理数的大小比较， （1）①根据平方差公式，分子分母同乘以； ②根据平方差公式，分子分母同乘以； （2）根据平方差公式，分子分母同乘以； （3）根据分母有理化将化简，再与相乘即可； （4）根据分母有理化将，分别转化为，，再进行比较即可； 掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4）∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 43．阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先求得a值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 44．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，=，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)7． 【分析】（1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据有理化因式的定义即可解决问题． （3）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题． （4）根据题干所给示例进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，， 显然， 又∵和都是正数， ∴ 故答案为：． （4）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 45．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可 (2)将下列各式分母有理化要求写出变形过程： ①； ②． (3)请计算下列式子要求写出计算过程． 计算：的结果． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可； 分子、分母分别乘以即可； 分子、分母分别乘以即可； 根据分母有理化的方法将原式化为，再进行计算即可． 本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，二次根式混合运算的方法以及分母有理化因式的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：， 的有理化因式可以为， ， 的有理化因式可以为， 故答案为：，； （2）①原式 ； 原式 ； （3）， ， 同理，， 原式 ． 【类型6 二次根式与不等式综合】 46．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 47．阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 48．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴ ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴ ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 49．请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小． 解： ， 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1)填空：______（填“”或“=”或“”）； (2)若，试比较与的大小（写出相应的解答过程）； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时， 当时， 当时， 【分析】（1）根据阅读学习的基本方法，作差计算解答即可． （2）根据阅读学习的基本方法，作差计算解答即可． （3）根据阅读学习的基本方法，分类，作差计算解答即可． 本题考查了不等式的应用，数的大小比较，熟练掌握大小比较的基本原则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ 故． （3）解：∵ ， 当时，，此时 当时，，此时 当时，，此时． 50．阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）根据二次根式成立的条件求解即可； （2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可； （3）利用②中的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 实数和二次根式 （压轴专练）（六大题型50道） 目录 【类型1 二次根式找规律】 1 【类型2 二次根式综合判断】 2 【类型3 复合二次根式化简】 4 【类型4 整数部分与小数部分】 5 【类型5 利用“有理化因式”计算】 5 【类型6 二次根式与不等式综合】 9 【类型1 二次根式找规律】 1．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 3．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 4．观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2021个数是（ ） A． B． C． D． 5．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 6．观察下列式子： ①；②；③；④；…． 请你按照规律写出第n（）个式子是(   ) A． B． C． D． 7．观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(   ) A． B． C． D． 8．观察下列各式：，……，，……请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 9．观察下列各式规律：①；②；③；…；若， 则m＋n的值为（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 10．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（    ） A． B． C． D． 【类型2 二次根式综合判断】 11．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 13．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④ ；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤ 【类型3 复合二次根式化简】 16．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 17．计算的结果是 ． 18．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 19．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 20．化简的结果为 ． 21．化简 ． 22．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 23．代数式的值是 . 24． . 25．已知均为有理数，且满足，则 . 【类型4 整数部分与小数部分】 26．如果与的小数部分分别为a，b，那么的值为 ． 27．的小数部分是，小数部分是，则 ． 28．已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 29．的整数部分为 ，小数部分为 ． 30．的整数部分为a，的小数部分为b，那么 ． 31．已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 32．已知，a是的整数部分．b是的小数部分，则：的值是 33．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 34．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 35．已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【类型5 利用“有理化因式”计算】 36．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式 例如：，， 我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可） (2)将分母有理化； (3)计算：． 37．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______； (2)计算： ； (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 38．【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ； (2)计算：； (3)计算：． 39．阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 40．阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： (1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； (2)通过化简，比较和的大小关系； (3)已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 41．阅读理解题： 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：①______，②______； (2)计算：； (3)已知，，试比较，，的大小． 42．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算： ___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 43．阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 44．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，=，或中的一种）； (4)若，求的值． 45．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可 (2)将下列各式分母有理化要求写出变形过程： ①； ②． (3)请计算下列式子要求写出计算过程． 计算：的结果． 【类型6 二次根式与不等式综合】 46．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 47．阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 48．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 49．请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小． 解： ， 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1)填空：______（填“”或“=”或“”）； (2)若，试比较与的大小（写出相应的解答过程）； (3)比较与的大小． 50．阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$