专题05 二次根式的运算【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，北京版）

专题05 二次根式的运算【四大题型】 二次根式的性质与化简 1．（2023•海淀区校级期中）下列运算正确的是（　　） A．±2 B．（）2＝4 C．4 D．（）2＝﹣4 2．（2023•延庆区校级期中）若1＜x＜2，则的值为（　　） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．（2023•丰台区校级期中）若xy＜0，则化简后的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•昌平区校级期中）若3﹣x，则x的取值范围是　 　． 5．（2023•西城区校级期中）当a＜1且a≠0时，化简　 　． 6．（2023•延庆区校级期中）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2．那么12※4＝　 　． 7．（2023•朝阳区校级期中）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得m+n． 化简：． ∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2． ∴． 请你仿照上例将下列各式化简： （1）； （2）． 8．（2023•海淀区校级期中）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　 　； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　； （3）若8，求a的取值． 二次根式的混合运算 9．（2023•丰台区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B．33 C．2 D．2 10．（2023•昌平区校级期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2023•通州区校级期中）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2＝1，则2a+b＝　 　． 12．（2023•门头沟区校级期中）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n，计算（3※2）×（8※12）的结果为 　 　． 13．（2023•东城区校级期中）计算 （1）22； （2）（）2﹣（）（）． 14．（2023•朝阳区校级期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　（ 　 　+　 　 ）2； （3）若a+6（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值． 二次根式的化简求值 15．（2023•海淀区校级期中）若x＝﹣3，则等于（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 16．（2023•西城区校级期中）已知，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2023•海淀区校级期中）已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为　 　． 18．（2023•海淀区校级期中）已知x+y＝6，xy＝﹣3且x＞y，则　 　． 19．（2023•东城区校级期中）已知x1，求代数式x2+2x﹣3的值． 20．（2023•西城区校级期中）已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 二次根式的应用 21．（2023•西城区校级期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．88 B．812 C．4﹣2 D．82 22．（2023•西城区校级期中）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　 　． 23．（2023•顺义区校级期中）已知：线段a、b、c且满足|a|+（b﹣4）20．求： （1）a、b、c的值； （2）以线段a、b、c能否围成直角三角形． 24．（2023•西城区校级期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积． 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上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　3　； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　； （3）若8，求a的取值． 解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， ∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， ∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2或a＝6； 答案：（1）3；（2）3≤a≤7 二次根式的混合运算 9．（2023•丰台区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B．33 C．2 D．2 解：A、与不能合并，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式，所以C选项错误； D、原式2，所以D选项正确． 答案：D． 10．（2023•昌平区校级期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误； B、原式，所以B选项错误； C、原式＝9﹣12＝﹣3，所以C选项正确； D、原式＝2a+2b，所以D选项错误． 答案：C． 11．（2023•通州区校级期中）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2＝1，则2a+b＝　2.5　． 解：因为23，所以2＜53，故m＝2，n＝52＝3． 把m＝2，n＝3代入amn+bn2＝1得，2（3）a+（3）2b＝1 化简得（6a+16b）（2a+6b）＝1， 等式两边相对照，因为结果不含， 所以6a+16b＝1且2a+6b＝0，解得a＝1.5，b＝﹣0.5． 所以2a+b＝3﹣0.5＝2.5． 答案：2.5． 12．（2023•门头沟区校级期中）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n，计算（3※2）×（8※12）的结果为 　2　． 解：（3※2）×（8※12） ＝（）×（） ＝（）×2（） ＝2， 答案：2． 13．（2023•东城区校级期中）计算 （1）22； （2）（）2﹣（）（）． 解：（1）原式＝4 ； （2）原式＝2+23﹣（2﹣3） ＝2+23+1 ＝6+2． 14．（2023•朝阳区校级期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　7　+　4　（ 　2　+　1　 ）2； （3）若a+6（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值． 解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn； （2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4， ∴7+4（2）2， （3）a＝m2+3n2，2mn＝6， ∵a、m、n均为正整数， ∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3， 当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12， 当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28， ∴a的值为12或28． 答案：m2+3n2，2mn；7，4，2，1． 二次根式的化简求值 15．（2023•海淀区校级期中）若x＝﹣3，则等于（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 解：当x＝﹣3时，1+x＜0， |1﹣（﹣1﹣x）| ＝|2+x|＝﹣2﹣x＝1．故选B． 16．（2023•西城区校级期中）已知，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵a2，b2， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×（5﹣4）＝18， ∴5， 答案：C． 17．（2023•海淀区校级期中）已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为　2　． 解：∵x1， ∴x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2 ＝（1﹣1）2 ＝（）2 ＝2， 答案：2． 18．（2023•海淀区校级期中）已知x+y＝6，xy＝﹣3且x＞y，则　4　． 解：∵x+y＝6，xy＝﹣3，x＞y， ∴x＞0，y＜0， ∴x﹣y4， ＝4， 答案：4． 19．（2023•东城区校级期中）已知x1，求代数式x2+2x﹣3的值． 解：∵x1， ∴x2+2x﹣3 ＝（x+1）2﹣4 ＝（1+1）2﹣4 ＝（）2﹣4 ＝3﹣4 ＝﹣1． 20．（2023•西城区校级期中）已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 解：xy2﹣x2y ＝xy（y﹣x）， ∵，， ∴， 解得， 当x，y时，原式（）×（）＝23． 二次根式的应用 21．（2023•西城区校级期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．88 B．812 C．4﹣2 D．82 解：∵在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片， ∴两正方形的边长分别为：2和4， 则AB＝4+2，AD＝4， 故图中空白部分的面积为：4（4+2）﹣8﹣16＝88． 答案：A． 22．（2023•西城区校级期中）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　　． 解：∵， 三边长为：，，， ∴S， 答案：． 23．（2023•顺义区校级期中）已知：线段a、b、c且满足|a|+（b﹣4）20．求： （1）a、b、c的值； （2）以线段a、b、c能否围成直角三角形． 解：（1）∵|a|+（b﹣4）20， ∴a0，b﹣40，c0， 即a＝3，b＝4，c＝5； （2）∵a2+b2＝（3）2+（4）2＝50， c2＝（5）2＝50， ∴a2+b2＝c2， ∴线段a、b、c能围成直角三角形． 24．（2023•西城区校级期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积． 解：∵大正方形面积为48cm2， ∴边长为4cm， ∵小正方形面积为3cm2， ∴边长为cm， ∴长方体盒子的体积＝（42）2•12cm3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$