第十一章 实数和二次根式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第11章 实数和二次根式 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．7的平方根是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：7的平方根是， 故选：D． 2．能够使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 3．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则计算出结果即可判断． 【详解】解：A、3与不是同类项，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 5．若等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式乘法法则的逆运算，熟练掌握二次根式乘法法则及其逆运算满足的前提条件：是解题的关键．利用二次根式乘法法则逆运算成立的条件计算即可． 【详解】解：由题意，可得：， 解得：， 故选：A． 6．估计的运算结果应在（    ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算计算，最后再估算即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴，即在8到9之间， 故选：C． 7．已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 则， ， ， ， 故选：B． 8．设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024． 故选：D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小估算和实数的大小比较，熟练掌握无理数的大小估算的方法是解题的关键．先判断得出；再判断得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 10．计算: 的结果是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 11．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案，掌握二次根式的运算性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：， ∴， 故答案为：． 12．若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念， 根据平方根的概念分得 和互为相反数，据此即可列出方程求得的值，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的平方根为和， ∴和互为相反数， 即，解得， 则这个数是； 故答案为：． 13．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，有理数的乘方，代数式求值等知识．确定的值是解题的关键． 由题意得，，，可求，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用以及平方差公式、二次根式的混合运算，灵活逆用积的乘方，是快速解答本题的关键．逆用积的乘方，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 15．若的整数部分是，小数部分是，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键． 先估算出的范围，然后求得、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：． 16．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式，算术平方根，不等式等知识．熟练掌握两个式子相等，对应部分相等，是解决问题的关键． 先去括号，根据含部分对应相等，得到，根据剩余部分对应相等，得到，即得． 【详解】∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴符合， ∴ 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．利用平方根的定义解方程: 【答案】 【分析】根据平方根的性质即可求解． 【详解】解： 或． 【点睛】此题主要考查平方根的应用，解题的关键是熟知平方根的定义． 18．计算 【答案】 【分析】先计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、算术平方根、绝对值、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式去括号求解即可． 【详解】解： ． 20．下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： (1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)、 (2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； (3)乘法分配律 (4)见解析 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可； （4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 、是最简二次根式， 故答案为：、 （2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； 故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； （3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （4）解： ． 21．先化简，再求值，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内化简，再合并同类二次根式，最后再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当 ， 时， 原式 ． 22．对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：．     经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 23．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 24．（1）若a、b为实数，且，，比较与的大小． （2）在一般情况下，若a、b为实数，且，猜想与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得出，求出，然后求出，，再比较大小即可； （2）先求出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】解：（1）由条件，得，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入条件式，得， ∴，， ∵， ∴； （2）当，时，， 证明： ∵，， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 25．为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为，另一张面积为，他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(，结果保留整数) 【答案】还需买的金色彩带． 【分析】先计算出两个正方形的边，再得到两个正方形的周长，然后与进行大小比较即可． 【详解】解：画所用的金色彩带的长为：， 因为， 所以小号的金色彩带不够用，即还需买的金色彩带． 【点睛】本题考查了二次根式的应用：在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 26．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 27．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 28．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 实数和二次根式 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．7的平方根是（    ） A． B．7 C． D． 2．能够使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．若等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．估计的运算结果应在（    ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 7．已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 8．设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．比较大小： ． 10．计算: 的结果是 . 11．化简： ． 12．若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 13．已知，则的值是 ． 14．计算： ． 15．若的整数部分是，小数部分是，则代数式 ． 16．，则 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．利用平方根的定义解方程: 18．计算 19．计算： 20．下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： (1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 21．先化简，再求值，其中 ，． 22．对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 23．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 24．（1）若a、b为实数，且，，比较与的大小． （2）在一般情况下，若a、b为实数，且，猜想与的大小关系，并证明你的结论． 25．为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为，另一张面积为，他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(，结果保留整数) 26．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 27．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 28．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$