第十一章 实数和二次根式 知识归纳与题型突破（12类题型60道） -2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第11章 实数和二次根式 知识归纳与题型突破（12类题型60道） 01 思维导图 02 知识速记 一 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 二 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 三 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 3.立方根的性质 四 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 五 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 六 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 七 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 03 题型归纳 题型一　利用平方根求值 例题 1．和是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为（   ） A．4 B．64 C．4或8 D．4或64 巩固训练 2．一个数的平方根是它本身，这个数是（   ） A．0 B．0和1 C． D．和0 3．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 4．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 5．若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 题型二　估值确定取值范围 例题 6．估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 巩固训练 7．估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 8．若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 9．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 10．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型三　实数相关概念 例题 11．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．带根号的数都是无理数 C．数轴上的点表示的数不一定是实数 D．一个无理数与有理数的和还是无理数 巩固训练 12．下列说法中，正确的是（   ） A．带根号的数一定是无理数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．一个正数有两个平方根且互为相反数 D．数轴上的点表示的都是有理数 13．下列说法正确的是（   ） A．有理数和数轴上的点一一对应 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 14．下列说法中不正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B．整数可以看成是分母为1的分数 C．有理数都可以化为分数 D．无限小数是无理数 15．有下列说法： 负数没有立方根： 不带根号的数一定是有理数： 无理数包括正无理数，，负无理数： 实数与数轴上的点是一一对应的． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型四　实数与数轴 例题 16．如图，实数在数轴上对应的点可能是（        ） A．点 B．点 C．点 D．点 巩固训练 17．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为（   ） A． B． C． D．或 18．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 19．如图所示，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示的点P应在（  ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 20．如图，数轴上四个点中，与表示数的点最接近的点是（    ） A．点A B．点 C．点 D．点D 题型五　二次根式定义 例题 21．下列式子不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 22．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 23．下列各式中为二次根式的是（    ） A． B． C． D． 24．下列式子一定是二次根式的（    ） A． B． C． D． 25．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C．1 D． 题型六　平方根算术平方根立方根综合 例题 26．若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 巩固训练 27．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 28．已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 29．已知的平方根是的立方根是，则 ． 30．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 题型七　二次根式有意义的条件 例题 31．要使得式子 有意义，则a的取值范围是 ． 巩固训练 32．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 33．要使得有意义，则的取值应满足 ． 34．使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 35．若有意义，则的取值范围是 ． 题型八　二次根式比较大小 例题 36．比较大小： ．（填“”、“＝”、“”）． 巩固训练 37．比较大小： （填“”“”或“”）． 38．比较大小   （填“”“”或者“”） 39．比较大小： （填“”“”或“”）． 40．比较大小： （填“”、“”或“”）． 题型九　二次根式化简 例题 41．已知，，化简 ． 巩固训练 42．化简： ． 43．化简： ． 44．已知，化简： ． 45．化简： ． 题型十　分母有理化 例题 46．计算： ． 巩固训练 47．分母有理化： ． 48．分母有理化： ． 49．计算： ． 50．化简： ． 题型十一　二次根式混合运算 例题 51．计算：． 巩固训练 52．计算：． 53．计算： 54．计算：． 55．计算： 题型十二　二次根式化简求值 例题 56．已知：，，求的值． 巩固训练 57．化简：，并求出时式子的值． 58．已知，且x，y都是正数，求的值． 59．已知，求的值． 60．已知 ，且 为奇数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 实数和二次根式 知识归纳与题型突破（12类题型60道） 01 思维导图 02 知识速记 一 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 二 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 三 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 3.立方根的性质 四 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 五 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 六 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 七 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 03 题型归纳 题型一　利用平方根求值 例题 1．和是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为（   ） A．4 B．64 C．4或8 D．4或64 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的定义得出或，求出，进一步计算即可求出个正数． 【详解】解：∵与是一个正数的平方根， ∴或， 解得：或， ∴或8， ∴这个正数是4或64， 故选：D． 巩固训练 2．一个数的平方根是它本身，这个数是（   ） A．0 B．0和1 C． D．和0 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，0的平方根为0，负数没有平方根求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根是它本身， ∴这个数是0， 故选：A． 3．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 4．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 5．若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解平方根的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：∵与是同一个正数的平方根， 当， ， ， 这个正数为4， 当 ∴ ∴ ∴一个正数是 故选：B． 题型二　估值确定取值范围 例题 6．估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 巩固训练 7．估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了实数的估算能力，关键是先计算该算式得，再进行估算． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8．若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键． 先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即选项C符合题意． 故选C． 9．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得． 【详解】解：， ， 故选：C． 10．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算．估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 题型三　实数相关概念 例题 11．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．带根号的数都是无理数 C．数轴上的点表示的数不一定是实数 D．一个无理数与有理数的和还是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数和实数的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据无理数和实数的概念即性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 实数分为正实数、0和负实数，故原说法错误，不符合题意； B、如，故带根号的数不一定都是无理数，原说法错误，不符合题意； C、数轴上的点表示的数一定是实数，原说法错误，不符合题意； D、 一个无理数与有理数的和还是无理数，该说法正确，符合题意． 故选：D． 巩固训练 12．下列说法中，正确的是（   ） A．带根号的数一定是无理数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．一个正数有两个平方根且互为相反数 D．数轴上的点表示的都是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，平方根的概念，实数与数轴，根据无理数的定义可判断A；根据实数的运算法则可判断B；根据平方根的概念可判断C；根据实数与数轴一一对应可判断D． 【详解】解：A、带根号的数不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，不符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，不符合题意； C、一个正数有两个平方根且互为相反数，原说法正确，符合题意； D、数轴上的点表示的都是实数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 13．下列说法正确的是（   ） A．有理数和数轴上的点一一对应 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 【答案】B 【分析】本题考查了实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义等，根据实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、实数和数轴上的点一一对应，原选项说法不正确，不符合题意； 、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意； 、实数分为正实数，和负实数，原选项说法不正确，不符合题意； 、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，原选项说法不正确，不符合题意； 故选：． 14．下列说法中不正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B．整数可以看成是分母为1的分数 C．有理数都可以化为分数 D．无限小数是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的分类、无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的相关定义及其分类是解题的关键． 根据实数的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、有限小数和无限循环小数都是有理数，可以化为分数，正确； B、整数可以看成是分母为1的分数，正确； C、有理数都可以化为分数，正确； D、无限不循环小数是无理数，则D选项错误． 故选：D． 15．有下列说法： 负数没有立方根： 不带根号的数一定是有理数： 无理数包括正无理数，，负无理数： 实数与数轴上的点是一一对应的． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴、有理数立方根、无理数等定义，根据实数与数轴的一一对应关系，有理数、立方根、无理数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟记有理数、立方根、无理数的定义以及实数与数轴的一一对应关系． 【详解】解：负数有立方根，原说法错误，不符合题意； 不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，原说法错误，不符合题意； 无理数包括正无理数，负无理数，原说法错误，不符合题意； 实数与数轴上的点是一一对应的，原说法正确，符合题意； 综上可知，共有个正确， 故选：． 题型四　实数与数轴 例题 16．如图，实数在数轴上对应的点可能是（        ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，先判断出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：B． 巩固训练 17．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点表示实数等知识，先由圆的直径计算圆的周长，再由数轴上点表示数即可求解，掌握数轴上点表示实数是解决问题的关键． 【详解】解：圆的直径为个单位长度， 圆的周长为， 该圆上的点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点 到达点 的位置，点表示的数为， 故选：B． 18．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 19．如图所示，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示的点P应在（  ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C代表数2， 点D代表数3， ∴表示的点P应在线段上， 故选∶C． 20．如图，数轴上四个点中，与表示数的点最接近的点是（    ） A．点A B．点 C．点 D．点D 【答案】C 【分析】考查的是无理数的估算，实数和数轴，由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴与表示数的点最接近的点是点C． 故选：C． 题型五　二次根式定义 例题 21．下列式子不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的概念，正确把握二次根式的定义是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数不能为负数，故本选项符合题意； C、是二次根式，故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 巩固训练 22．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的代数式叫做二次根式，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，无意义，故本选项错误，不符合题意； B、当时，无意义，故本选项错误，不符合题意； C、无论取何值，，有意义，故本选项正确，符合题意； D、当时，，无意义，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 23．下列各式中为二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解： 是二次根式，该选项符合题意； 、，式子无意义，该选项不合题意； 、是三次根式，该选项不合题意； 、，式子无意义，该选项不合题意； 故选：． 24．下列式子一定是二次根式的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案． 【详解】A. ，当时无意义，不一定是二次根式； B. ，被开方数a无论为何值都是非负数，一定是二次根式； C. ，当时无意义，不一定是二次根式； D. ，当时无意义，不一定是二次根式； 故选B． 25．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的判断．熟练掌握二次根式的定义，是解题的关键．根据二次根式的定义：形如，进行判断即可． 【详解】解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，1是整数，不符合题意，的被开方数是负数，不符合题意，是3次根式，不符合题意； 故选∶A． 题型六　平方根算术平方根立方根综合 例题 26．若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 巩固训练 27．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：∵x是4的算术平方根， ∴， ∵y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 28．已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 29．已知的平方根是的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解： 的平方根是的立方根是， ，，解得，， ， 故答案为：． 30．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 题型七　二次根式有意义的条件 例题 31．要使得式子 有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为： 巩固训练 32．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件被开方式大于或等于0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 33．要使得有意义，则的取值应满足 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】解：由题意知，， 解得：， 故答案为：． 34．使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 35．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查求代数式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故答案为：且． 题型八　二次根式比较大小 例题 36．比较大小： ．（填“”、“＝”、“”）． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：∵；， ∴． 故答案为：． 巩固训练 37．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据二次根式性质得出，，，可得，即可得出答案． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：． 38．比较大小   （填“”“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 39．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则， 故答案为：． 40．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 题型九　二次根式化简 例题 41．已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 巩固训练 42．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可． 【详解】解： ， 故答案为： 43．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 44．已知，化简： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 45．化简： ． 【答案】 【分析】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简． 本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键． 【详解】由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十　分母有理化 例题 46．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的混合运算．分子分母同乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 巩固训练 47．分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 48．分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 49．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 50．化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，利用分母有理化的方法计算即可． 【详解】解： 故答案为： 题型十一　二次根式混合运算 例题 51．计算：． 【答案】 ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算乘法和除法，再算加减即可． 【详解】解： ． 巩固训练 52．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先计算乘除，再计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 53．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；先化简，然后再进行二次根式的运算即可． 【详解】解：原式 ． 54．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 55．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】原式 ． 题型十二　二次根式化简求值 例题 56．已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简二次根式，再整体代入，求值即可． 【详解】解：由，得，， ∴ 巩固训练 57．化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 58．已知，且x，y都是正数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据x，y都是正数，化简所求式子，代入求值即可． 【详解】解：，且x，y都是正数， ， 当时， 原式． 59．已知，求的值． 【答案】当时，原式；当时，原式． 【分析】讨论：当，，利用因式分解的方法得到，解得，当，，则，解得，然后把，代入中进行分式的化简求解． 【详解】解： 要有意义，即， 且或且， 当且时， ， 或（舍去）， 解得：， 把代入得：； 当且时， ， （舍去）或， 解得：， 把代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整式因式分解与二次根式有意义的条件是解题的关键． 60．已知 ，且 为奇数，求的值． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值． 【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得， 解得，且为奇数， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$