高二数学期中模拟试卷-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（安徽专用）

2024-2025学年上学期期中模拟试卷 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（选择性必修第一册人教A版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 3．已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 4．若椭圆的长轴长为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 6．当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 7．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 8．已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（    ） A．过点且和直线垂直的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．若直线与平行，则与的距离为 D．已知圆，圆，、分别是圆、上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 10．下列命题中，正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面的法向量分别是，，且则 D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（    ）    A．点 在曲线 C 上 B．曲线 C的方程为( C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．若点在C 上，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若圆与圆有且仅有一条公切线， . 13．如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则 . 14．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．已知的三个顶点是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求的面积； (3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 16．已知O为原点，直线与圆交于、两点． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)若，求圆的面积． 17．如图，在四棱锥中，在以为直径的圆上，，. (1)若平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)若，求二面角的余弦值. 18．已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求： ①已知直线过定点，求定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）． (1)若，，求和； (2)若点M（2，1），，求的最大值； (3)已知点P，Q是直线l：上的两动点，问是否存在直线l使得，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中模拟试卷 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（选择性必修第一册人教A版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量的定义求得直线的斜率，由斜率公式即可求得其倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率即直线的斜率，即， 设其倾斜角，则，因为，故得. 故选：A. 2．设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得. 故选：A. 4．若椭圆的长轴长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，求出值，依题得到的值，利用二倍角公式计算即得的值. 【详解】由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，即， 于是，. 故选：B. 5．已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据椭圆的定义及余弦定理求出，即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， ， 即，所以， 所以.    故选：A. 6．当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，则当时，点到直线的距离最大，再通过斜率计算即可得，即可得直线的一般式方程. 【详解】可化为， 令，解得，即直线过定点， 则当时，点到直线的距离最大， 即有，解得， 此时直线为， 化简得. 故选：A. 7．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可. 【详解】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得， 所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得． 故选：C. 8．已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（    ） A．过点且和直线垂直的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．若直线与平行，则与的距离为 D．已知圆，圆，、分别是圆、上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，可判断A选项；根据直线倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；求出圆关于直线的对称圆方程，数形结合可得出的最小值. 【详解】对于A选项，设过且和直线垂直的直线方程为， 则，可得， 所以，过点且和直线垂直的直线方程是，A对； 对于B选项，若，则；若，则. 所以，直线倾斜角的取值范围是，B错； 对于C选项，若直线与平行， 则，解得，则直线的方程为，即， 所以，与的距离为，C对； 对于D选项，圆心，圆的半径为， 圆心，圆的半径为，圆心距为， 因为，所以，圆与圆外离， 所以，圆心关于直线的对称点为点， 则线段的中点坐标为， 由题意可得，即，解得，即点， 所以，圆关于直线的对称圆为圆， 则点关于直线的对称点在圆上，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，取最小值， D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项考查与圆相关的最值问题，解题的关键在于作出圆的对称圆，将位于直线同侧的两圆转化为位于直线异侧两圆上点的距离的最值，再结合三点共线取最小值来处理. 10．下列命题中，正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面的法向量分别是，，且则 D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 【答案】AC 【分析】根据向量共线定理，可判断A选项；由即可判断B选项；由即可判断C选项；根据线面角的向量公式直接计算可判断D选项. 【详解】A选项：若对空间中任意一点，有，满足，所以，，，四点共面，故A正确； B选项：因为，所以，所以或，故B错误； C选项：因为，所以，所以，故C正确； D选项：记直线与平面所成角为，所以， 因为线面角的取值范围为，所以直线与平面所成角大小为，故D错误； 故选：AC. 11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（    ）    A．点 在曲线 C 上 B．曲线 C的方程为( C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．若点在C 上，则 【答案】AC 【分析】由已知得，设曲线与x轴正半轴相交于，可解得，则可判断A；由C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，可得方程，化简可判断B； ，由得，则可判断C；由可得成立，则可判断D. 【详解】由原点在曲线上得， 选项A．设曲线与x轴正半轴相交于， 则，解得 ，故A 正确. 选项B，设曲线C上任一点坐标为，则， 得 ，则 ， 所以 ， 即 ，故 B 错误． 选项C，由，得 ， 由，得， 所以 ，则，故C 正确． 选项 D，由，得， 故点在C 上时有成立，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若圆与圆有且仅有一条公切线， . 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可. 【详解】由， 显然， 又只有一条公切线，所以相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 13．如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则 . 【答案】 【分析】由，再平方即可求解. 【详解】, 所以, 所以. 故答案为： 14．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    【答案】/0.5 【分析】连接，，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得. 【详解】连接，，由点在以为直径的圆上，故.    又，在椭圆上，故有，. 设，则，，，. 在中，由勾股定理得， 解得，于是，，故. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．已知的三个顶点是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求的面积； (3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（1）求出线段中点，由两点得直线方程； （2）求出到直线的距离，线段的长，再由面积公式计算； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行，分类求解即可． 【详解】（1）由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； （2）直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行， 若直线过线段的中点， 由已知线段的中点为，直线方程为，化简得， 直线与直线平行，则方程为，化简得， 所以直线的方程为或． 16．已知O为原点，直线与圆交于、两点． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)若，求圆的面积． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式求出. （2）令，将问题转化为直线与圆有公共点求出范围. （3）联立直线与圆的方程，利用韦达定理及垂直关系的坐标表示求出值即可得解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，其中， 圆心到直线的距离， ，解得， 所以的值为. （2）由（2）知，圆圆心，半径， 令，则，依题意，直线与圆有公共点， ，解得或， 所以的取值范围是. （3）设，由消得， ，， 又，由，得， 即，整理得， 则，解得，满足，此时圆的半径， 所以圆的面积为. 17．如图，在四棱锥中，在以为直径的圆上，，. (1)若平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）先应用线面平行性质定理得出，进而得出四边形是矩形，再应用线面垂直判定定理得出平面,找到线面角求出正切值； （2）先建立空间直角坐标系再应用空间向量求解二面角余弦即可. 【详解】（1）因为平面，平面, 平面平面,所以, 又因为在以为直径的圆上,所以 所以,所以是矩形,所以， 在可得 因为，，所以， 又平面，所以平面， 平面,所以, 因为，，所以， 平面,所以平面, 所以直线与平面所成角为,. （2） 因为在以为直径的圆上,所以 过作平行线为轴，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为 所以在 可得， ， ， 设平面法向量为， 则,所以， 令，则， 设平面法向量为， 则，所以， 令，则， 设二面角为， 所以， 因为为锐角，所以. 18．已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求： ①已知直线过定点，求定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）①设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；. ②利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1， 由椭圆的几何性质，可得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 所以，可得， 又由，所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②由①知：， 可得， 所以， 令，则，所以， 因为函数在上为单调递增函数， 所以在上为单调递减函数， 故当时，面积取得最大值，最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）． (1)若，，求和； (2)若点M（2，1），，求的最大值； (3)已知点P，Q是直线l：上的两动点，问是否存在直线l使得，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和． 【分析】（1）根据题目中的公式，直接计算，可得答案； （2）根据圆的几何性质，结合向量夹角的余弦公式，结合函数思想，可得答案； （3）根据点与线的位置关系，结合题意，表示出距离，建立方程，分情况可得答案. 【详解】（1）， ， ； （2）设N（x，y），由题意得：， 表示的图形是为圆心，1为半径的圆， 即点N在圆的边上运动，，， 可知：当取到最小值时， 最大，相应的有最大值． 因此，点ON与圆相切：可得 所以的最大值为． （3）易知，设，则 ①当时，，则，，满足题意； ②当时，，则，，满足题意； ③当且时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 则，不合题意；综上，满足条件的直线有且只有两条，l：和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$