精品解析：山西省实验中学2024—-2025学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

山西省实验中学2024-2025学年第一学期第一次阶段性测评（卷）九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 3. 已知关于的方程的一个根是2，则它的另一个根是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 某服装店购进一款印有“龖”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，若该款上衣销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程得（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2 7. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5cm，DF＝4cm，那么EF的长为（ ） A. 6.5cm B. 6cm C. 5.5cm D. 4cm 8. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 9. 给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一 点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程化成一般形式是__________________． 12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm． 13. 如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是__________________m． 14. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 15. 如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 _____ ． 16. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为____________________． 三、解答题（本大题共6个小题，共52分） 17. 解方程 （1） （2） （3） （4） 18. 阅读材料，并回答问题 下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程： 解：， 二次项系数化为1，得： 第一步； 移项，得： 第二步； 配方，得：，即 第三步； 由此可得： 第四步； 解得：， 第五步． （1）“配方法”所依据的公式是______________；（填“完全平方公式”或“平方差公式”） （2）上面解答过程，从第_________步开始出现错误； （3）写出正确的解答过程； 19. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 20. 已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 请根据以下素材，完成探究任务. 制定购买方案 购买背景 背景1 巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进，两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第一次用850元购进款钥匙扣20件、款钥匙扣10件，且每件比每件贵5元. 背景2 款钥匙扣售价为45元/件，款钥匙扣售价为37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款“弗里吉”钥匙扣共80件（进货价和售价均不变），且进货总价不高于2200元. 背景3 巴黎奥运会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售4件，经过调查发现，销售价每降价1元，平均可多售2件. 信息整理 若款钥匙扣的进价为元/件，款钥匙扣的进价为元/件，列表如下： 类别 款钥匙扣 款钥匙扣 进货量（件） 20 10 进价（元/件） 售价（元/件） 45 37 单件利润（元/件） ① ② 探究任务 任务1 求两款钥匙扣的进价 任务2 请完成填空①和②，根据背景2中的信息，获得的销售利润最大为_______元. 任务3 网店要使款钥匙扣的销售利润平均每天达到90元，每件款钥匙扣的定价应为多少元？ 22. 已知正方形，点F是射线上一动点（不与C，D重合），连接并延长交直线于点E，交于点H，连接，过点C作交于点G． （1）若点F在边上，如图1． ①证明： ⑤猜想线段与的数量关系并说明理由 （2）取中点M，连结，若，正方形边长为6，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学2024-2025学年第一学期第一次阶段性测评（卷）九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直，四个角不一定相等，不一定有一个角是直角即可得到答案． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，只有该菱形是正方形时，其对角线相等，有一个角是直角，四个相等， ∴菱形一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：C． 3. 已知关于的方程的一个根是2，则它的另一个根是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是2， ∴设它的另一个根是， 则， ∴， 故选：A． 4. 某服装店购进一款印有“龖”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，若该款上衣销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据3月份销售量1月份销售量即可得． 【详解】解：根据题意可列方程：， 故选：B． 5. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式依次判断即可. 【详解】A、，，有实数根，故A选项错误； B、，，有实数根，故B选项错误； C、，，没有实数根，故C选项正确； D、，，由实数根，故D选项错误； 故选C. 【点睛】本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键. 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长． 详解：∵四边形ABCD菱形， ∴AC⊥BD，BD=2BO， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAO=60°， ∴BO=sin60°•AB=2×=， ∴BD=2． 故选D． 点睛：本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般． 7. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5cm，DF＝4cm，那么EF的长为（ ） A. 6.5cm B. 6cm C. 5.5cm D. 4cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件易证△BCE≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到CE=DF，BE=CF，由EF=EC+CF即可求得EF的长. 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，BC=CD． 又∵BE⊥EF，DF⊥EF， ∴∠BEC=∠CFD=90°， ∵∠CBE+∠ECB=90°，∠DCF+∠ECB=90°， ∴∠CBE=∠DCF， 在△BCE与△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（AAS）， ∴CE=DF，BE=CF， 又∵BE=2.5cm，DF=4cm， ∴EF=EC+CF=DF+BE=6.5cm． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定即全等三角形对应边相等的性质，证明△BCE≌△CDF是解决问题的关键． 8. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 9. 给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一 点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接BD，DE，DQ ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4， ∴BQ＝DQ， ∴C△BEQ＝BE＋BQ＋EQ＝BE＋DQ＋EQ≥BE＋DE， ∴当点D、Q、E在同一直线上时，C△BEQ＝能取得最小值，最小值为BE＋DE的长， ∵在Rt△AED中，DE＝＝＝5， ∴△BEQ周长的最小值＝BE＋DE＝4－3＋5＝6． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质以及勾股定理是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程化成一般形式是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的式子叫做一元二次方程的一般式，据此先去括号，然后移项，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm． 【答案】9 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=6cm，BC=8cm， ∴由勾股定理得： (cm)， ∴DO=5cm， ∵点E，F分别是AO、AD的中点， (cm)，,， △AEF的周长= 故答案为：9． 13. 如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是__________________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设，则：，由题意，得： ， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去 当时，，符合题意； 故的长度是； 故答案为：10 14. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，结合E是的中点，从而得到，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线，， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵，E是的中点， ∴， 由勾股定理得． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由正方形的性质和勾股定理得到，则；再证明为的中位线，得到，接着证明是等腰直角三角形，进而由勾股定理得到得到，则，由勾股定理得，则． 【详解】解：延长到点，使，连接，过点作的垂线，垂足为 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ； ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴在中， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共52分） 17. 解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18. 阅读材料，并回答问题 下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程： 解：， 二次项系数化为1，得： 第一步； 移项，得： 第二步； 配方，得：，即 第三步； 由此可得： 第四步； 解得：， 第五步． （1）“配方法”所依据的公式是______________；（填“完全平方公式”或“平方差公式”） （2）上面解答过程，从第_________步开始出现错误； （3）写出正确的解答过程； 【答案】（1）完全平方公式 （2）三 （3） 过程： 解得，． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程： （1）根据配方法定义可得答案； （2）根据配方法的步骤可知再把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4，据此可得答案； （3）根据配方法的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：“配方法”所依据的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 解：上面解答过程，从第三步开始出现错误的，原因是把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4， 故答案为：三； 【小问3详解】 略 19. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） 如图， （2） ．证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴． ∵EF为AC的垂直平分线， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线． （2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质． 20. 已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识． （1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ∴四边形的面积． 21. 请根据以下素材，完成探究任务. 制定购买方案 购买背景 背景1 巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进，两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第一次用850元购进款钥匙扣20件、款钥匙扣10件，且每件比每件贵5元. 背景2 款钥匙扣售价为45元/件，款钥匙扣售价为37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款“弗里吉”钥匙扣共80件（进货价和售价均不变），且进货总价不高于2200元. 背景3 巴黎奥运会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售4件，经过调查发现，销售价每降价1元，平均可多售2件. 信息整理 若款钥匙扣的进价为元/件，款钥匙扣的进价为元/件，列表如下： 类别 款钥匙扣 款钥匙扣 进货量（件） 20 10 进价（元/件） 售价（元/件） 45 37 单件利润（元/件） ① ② 探究任务 任务1 求两款钥匙扣的进价 任务2 请完成填空①和②，根据背景2中的信息，获得的销售利润最大为_______元. 任务3 网店要使款钥匙扣的销售利润平均每天达到90元，每件款钥匙扣的定价应为多少元？ 【答案】任务1：款钥匙扣的进价为30元/件，款钥匙扣的进价为25元/件；任务2：①15；②12；1080；任务3：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【解析】 【分析】任务1：根据网店第一次用850元购进款钥匙扣20件、款钥匙扣10件，且每件比每件贵5元列出方程组求解即可； 任务2：根据单价利润售价进价即可求出两款钥匙扣的单件利润；设第二次购进款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件，根据总购买费用不超过2200元列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可； 任务3：设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，据此根据总利润为90元列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：由题意得， 解得， 答：款钥匙扣的进价为30元/件，款钥匙扣的进价为25元/件． 任务2：有任务1可知款钥匙扣的利润为元/件，款钥匙扣的利润为元/件； 设第二次购进款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件， 由题意得，， 解得， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴获得的销售利润最大为1080元． 故答案为：①15；②12；1080； 任务3：设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为 元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确根据题意列出方程，方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． 22. 已知正方形，点F是射线上一动点（不与C，D重合），连接并延长交直线于点E，交于点H，连接，过点C作交于点G． （1）若点F在边上，如图1． ①证明： ⑤猜想线段与的数量关系并说明理由 （2）取中点M，连结，若，正方形边长为6，求的长 【答案】（1） 证明：①∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ．∴ ∴ ②结论，理由如下： ∵∴ ∵∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据SAS证明，即可解决问题；②只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题． （2）分两种情形解决问题，①如图当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．由勾股定理分别求出EC即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图1，当点F在线段上时，连接 ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ②如图2，当点F在线段的延长线时．连接． 同法可如是的中位线． ∴ 在中， ∴ 综上所述，的长为或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $