精品解析：黑龙江省绥化市望奎县第五中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年度初四数学第一次月考卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 无论k为何实数，直线和抛物线（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 公共点的个数不能确定 7. 二次函数图象上部分点的对应值如下表则使的的取值范围为（ ） 0 1 2 3 4 6 0 0 6 A. B. C. D. 或 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线与抛物线交于，两点，如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 12. 如图，在等边中，，动点P从点 B 出发，沿方向运动，过点 P作于点 H，设的面积为y，点 P的运动路程为x，则y与x之间的函数关系的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线______． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________ 15. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是________s． 16. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 17. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为_________ 18. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 19. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 20. 已知二次函数，若，则的取值范围为____． 21. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有______． 22. 如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为______． 三、解答题 23. 用适当方法解方程 （1）； （2）． 24. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9. (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积. 25. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 26. “低碳环保，绿色出行”是一种健康的生活理念．某自行车公司出售甲、乙两种型号自行车，其中甲型号自行车进货价格为每台500元，乙型号自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型号自行车和2台乙型号自行车，可获利650元，销售1台甲型号自行车和2台乙型号自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型号、一台乙型号自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ （3）年末为减少库存，该公司决定对乙型号自行车降价销售，已知降价前该公司每天售出25台，售价每降低10元能多售出3台，则在保证盈利最大时，该公司售价应定为多少？ 27. 在正方形中，，E，F为对角线上不重合的两个点（不包括端点），，连结并延长交于点G，连结，． （1）求证：． （2）设的长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数表达式． ②当时，求x的值． 28. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初四数学第一次月考卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：A． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 4. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象性质，根据抛物线的对称性以及抛物线的图象性质进行判定，即可作答． 【详解】解：∵点，在抛物线图象上 ∴ ∴抛物线的顶点坐标的横坐标为1 则B和C选项是错误的 ∵抛物线是对称性的光滑的曲线 ∴抛物线的顶点坐标的纵坐标不等于3 故选：A． 5. 下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于0，开口向下，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数小于0， 则A和D选项是不符合条件，故A和D选项是错误的 ∵，二次项系数的绝对值越小，开口越大 抛物线的开口更大． 故选：C． 6. 无论k为何实数，直线和抛物线（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 公共点的个数不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握如何判断一元二次方程的解的个数是解题的关键，将直线和抛物线建立关于的一元二次方程，再利用根的判别式即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴ ∴， ∴无论取何值，，该方程有两个不等的实数根， ∴直线和抛物线有两个公共点， 故选： B． 7. 二次函数图象上部分点的对应值如下表则使的的取值范围为（ ） 0 1 2 3 4 6 0 0 6 A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数的表达式，再根据与轴的交点即可求出的的取值范围，解题的关键是求出二次函数的表达式． 【详解】解：由表格可知经过，，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 抛物线图象开口向上，与x轴的交点为，， ∴时的取值范围是， 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 9. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 10. 已知：抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的判别式，熟练掌握，当时抛物线与x轴有两个交点是解题的关键． 抛物线与x轴有两个交点说明，然后结合抛物线是二次函数，开口向下，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 所以， 由于该函数为二次函数，开口向下， 则， ∴． 故选：A． 11. 如图，直线与抛物线交于，两点，如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：把代入得， ， ∴， 把代入，得 ， ∴． ∵直线与抛物线交于，两点， ∴关于x的不等式的解集是：或． 故选：D． 12. 如图，在等边中，，动点P从点 B 出发，沿方向运动，过点 P作于点 H，设的面积为y，点 P的运动路程为x，则y与x之间的函数关系的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，等边三角形性质，解直角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．根据题意分以下两种情况讨论，①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据以上情况通过等边三角形性质，解直角三角形表示出三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解，得到面积表达式，即可解题． 【详解】解：为等边三角形， ，， ①当点P在上运动时， 有，，， 的面积为， ②当点P在上运动时， ，， ，， 的面积为， 综上所述，由解析式可知图象为一个开口向上的二次函数图象和一个开口向下的二次函数图象组合， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数与轴的交点分别为：，, ∴二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】可先求得抛物线的对称轴，以及开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．本题主要考查二次函数图象性质，由函数的增减性，对称轴，以及开口方向得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：， 对称轴为， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 即， 故答案为： 15. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是________s． 【答案】32 【解析】 【分析】直接根据题意得出的对称轴，即可作答．本题主要考查了二次函数的图象性质． 【详解】解：由题意可得：飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是 ∴当对称轴时，飞机停下， 故答案为：32 16. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 17. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为_________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 18. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2023． 19. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 20. 已知二次函数，若，则的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y的最小值，然后再求得最大值即可． 【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10． ∴当x=2时，y有最小值，最小值为-10． ∵， ∴当x=6时，y有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6． ∴y的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有①②③共2个． 故答案为：①②③． 22. 如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将代入得，， ∴直线的解析式为； 如图，记与轴的交点分别为， ∵， ∴抛物线关于轴对称， ∴，，，轴，轴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，，， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，， ∴可推导一般性规律为，当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键． 三、解答题 23. 用适当方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解本题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 24. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9. (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)、y=-+2x+8；(2)、30. 【解析】 【详解】试题分析：根据交点和最值得出顶点坐标，然后将解析式设成顶点式，然后将交点代入求出a的值；将四边形的面积转化成△AOD的面积+四边形DOEC的面积+△BCE的面积进行求解． 试题解析：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1． 又∵函数的最大值为9， ∴抛物线的顶点为C（1，9）． 设抛物线的解析式为y=a+9，代入B（4，0），求得a=-1． ∴二次函数的解析式是y=-+9， 即y=-+2x+8． （2） 当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）． 过C作CE⊥x轴于E点． ∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30． 考点： 25. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 【答案】（1）； （2）这个矩形的周长． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴， ∴这个矩形的周长为： ． 26. “低碳环保，绿色出行”是一种健康的生活理念．某自行车公司出售甲、乙两种型号自行车，其中甲型号自行车进货价格为每台500元，乙型号自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型号自行车和2台乙型号自行车，可获利650元，销售1台甲型号自行车和2台乙型号自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型号、一台乙型号自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ （3）年末为减少库存，该公司决定对乙型号自行车降价销售，已知降价前该公司每天售出25台，售价每降低10元能多售出3台，则在保证盈利最大时，该公司售价应定为多少？ 【答案】（1）150元，100元 （2）10台 （3）890元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题，涉及解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，读懂题意，准确列出方程组及不等式求解是解决问题的关键 （1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，读懂题意，找准等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设最少需要购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台，读懂题意，找到不等关系列不等式求解即可得到答案； （3）设该公司售价应定为x元，利润为w，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元， 由题意可得， 解得， 甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为100元； 【小问2详解】 解：设最少需要购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 则由题意可得， 解得， 最少需要购买10台甲型自行车； 【小问3详解】 设该公司售价应定为x元，利润为w， 根据题意得， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下， ∵年末为减少库存，售价每次降低10元 ∴当时，盈利最大． 27. 在正方形中，，E，F为对角线上不重合的两个点（不包括端点），，连结并延长交于点G，连结，． （1）求证：． （2）设的长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数表达式． ②当时，求x的值． 【答案】（1） 证明：在正方形中， ，， ， ， ， ， ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，结合平行线的判定定理，求证：． （2）①连接，交于点H．利用正方形的性质，三角形面积公式及解答即可． ②过F作于点I，作于点J，根据面积关系，建立方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，交于点H． 在正方形中，，，，， ， ， ， ． ②过F作于点I，作于点J， ，， ， ， ， 解得或（舍去）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 28. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】（1），； （2）面积最大值为，； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $