精品解析：广东省茂名市高州市第一中学附属实验中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期学情练习（10月） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2的算术平方根是（） A. 4 B. ±4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：2的算术平方根是 故选C. 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握概念是解题的关键． 2. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 13，14，15 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各数中，无理数是（　　） A. 3.14 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义、立方根的定义和分母有理化，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、3.14是有限小数，不符合题意； B、是分数，不符合题意； C、，是整数，不符合题意； D、，是无理数． 故选：D． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 5. 如图，三个四边形均为正方形，则字母B所表示的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：由勾股定理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6. 已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和等于度求出三角形内角的度数，即可判定A、B；根据勾股定理的逆定理判定C、D，即可得出答案． 【详解】解：A、，则，，，则不是直角三角形，故此选项符合题意； B、，可得，由三角形内角和等于度，得，则是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，设，则，，则，即，根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据有一个内角是直角的三角形是直角三角形、勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键． 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了数轴上点的表示方法，利用勾股定理求斜边．根据勾股定理求出斜边长为，弧的半径等于，点A在的左边，表示的数为． 【详解】解：根据勾股定理得：， 点A表示的数为． 故选：D． 8. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A. 7米 B. 9米 C. 10米 D. 13米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 9. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，，，得到，，求出的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性、平方的非负性，根据题意得到，是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则CE等于( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接EA，根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】连接EA， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝4， 由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 则AC2＋CE2＝AE2，即32＋（4−BE）2＝BE2， 解得，BE＝，则CE＝4-=． 故选A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简 ________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据即可解答． 【详解】解： 故答案为：9． 12. 若式子有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式的的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的数据和勾股定理的逆定理，可以判断该三角形的形状，然后即可求得该三角形的面积； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为，，， 因为, ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 14. 如图，，过P作，得；再过作且，得；又过作且，得；…依此法继续作下去，得____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由已知数据找到规律． 首先根据勾股定理求出，再由，，的长度找到规律进而求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵；得；， 依此类推可得， ∴ ， 故答案为：． 15. 图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过_______米． 【答案】3-2 【解析】 【分析】 【详解】解：设平板手推车的长度不能超过米， 则为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBE为等腰直角三角形 连接EF，与BC交于点G 直角走廊的宽为1.5m， m （m） △CBE为等腰直角三角形 （m） 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先把每一个二次根式化成最简二次根式，计算二次根式的乘除法，再算减法即可． 【详解】解：原式 ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握乘方运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算法则，是解题的关键． 18. 已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△CDA中，利用勾股定理求出AD的长，然后求出BD的长，最后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出CB的长度． 【详解】解：在Rt△CDA中， ∵AC=AB=5，CD=3， ∴AD= ∴BD=AB-AD=5-4=1， 在Rt△CBD中，BC= 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去求边长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 19. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键． 20. 如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地ABCD的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长． 【答案】（1）这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；（2）AE＝m． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理可证明△ACD是直角三角形，根据面积和可得结论； （2）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵BC＝9，AB＝4， ∴AC＝=， ∵AD＝7，CD＝4， ∴， ∴∠D＝90°， ∴这块空地ABCD的面积＝ = = =2+14， 答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2； （2）∵=， ∴4×＝9×AE， ∴AE＝m． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 21. 如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题8分，共16分） 22. 小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 【答案】（1）；（2）；（3）3 【解析】 【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果； （3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）原式 ； （3）， ， ． 答：的值为3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出的值和正确变形是解此题的关键． 23. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止． （1）P、Q出发4秒后，求PQ的长； （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？ 【答案】（1） （2）9.6秒或16秒 【解析】 【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长； （2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， BQ=2×4=8（cm），BP=ABAP=161×4=12（cm）， ∵∠B=90°， ∴PQ=（cm）， 即PQ的长为cm； 【小问2详解】 解：当BQ⊥AC时，∠BQC=90°， ∵∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm， ∴AC=（cm）， ∵， ∴， 解得cm， ∴CQ=（cm）， ∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+）÷2=9.6（秒）； 当∠CBQ=90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2=16（秒）； 由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答． 六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图， （1）【感知】如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是_______． （2）【探究】如图②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1． ①通过裁剪，将阴影部分的图形拼成一个正方形，请在空白网格中画出拼成的正方形； ②所拼成的正方形的边长是________． （3）【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明他能否裁出这样的纸片？ 【答案】（1） （2）①见解析（画法不唯一）；② （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键． （1）大正方形的边长就是等腰直角三角形的斜边长，利用勾股定理可得答案； （2）①由正方形的定义可得拼的图形； ②根据勾股定理求解； （3）设长方形纸片的长为，宽为，利用长方形面积公式可得方程，求解比较即可． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①如图所示： ②． 故答案为：； 【小问3详解】 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得， 解得，（舍去）， ∵， ∴长方形纸片的长大于原正方形纸片的边长， ∴小明不能裁出这样的长方形纸片． 25. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【解析】 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期学情练习（10月） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2的算术平方根是（） A. 4 B. ±4 C. D. 2. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 13，14，15 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，17 3. 下列各数中，无理数是（　　） A. 3.14 B. C. D. 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三个四边形均为正方形，则字母B所表示的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 6. 已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A 7米 B. 9米 C. 10米 D. 13米 9. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2023 D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则CE等于( ) A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简 ________ 12. 若式子有意义，则的取值范围是_________． 13. 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为__________． 14. 如图，，过P作，得；再过作且，得；又过作且，得；…依此法继续作下去，得____________________． 15. 图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过_______米． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 16. 计算： 17. 计算： 18. 已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 19. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 20. 如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化空地ABCD的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长． 21. 如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题8分，共16分） 22. 小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 23. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止． （1）P、Q出发4秒后，求PQ的长； （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？ 六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图， （1）【感知】如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是_______． （2）【探究】如图②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1． ①通过裁剪，将阴影部分的图形拼成一个正方形，请在空白网格中画出拼成的正方形； ②所拼成正方形的边长是________． （3）【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明他能否裁出这样的纸片？ 25. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$