精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学试题

勤建学校高三年级上学期第二次调研考试 数学试卷 2024.10 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 6. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ） （参考数据：，） A. 36.9% B. 41.5% C. 58.5% D. 63.4% 7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为的定义域为，当时，；当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 下列结论错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 11. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数在上有个零点 D. 函数在上为减函数 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知函数则______． 13. 已知函数的极大值点为，极小值点为，则等于__________. 14. 已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为______． 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求曲线在点 处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 在锐角中，内角所对的边为，其中 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 17. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 18. 已知为数列的前项和，若. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 19. 设，. （1）求函数的单调区间； （2）求证：； （3）设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为“A关联函数”.求证：若与为“关联函数”，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高三年级上学期第二次调研考试 数学试卷 2024.10 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合A，利用补集概念求出答案. 【详解】解不等式，得或，所以， 所以. 故选：B 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，与抛物线方程联立，利用求出的值，再验证可得答案. 【详解】，， 所以曲线在点处的切线为：，即． 联立与，得，依题意可知，所以或1． 当时，不是抛物线，舍去． 故选：C 6. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ） （参考数据：，） A. 36.9% B. 41.5% C. 58.5% D. 63.4% 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，代入解方程即可. 【详解】由题意可知，，即， 所以，解得. 故选：C 7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围. 【详解】， 当，解得：， 由条件可知， 所以 ，解得：. 故选：B. 8. 已知函数为的定义域为，当时，；当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当 时 ，所以 ， 又因为时， ， 则 ， ， 所以D一定正确，无证据表明 一定正确. 故选：D. 二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 下列结论错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本（均值）不等式判断AC的真假；举反例验证B时假命题；根据不等式的性质判断D的真假. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取 “”），所以A错误； 对于B，若，，，，则，，此时，所以B错误； 对于C，，当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D，因为，，所以，则，所以D错误. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 11. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数在上有个零点 D. 函数在上为减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意利用奇函数性质可得，即的图象关于直线对称，可推出是周期为4的周期函数，即可判断AB正确；易知函数在上有7个零点，即C错误；由函数单调性及其对称性可判断D正确. 【详解】根据题意，函数是上的奇函数，所以； 又对任意，都有成立， 令，可得，即，所以， 即可知函数的图象关于直线对称； 又函数是上的奇函数，所以，则； 则有，故函数是周期为4的周期函数； 当，且时，都有，所以在区间上单调递增； 再由奇函数性质可知在区间上单调递增； 对于A，由可得， 所以，即A正确； 对于B，由直线是函数的一条对称轴，且是周期为4的周期函数； 则也是函数的一条对称轴，又为奇函数， 所以直线是函数图象的一条对称轴，即B正确； 对于C，函数在上有7个零点，分别为，即C错误； 对于D，易知函数在上单调递增，且周期为4，则函数在上为增函数， 由直线是函数的一条对称轴，则函数在上为减函数，即D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题主要考察函数奇偶性、对称性、单调性和周期性的应用，要根据其他性质综合运用推出函数值求和、对称轴、对称中心、零点个数等的求解. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知函数则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可. 【详解】因为，，所以． 故答案为：1 13. 已知函数的极大值点为，极小值点为，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，得到，进而求出的解，再利用极值的定义，即可求解． 【详解】因为，则， 令，得到，解得，， 当时，，时，，时，， 即在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以是极大值点，是极小值点， 得到， 故答案为：. 14. 已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设， 根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围. 【详解】 由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，． 当，时，，满足题意； 当时，，解得． 综上，． 故答案为： 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求曲线在点 处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 由，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 因为，，故最大值为. 16. 在锐角中，内角所对的边为，其中 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再逆用两角和的正弦公式、三角形内角和定理、正弦的诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可； （2）根据（1）的结论，运用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因此由， 因为，且三角形为锐角三角形，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知：， 由基本不等式可知： ，当且仅当时取等号， 面积为，即， 当且仅当该三角形为正三角形时取等号. 17. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 【答案】（1）在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 因为在四棱锥中，底面是正方形，所以 且平面，所以 因为 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面； （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 因为，则有， 设，则有， 因为QB=，所以有 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. 18. 已知为数列的前项和，若. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） 证明：由可得， 当时，，解得， 当时，，即， 则 ，即， 即，即， 又， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证. （2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即，即， 又，，， 所以满足条件的最大整数为为5. 19. 设，. （1）求函数的单调区间； （2）求证：； （3）设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为“A关联函数”.求证：若与为“关联函数”，则. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 由（1）可知，故只需证. 由于，等价于. 令，则. 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在单调递增， 则，所以. （3） 由题意知，对任意，存在， 满足，且，则， 即，即. 对于给定的，有， 当且仅当，即时，等号成立， 因此对任意都成立. 在上式中令，得. 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，可知满足不等式的. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间； （2）根据题意分析可知：原不等式等价于，构建，利用导数求其最值，进而分析证明； （3）根据题意整理可得，利用基本不等式可得对任意都成立，取可得，构建，利用导数判断其单调性，进而判断其符号即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且. 当时，；当时，， 所以函数的单调增区间为，单调见区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $