精品解析：江苏省兴化中学2024-2025学年高二（强基班）上学期10月学情调研测试数学试卷

江苏省兴化中学2024-2025学年高二（强基班）上学期10月学情调研测试数学试卷 总分：150分 考式时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出时四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则“”是“直线与直线垂直”的 A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】“直线与直线垂直” 的充要条件为 ，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C. 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解； 【详解】解：抛物线，即，则，所以， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为. 故选：C 3. 已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】由题意，， 在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M， 设，则， ∴，即：， 故选：C. 4. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形可得，由两点坐标得，结合直线与半圆相切得，，由此即可得解. 【详解】如图所示： 直线过定点，曲线与轴负半轴交于点， 设直线与曲线（半圆）相切于点， 若直线与曲线有两个交点， 则， 而， 若与半圆（圆心，半径）相切， 则圆心到直线的距离满足，解得，即， 综上所述，实数k的取值范围为. 故选：D. 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 6. 已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故， 故选：C 7. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题. 【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：， 将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为 ，解得，因为，所以 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆（与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上．如图： 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则， 所以， 所以， 所以，． 又圆与圆的面积之比为9， 所以圆与圆的半径之比为3， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，，则是两条直线 C. 若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D. 若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解． 【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确； 对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确； 对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误； 对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误； 故选：AB． 10. 抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 存在直线，使得A、B两点关于对称 C. 的最小值为6 D. 当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据得到故,A正确，中点在抛物线上，B 错误,，C正确，计算D正确，得到答案. 【详解】,故，,故,A正确； 设,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误； 过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确； 如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知曲线，为上一点，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点中心对称 B. 的取值范围为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题可得到曲线的不同方程，作出曲线的图形，结合所得方程可判断A；根据的几何意义结合条件可判断B；根据双曲线的性质可判断C；根据椭圆方程及点到直线距离公式结合条件可判断D. 【详解】曲线的方程为， 对于A，设在曲线上任意一点，把点代入曲线的方程， 得，与原方程不一样，所以曲线不关于原点中心对称，故A错误； 对于B，当点在上时，，且， 因为，所以，即； 当点在上时，有， 且，因为，所以，即； 当点在上时，有， 且，因为，即， 综上的取值范围为，故B正确； 对于C，若点在曲线上时，有，此时，不可能有； 当点在曲线上时，曲线的渐近线方程， 当点在上时，曲线的渐近线方程， 如图，因为直线与渐近线方程平行，所以不存在点， 使得，故C错误； 对于D，因为可看作到直线的距离的倍，， 因为直线与平行，且之间的距离为，故， 由图可知，当点在曲线上时点到直线的距离有最大值，设， 点到直线的距离为， 当且仅当等号成立，即， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：首先讨论的符号得到曲线的方程，再由各曲线的性质，结合图形逐项分析得到答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆方程化成标准方程可得出圆心坐标为，再根据表示圆的条件消去参数即可得圆心的轨迹方程. 【详解】因为方程表示圆， 即表示圆,所以， 解得, 易知圆心坐标为，且， 设圆心坐标为，则有， 消去，得即为所求圆心的轨迹方程. 故答案为： 13. 设为直线上的动点，若圆上存在两点，使，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】就不在圆外、在圆外分类讨论，后者可由题设得到，故可求的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 因为直线的横截距为，故直线与圆相交， 当在圆上或圆的内部时，圆上必存在两点使得， 由可得， 解得， 故当时，圆上必存在两点使得， 若在圆外，则考虑过的两条切线的夹角， 结合题设可得两条切线的夹角不小于，结合上图 可得， 故即，整理得到， 结合或，故或, 综上，. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值. 【小问1详解】 联立方程组， 即直线和的交点的坐标； 【小问2详解】 由题意知点在圆外，，； 【小问3详解】 若直线与，不能构成三角形， 则或或过点P， 当时，则，满足题意； 当时，，满足题意； 当过点P时，， 故实数的值为. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解. （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设，接着与曲线E联立方程结合韦达定理求得和，由得，与韦达定理结合即可求出，进而即可得直线的斜率. 【小问1详解】 将代入，得， 所以，所以， 所以由题得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 17. 如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长; （2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1） 点坐标为 ， ，因此要求 的长，就要求得 点坐标，已知 说明直线斜率为 ，这样直线 方程可立即写出，又 ，故斜率也能得出，这样 方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心 到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端 和到该圆上任一点的距离均不少于80 ，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决． 试题解析： （1）如图，以为 轴建立直角坐标系，则 ， ，由题意 ，直线方程为 ．又 ，故直线 方程为，由，解得 ，即 ，所以； （2）设，即 ，由（1）直线 的一般方程为 ，圆的半径为 ，由题意要求 ，由于 ，因此，∴∴ ，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大． 【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系. 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） ①设，，， 由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 解：由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意； 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 【点睛】方法点睛：本题第二问，首先利用弦长公式得到，然后巧用，化简得到，结合韦达定理而得解. 19. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 [方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得， 由M、D、A三点共线，得， 由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省兴化中学2024-2025学年高二（强基班）上学期10月学情调研测试数学试卷 总分：150分 考式时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出时四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则“”是“直线与直线垂直”的 A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（ ）. A. B. C. D. 4. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（        ） A. B. C. D. 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆（与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，，则是两条直线 C. 若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D. 若时，则是双曲线，其渐近线方程为 10. 抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 存在直线，使得A、B两点关于对称 C. 的最小值为6 D. 当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 11. 已知曲线，为上一点，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点中心对称 B. 的取值范围为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为________. 13. 设为直线上的动点，若圆上存在两点，使，则的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 17. 如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长; （2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $