精品解析：湖南省衡南县一中云集校区（北斗星中学）2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024年下学期衡南一中云集校区九年级第一次检测试卷 数学 本试卷共4页，26题．全卷满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值是（ ） A. a≥-2 B. a≤-2 C. a≥2 D. a≤2 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 若1＜x＜2，则的值为（ ） A 2x-4 B. -2 C. 4-2x D. 2 7. 在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（ ） A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 8. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 9. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. 14 D. 15 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果为______． 12. 若点P(x,y)在第二象限内，则化简的结果是______. 13. 已知a是方程的一个实数根，则的值为 _________． 14. 已知，求______． 15. 已知一元二次方程的两根分别为m、n，则________． 16. 若关于的方程有两个不等的实数根，则的值为___________． 17. 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则的最大值是___________． 18. 在平面直角坐标系中，记直线为l．点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形．则点的坐标是_______． 三、解答题（共8小题66分） 19. 计算：． 20 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 23. 已知 （1）求的值． （2）若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值． 24. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 25. 阅读材料：各类方程解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 26. 阅读材料，用配方法求最值． 已知a，b为非负实数，∵0， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求最小值； 解：，当，即x＝2时，y的最小值为5． （1）若m＞0，的最小值为 　 　； （2）探究：当x＞0时，求的最小值； （3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期衡南一中云集校区九年级第一次检测试卷 数学 本试卷共4页，26题．全卷满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值是（ ） A. a≥-2 B. a≤-2 C. a≥2 D. a≤2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列出不等式，求解即可. 【详解】解：由题意得，2a+4≥0， 解得a≥-2． 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、=，可化简，故A选项错误； B、=2，可化简，故B选项错误； C、，可化简，故C选项错误； D、不能化简，是最简二次根式，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断：根据二次根式的除法法则对B进行判断：根据二次根式的加减法对C、D进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除，二次根式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简，与是同类二次根式的二次根式才能合并． 【详解】A．，与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； B．，与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； C．，与是同类二次根式，可以合并，符合题意； D．，与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查知识点：同类二次根式，解题关键点：将二次根式化简成最简二次根式以及理解同类二次根式的定义． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1； (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 按照配方法化简判断即可． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方1，得， ， ∴． 故选：C． 6. 若1＜x＜2，则的值为（ ） A. 2x-4 B. -2 C. 4-2x D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】∵1＜x＜2 ∴x-3＜0，x-1＞0 ∴ =3-x+x-1 =2 故选：D 7. 在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（ ） A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用判别式法判断一元二次方程的根，由一元二次方程根的判别式求出，代入原方程，再利用判别式判定即可得到答案，熟练掌握用判别式法判断一元二次方程的根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴原方程， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 8. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵2、3月的总营业额为1000万元， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键． 10. 若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：为的实数根， ，即， ， 为方程的两个实数根， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则求出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 12. 若点P(x,y)在第二象限内，则化简的结果是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点P(x，y)在第二象限内，可得x<0，y>0，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵点P(x，y)在第二象限内， ∴x<0，y>0， ∴=， 故答案为． 【点睛】本题考查二次根式的性质、象限点的坐标特征，解题关键是：当a≥0时，=a；当a<0时，=-a． 13. 已知a是方程的一个实数根，则的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得，进而即可求解； 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，正确运算是解题的关键． 14. 已知，求______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义求出的值即可． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 15. 已知一元二次方程的两根分别为m、n，则________． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则 直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程可化为， 这个方程的两根分别为m，n， ∴，， ， 故答案为：． 16. 若关于的方程有两个不等的实数根，则的值为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程判别式，熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个不等的实数根， 则，且， 即， 解得，， ∴且． 故答案为：且 17. 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，一次函数的应用．由可得，结合根与系数的关系可得，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵是的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，的最大值为：． 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，记直线为l．点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形．则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数，得出等点的坐标，继而得知等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点的坐标． 【详解】解：把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 同理点的坐标是；点的坐标是； 由以上得出规律是的坐标为． 所以点的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得出规律． 三、解答题（共8小题66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂逐项计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂是解题的关键． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 小问1详解】 则 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ，，， 则， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后再代入结合二次根式进行求解． 【详解】 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键． 22. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）当m为正整数时，此时方程的根为和． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：①牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；②熟练掌握一元二次方程求解． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，计算即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出，将其代入方程，再解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴m的取值范围为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， m为正整数， ， ∴原方程为， 即， 解得：，， ∴当m为正整数时，此时方程的根为和． 23. 已知 （1）求的值． （2）若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用分母有理化化简和，从而求出和的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 的小数部分是， ， ， ， 的小数部分是， ， ． 24. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 【答案】（1）这两次价格上调的平均增长率为； （2）每包应该降价3元． 【解析】 【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,利用经过两次上调价格后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元． 【小问1详解】 设这两次价格上调的平均增长率为x, 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：这两次价格上调的平均增长率为． 【小问2详解】 设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵要让顾客获得更大的优惠， ∴m的值为3． 答：每包应该降价3元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【解析】 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案为，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 26. 阅读材料，用配方法求最值． 已知a，b为非负实数，∵0， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求的最小值； 解：，当，即x＝2时，y的最小值为5． （1）若m＞0，的最小值为 　 　； （2）探究：当x＞0时，求最小值； （3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标． 【答案】（1）；（2）5；（3）最小值为21，A(0，2)，B(－3，0) 【解析】 分析】（1）由阅读材料即可求得最小值； （2）变形得：，则由阅读材料可求得最小值； （3）设，其中x<0，则可把四边形ABCD的面积用x的代数式表示出来，然后可用阅读材料中的求最小值的方法求得最小值，同时求得两点的坐标． 【详解】（1） 当，即时，有最小值； 故答案为：； （2）∵ ∴当，即x=1时，的最小值为5； （3）设，其中x<0 ∵PB⊥x轴，PA⊥y轴 ∴OB=-x， ∵C（0，﹣4），D（6，0） ∴，OC=4 ∴ 当，即时，有最小值21 此时点P的坐标为(－3，2) 所以点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(-3，0) 【点睛】本题是一则材料题，根据提供的材料来解答，考查了配方法的应用，反比例函数的图象与性质，求图形的面积，关键是读懂题目提供的材料，并能灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$