精品解析：广西崇左市名校2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

2024年春季期高一年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册占70%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. D. 2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是一条直线，是两个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ） A. 立方分米 B. 立方分米 C. 立方分米 D. 立方分米 7. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ） A. 至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B. “至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C. “恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D. “恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖” 8. 已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部是 B C. 的共轭复数是 D. 在复平面内对应的点位于在第一象限 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成角为 D. 二面角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________. 13. 某数学兴趣小组成员为了测量，两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北75°方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东75°方向上，且距离地2千米，则，两地之间的距离是______千米. 14. 已知是重心，的面积是，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 16. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面 （2）证明：平面平面. 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的值域. 18. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. （1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 （1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； （2）若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季期高一年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册占70%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直条件求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A 2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】说明两个集合没有公共部分，借助数轴即可解题. 【详解】由题意可得. 因为，且一定不是空集， 则说明无公共部分. 因此. 故选：C． 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解. 【详解】由题意可得，解得或. 故选：D. 4. 已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式求出正切值，然后代入二倍角的正切公式中即可得解. 【详解】因为，所以，所以，则. 故选：C 6. 小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ） A. 立方分米 B. 立方分米 C. 立方分米 D. 立方分米 【答案】A 【解析】 【分析】由轴截面计算圆锥的高，代入圆锥体积公式即可求解. 【详解】设该圆锥形的容器的底面圆的半径为，高为， 则分米，分米， 则小明制作的圆锥形的容器的容积是立方分米. 故选：. 7. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ） A. 至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B. “至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C. “恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D. “恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件，所以A错误， 对于B，“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件，所以B错误， 对于C，“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件，所以C正确， 对于D，“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件，所以D错误. 故选：C 8. 已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数单调性判断方法来研究，考虑每段函数的单调性，再研究分段点处的函数值大小关系即可. 【详解】当是上的单调递增函数时，需要满足 解得 当是上的单调递减函数时， 解得.综上，的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. 的共轭复数是 D. 在复平面内对应的点位于在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算计算，即可判断；根据复数的模的运算即可判断；根据共轭复数的定义即可判断；根据复数的几何意义即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是，故错误； ，故正确； ，故错误； 在复平面内对应点位于在第一象限，故正确. 故选：. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可得周期，从而求出，将点，代入解析式可得，即可判断AB；计算，若可说明的图象关于点对称，即可判断C；，即，解三角不等式即可判断D. 【详解】由图可知，又，则. 点在的图象上， ， ，解得， ，，则错误； 点在的图象上，，解得，则正确； ， 的图象关于点对称，则正确； 由，即，即， 得，解得， 所以不等式的解集是，则错误. 故选：BC. 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可判断A；利用割补法，结合体积公式即可判断B；根据异面直线所成角的定义平移直线到直线，求解即可判断C；根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合空间向量法即可求解D. 【详解】对于A，因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为，故A正确； 对于B，该几何体的体积为，故B正确； 对于C，因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，又因为，所以，故C正确 对于D，设的中点为，连接、，则，， 则即二面角的平面角． 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、， 则，， 则，故D错误.    故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是准确题解题意中“蒺藜形多面体”的定义，结合图1和图2直观想象“蒺藜形多面体”的几何特征，对多面体分割计算表面积和体积，再借助正方体求解异面直线所成的角与二面角. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________. 【答案】79 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】由题意知，数据已按由小到大排雷，因为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是. 故答案为：79. 13. 某数学兴趣小组成员为了测量，两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北75°方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东75°方向上，且距离地2千米，则，两地之间的距离是______千米. 【答案】 【解析】 【分析】应用余弦定理计算可得，两地之间的距离. 【详解】由题意可得，，在的东偏北75°方向，在的北偏东75°方向可得. 中，由余弦定理可得，则千米. 故答案为：. 14. 已知是的重心，的面积是，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形重心得出，结合面积公式计算得解，应用向量关系平方计算应用基本不等式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接. 设的内角的对边分别为. 因为是的重心，所以在线段上，且. 因为的面积是，所以，解得. 因为是的中点，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，则. 因为是的中点，所以，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 【答案】（1） （2）73 （3）180 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （3）根据频率估计概率，即可求解人数. 小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得． 【小问2详解】 由题意，估计平均分分. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为． 16. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可得，从而可证平面； （2）连接，可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 记，连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为，所以. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （2）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可得 ， 令， 解得， 故的单调递减区间为. 小问2详解】 因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 18. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. （1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】（1）和 （2）. 【解析】 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【小问1详解】 设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. 【小问2详解】 设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 （1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； （2）若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 【答案】（1）3 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【小问1详解】 解：如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故 . 因为，所以， 则. 【小问2详解】 解：如图2，设， 则. 因为， 所以 则，解得， 故. 【小问3详解】 证明：如图3， 因为是的等分点，所以 . 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得 故. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$