精品解析：河北省邯郸市广平县广平县实验中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024～2025学年八年级第一学期第一次学情评估 数学（冀教版） 本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的识别，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：A．是整式，不是分式，不合题意； B．是整式，不是分式，不合题意； C．是整式，不是分式，不合题意； D．分母中含有字母，是分式，符合题意． 故选：D． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为0求解即可． 【详解】解：根据题意得． 解得． 故选：A． 3. 将分约分的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据分式的性质约分即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的约分；熟练掌握分式的性质是解题的关键． 4. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式的基本性质是关键；根据分式基本性质化简即可判断． 【详解】解：前三个选项的分子分母不能约分，而，则此选项正确； 故选：D． 5. 关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（ ） A. 逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B. 原命题是真命题 C. 逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D. 逆命题是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了写命题的逆命题，命题真假判断，把命题的条件与结论互换得到逆命题；写出命题的逆命题，判断出真假即可判断． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为：“两直线平行，同旁内角互补”，原命题与逆命题都是真命题，故选项C错误； 故选：C． 6. 把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程的第一步：化分式方程为整式方程，需要两边乘各分母的最简公分母；找出最简公分母即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的最简公分母为，分式方程两边乘这个最简公分母，便可化为整式方程； 故选：B． 7. 已知，能使等式恒成立的运算符号是（ ） A. ＋ B. － C. · D. ÷ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键． 根据分式的除法法则计算，判断即可． 【详解】解：∵， ∴能使等式恒成立的运算符号是， 故选：D． 8. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 9. 嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下的证明过程，淇淇为保证嘉嘉的证明更严谨，想在“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（ ） 已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线分别交直线，，于点，，． ∵，． 又∵，，． A. 嘉嘉的证明严谨，不需要补充 B. 应补充“” C. 应补充“” D. 应补充“” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，读懂证明过程是解题的关键；分析证明过程知，根据等量代换，应补充才完整． 【详解】解：作直线分别交直线，，于点，，． ∵， ． 又∵， ， ∴ ． 故应补充； 故选：C． 10. 某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可． 【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2， 由题意可得：， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 11. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义及分式的运算，找到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每3个为一循环，即可计算并判断． 【详解】解：，，，……； 由此知，每3个为一循环， 而，且， ∴ ； 故选：C． 12. 已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ） ①若有意义，则； ②设，当为正整数时，的值为3或5 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式运算，分式有意义的条件，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 根据分式在意义的条件即可判断①；先表示出y，再表示成，根据y为整数，即可确定x的值，进而可以判断②． 【详解】解：由题意，有意义，则， 即； 故①正确； 由于，且y为正整数， ∴是3的因数， 即或， 得：或1或5或； 但当时，，不合题意，其它三个符合题意； 故②错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 分式与分式的最简公分母是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，分式与分式的分母都是单项式，因此最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积． 【详解】解：分式与分式的最简公分母是， 故答案为：． 14. 为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为______． 【答案】两人每小时共种植7颗花苗 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确分析所列方程是解题的关键；根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为7，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗数的和为， 故应补上条件：两人每小时共种植7颗花苗； 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗． 15. 对于任意两个非零的有理数，，定义新运算“”如下：，例：．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据新运算法则可得，即，代入原式化简即可求解．理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，即，则：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为______． 【答案】或10 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，x的值为或10． 故答案为：或10． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）b 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算和分式乘除运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则进行计算即可； （2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． （1）如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； （2）对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】（1）解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； （2）解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角；是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 【解析】 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后传给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有______； （2）请你写出正确的解答过程； （3）从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）乙、丁 （2） 解：原式 ； （3）当时，分式的值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算，注意运算顺序及计算不要错误； （1）观察四人的计算过程即可作出判断； （2）按照分式的混合运算顺序正确计算即可； （3）使分式有意义的a的值只能取1，把1代入化简后的算式中计算即可． 【小问1详解】 解：观察四人的计算过程，乙分式分子相减时符号错误；丁遗漏了负号；此三人在计算中都出现了不同程度的错误； 故答案为：乙、丁； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由于， 所以， 所以； 当时，原式． 20. 为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空 ①同学甲：设__________，则方程为__________； ②同学乙：设__________，则方程为． （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①购进第一批防护口罩只、2②第一批防护口罩的单价为元；x+2； （2）同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为﹣＝2， 解得x＝200． 经检验x＝200是原方程的解，且符合题意． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×＝． 解得x＝8． 经检验x＝8是所列方程的解， 所以，＝200． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 【解析】 【分析】（1）①根据等量关系：第二批的单价﹣第一批的单价＝2元，设未知数列方程即可；②根据等量关系：第一批防护口罩的单价×3＝第二批防护口罩的单价，设未知数列方程即可； （2）根据（1）中的方程，写出过程即可． 【详解】解：（1）①同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为﹣＝2； ②同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×＝． 故答案是：①药店第一批防护口罩购进了x只；2；②药店第一批防护口罩的单价为x元；x+2； （2） 略 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21. 已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． （1）如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； （2）判断这个命题的真假，并证明． 【答案】（1），；； （2）该命题为真命题， 理由如下： ∵， ∴， ∵，分别平分和，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点， （1）根据题意、结合图形写出已知和求证； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明即可； 熟练掌握命题的真假判断、平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 由图和题意知，，分别平分和，且， 求证：， 故答案为：；；；； 【小问2详解】 略 22. 小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍． （1）①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？ ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为______小时； （2）有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？ 【答案】（1）①小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；② （2）跑步的速度为千米/小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）①设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可； ②根据求出的速度，列式求出结果即可； （2）设小李跑步的速度为千米/小时，根据出发千米后自行车发生故障，跑步去上班，恰好提前5分钟到达，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时； ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为： （小时）； 【小问2详解】 解：小李骑自行车出发千米所用的时间为（小时）， 设小李跑步的速度为千米/小时， 由题意得， 解得：， 答：为了提前5分钟到达，则跑步的速度为千米/小时． 23. 【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 【答案】[类比]增大； [拓展]（1），； （2）当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，注意分类讨论； [类比] 通分后化为，根据条件可判断其符号，进而得到与的大小关系； [拓展] （1）把c的值代入分式中并计算，即可判断与的大小关系； （2）作差：，化简得，就分母的符号，对c分类讨论即可 【详解】解：[类比]： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：[拓展] （1）当时，；当时，； 故答案为：； （2） ， 当时，， ∴ ∴； 当时，， ∴ ∴； 综上，当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了． 24. 现有两块钢板，甲钢板是半径为的圆，如图1所示；乙钢板是半径为的圆中间去掉半径为的小圆后剩下的圆环部分，如图2所示． （1）在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求的值； （2）当压力一定时，物体所受的压强与受力面积的关系式为、现测试甲、乙两块钢板的抗压性，对两块钢板施加相同的压力． ①甲钢板所受的压强______Pa，乙钢板所受的压强______Pa； ②将进行化简；当时，直接写出的取值范围 【答案】（1） （2）①；；②； 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，解方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出两钢板的周长；设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为元；根据甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，列出方程组，消去x即可求得a的值； （2）①分别求出两钢板的面积，则可得两钢板所受的压力； ②两式相比并化简即可；根据化简后的式子，结合a的取值范围，即可确定结果的范围． 【小问1详解】 解：甲钢板的周长为：；乙钢板的周长为：； 设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为元， 由题意得：， 两式相比，消去x得：， 解得：； 即a的值为7； 【小问2详解】 解：①甲钢板的面积为：， 乙钢板的面积为：； 则，； 故答案为：；； ②， ∴； ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年八年级第一学期第一次学情评估 数学（冀教版） 本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 将分约分的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（ ） A. 逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B. 原命题是真命题 C. 逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D. 逆命题是真命题 6. 把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（ ） A. B. C. D. 7. 已知，能使等式恒成立的运算符号是（ ） A. ＋ B. － C. · D. ÷ 8. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（ ） A. B. C. D. 9. 嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下的证明过程，淇淇为保证嘉嘉的证明更严谨，想在“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（ ） 已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线分别交直线，，于点，，． ∵，． 又∵，，． A. 嘉嘉的证明严谨，不需要补充 B. 应补充“” C. 应补充“” D. 应补充“” 10. 某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ） ①若有意义，则； ②设，当为正整数时，的值为3或5 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 分式与分式的最简公分母是____． 14. 为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为______． 15. 对于任意两个非零的有理数，，定义新运算“”如下：，例：．若，则的值为______． 16. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． （1）如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； （2）对顶角是有公共顶点且相等的角． 19. 张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后传给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有______； （2）请你写出正确的解答过程； （3）从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 20. 为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空 ①同学甲：设__________，则方程为__________； ②同学乙：设__________，则方程为． （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 21. 已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． （1）如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； （2）判断这个命题的真假，并证明． 22. 小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍． （1）①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？ ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为______小时； （2）有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？ 23. 【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 24. 现有两块钢板，甲钢板是半径为的圆，如图1所示；乙钢板是半径为的圆中间去掉半径为的小圆后剩下的圆环部分，如图2所示． （1）在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求的值； （2）当压力一定时，物体所受的压强与受力面积的关系式为、现测试甲、乙两块钢板的抗压性，对两块钢板施加相同的压力． ①甲钢板所受的压强______Pa，乙钢板所受的压强______Pa； ②将进行化简；当时，直接写出的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $