精品解析：河北省石家庄市第二十八中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷

数学学科练习 一．选择题（每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ） A. 全等形 B. 稳定性 C. 灵活性 D. 对称性 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的3倍 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 8. 学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”. 小明的做法：原式； 小亮的做法：原式； 小芳的做法：原式． 其中正确的是（ ） A. 小明 B. 小亮 C. 小芳 D. 没有正确的 9. 若a+b=5，则代数式（﹣a）÷（）的值为（　　） A. 5 B. ﹣5 C. ﹣ D. 10. 如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉： 洪洪： 下列判断正确的是（ ） A. 嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B. 洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度 C. 甲队每天修路的长度是40米 D. 乙队每天修路的长度是40米 11. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( ) A. B. C. D. 12. 为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 二、填空题 13. 命题“内错角相等”的逆命题为__________． 14. 若分式的值为0，则的值为_____． 15. 分式，的最简公分母是______ 16. 如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为________． 17. 一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为________小时． 18. 如图，在长方形中，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts． （1）用含t的代数式表示的长__________； （2）在点P，Q运动的过程中，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为________． 三、解答题 19. （1）解方程： （2）化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 20. 人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）． ①；②；③；④． （2）请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ④________． ⑤________． 为的角平分线． 21. 如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， 第5个等式：，…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式； （2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 23. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 24. 如图①，在中，，，点D、E分别在边、上（点D不与点A、B重合），且．连结． 问题原型：将图①中绕点A顺时针旋转，如图②． 求证：． 初步探究：在问题原型的条件下，延长交直线于点G，交直线于点F， 请利用图③探究与的关系，并说明理由． 简单应用：如图③，把图①中的绕点A顺时针旋转，连结和，延长交于点F．若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科练习 一．选择题（每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义，一般地，如果A、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A ，是单项式，故该选项不符合题意； B ，是分式，故该选项符合题意； C ，是多项式，故该选项不符合题意； D ，是单项式，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键． 3. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ） A. 全等形 B. 稳定性 C. 灵活性 D. 对称性 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答； 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行计算， 逐一判断即可解答； 【详解】解：A、，故 A 不符合题意； B、，故 B 符合题意； C、 ， 故C不符合题意； D、 ，故 D 不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键 6. 如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的3倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质，将分式中的和都扩大到原来的3倍，进而化简，即可求解． 【详解】解：∵ ∴分式的值缩小到原来的 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得：， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性． 8. 学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”. 小明的做法：原式； 小亮的做法：原式； 小芳的做法：原式． 其中正确的是（ ） A. 小明 B. 小亮 C. 小芳 D. 没有正确的 【答案】C 【解析】 【详解】 = = = = =1． 所以正确的应是小芳． 故选C． 9. 若a+b=5，则代数式（﹣a）÷（）的值为（　　） A. 5 B. ﹣5 C. ﹣ D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】∵a+b=5， ∴原式 故选：B． 【点睛】考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法则是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用． 10. 如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉： 洪洪： 下列判断正确的是（ ） A. 嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B. 洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度 C. 甲队每天修路的长度是40米 D. 乙队每天修路的长度是40米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 根据两人的方程思路，可得出：表示甲队每天修路的长度；表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间；即可求解． 【详解】解：洪洪是根据时间相等列出的分式方程， 表示甲队每天修路的长度，故选项B错误，不符合题意； ， 解分式方程得：， 检验：为分式方程的解， ∴甲队每天修路的长度是40米，故选项C正确，符合题意；选项D错误，不符合题意； 嘉嘉是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程， 表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间，选项A错误，不符合题意； 故选：C． 11. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断． 【详解】解：A.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C. 如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； D. 如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C， ∴△BDE≌△CEF， 所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意； 由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键． 12. 为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 二、填空题 13. 命题“内错角相等”的逆命题为__________． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是内错角 【解析】 【分析】本题考查逆命题的定义，将原命题的条件与结论互换就得到其逆命题． 【详解】解：逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角 ． 14. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 15. 分式，的最简公分母是______ 【答案】 【解析】 【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：， 则最简公分母为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 16. 如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 17. 一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据题意写代数式并化简，理清题意写出代数式是解答本题的关键． 根据“工作量工作效率工作时间”得甲的工作效率是，乙的工作效率是，则可求得两人合作需要的时间． 【详解】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是， 两人合作需要的时间是：． 故答案为： 18. 如图，在长方形中，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts． （1）用含t的代数式表示的长__________； （2）在点P，Q运动的过程中，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了列代数式和全等三角形的性质，根据动点的运动方向、速度和时间列出相关线段长即可． （1）由题意得：，根据即可求解；（2）分类讨论当 当时，两种情况即可求解； 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）由题意得：， 当时，有， 即：， 解得：； 当时，有， 即：， 解得：； 故答案为：或 三、解答题 19. （1）解方程： （2）化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】（1）无解（2），2 【解析】 【分析】本题考查了求解分式方程以及分式的化简求值，注意计算的准确性即可． （1）方程两边都乘，将分式方程化为整式方程即可求解； （2）利用分式的混合运算法则即可化简，结合分母不为零代入满足条件的值即可求解； 【详解】解：（1）方程两边都乘得： 整理得：， 解得：， 检验：∵当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程的无解； （2）原式 ， ∵不等式的非负整数解为0，1，2， 又∵，， ∴把代入得：原式． 20. 人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）． ①；②；③；④． （2）请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ④________． ⑤________． 为的角平分线． 【答案】（1）① （2）① ② ③ ④ ⑤ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线尺规作图，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法得出基本依据； （2）证明为的角平分线，即证明，可以通过证明． 【小问1详解】 解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS． 故答案为：①； 【小问2详解】 解：由作图可知：，， 在和中， ， ， 为的角平分线， 故答案为：①；②；③；④；⑤． 21. 如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质和平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据题意证明出，进而得到； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中， ， ． 22. 观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， 第5个等式：，…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式； （2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式． （2）猜想的第n个等式为：．利用分式运算进行证明即可． 【小问1详解】 第6个等式：； 【小问2详解】 猜想的第n个等式为： 证明如下： 左边， 右边， 左边=右边 ∴ 【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题． 23. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】（1）上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤 （2）生物老师至少要再购买20斤洋葱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤， 根据题意可列方程： 解得 经检验：是原方程的根且符合题意． 答：上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤 【小问2详解】 解：设生物老师还需再购买洋葱m斤 则有 解得 答：生物老师至少要再购买20斤洋葱． 24. 如图①，在中，，，点D、E分别在边、上（点D不与点A、B重合），且．连结． 问题原型：将图①中绕点A顺时针旋转，如图②． 求证：． 初步探究：在问题原型的条件下，延长交直线于点G，交直线于点F， 请利用图③探究与的关系，并说明理由． 简单应用：如图③，把图①中的绕点A顺时针旋转，连结和，延长交于点F．若，则______． 【答案】问题原型： 证明：如图②，由旋转的性质可知，， 在和中， ， ∴； 初步探究： 解：． 理由如下：如图③， 由问题原型可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 简单应用：． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．问题原型：根据旋转的性质和已知，运用证明即可；初步探究：由问题原型中的结论：得出，，进而得到，从而得到与的位置关系；简单应用：由初步探究可知，，再由三角形内角和定理即可求的度数． 【详解】问题原型：略 初步探究： 略 简单应用： 解：由初步探究可知，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $