精品解析：浙江省温岭市新河中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性考试数学试题

浙江省温岭市新河中学高二数学10月阶段性考试 试题卷 一、单选题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 1. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）． A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 3. 已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或-3 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 4. 设椭圆，若四点，，，中恰有三点在椭圆上，则不在上的点为（ ）． A B. C. D. 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，弦过，若的内切圆的周长为，A、B两点的坐标分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线对称点为 C. 直线关于直线的对称直线的方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为 8. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A. 若Р在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2 B. 四点O、A、P、B共圆 C. 直线AB的方程为 D. 若，则的最大值为 9. 如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 三.填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 10. 直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则的内切圆的方程为_____________. 11. 已知直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是 ___． 12. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点M在直线上，则椭圆的离心率为_______. 13. ，分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为_______. 四.解答题：本题3小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）． （1）求圆C方程； （2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程． 15. 已知椭圆：，过点的直线，与椭圆分别交于点，和，．记直线斜率为．直线的斜率为． （1）若直线，关于直线对称，证明：为定值； （2）已知点，当时，求面积的最大值． 16. 已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知圆上任意一点处切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省温岭市新河中学高二数学10月阶段性考试 试题卷 一、单选题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 1. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 2. 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）． A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点在圆外，， 圆心到直线距离， 直线与圆相交. 故选B. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或-3 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解D. 【详解】：,令且，解得，故直线过点，A正确； 当时，：和直线：，故，重合，故B错误； 由，得或2，故C正确； ：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：B 4. 设椭圆，若四点，，，中恰有三点在椭圆上，则不在上的点为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，关于y轴对称，利用椭圆的对称性，椭圆必经过，，得到，再根据，得到椭圆不经过的结论. 【详解】因为，关于y轴对称， 所以椭圆经过，， 所以， 当在椭圆上时，， 解得， 椭圆方程为：成立. 因为， 所以椭圆不经过， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，弦过，若的内切圆的周长为，A、B两点的坐标分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．可得==•|F1F2|，即可得出． 详解】由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3． 如图所示， 设的内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=． 则==•|F1F2|， ∴ 2a=|y2﹣y1|×2c， ∴| y2﹣y1|==． 故选：C 6. 已知椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化题干条件为F点到P点与A点的距离相等，即|FA|= 又，故，求解即可 【详解】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等 即|FA|= 又 解得或（舍） 又 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 7. 下列说法正确是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线关于直线的对称直线的方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，求出与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对C，求出直线的对称直线即可判断；对D，可得直线过原点的情况. 【详解】对A，直线与两坐标轴交于，，所以围成的三角形面积为，故A正确； 对B，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对C，联立直线方程可得交点坐标，任取直线上点，设其对称点为，则，解得，故对称直线的斜率为，故方程为，即，故C错误. 对D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误. 8. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A. 若Р在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2 B. 四点O、A、P、B共圆 C. 直线AB的方程为 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离后可求四边形OAPB的面积有最小值，故可判断A的正误，利用对角为一对直角可判断B的正误，利用切点弦的计算方法可判断C的正误，利用向量的数量积可求得，从而可求的最大值，故可判断D的正误. 【详解】 对于A，，而， 故，所以四边形OAPB的面积有最小值，故A错误. 对于B，因为，故四点O、A、P、B共圆，故B正确. 对于C， 由B得到在以为直径的圆上， 此圆的方程为：， 故即， 故C正确. 对于D，因为，故即， 所以即，故， 故即，当且仅当， 故的最大值为. 故选：BCD. 9. 如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意先得出和，由内角平分线定理和椭圆的定义可得和，由余弦定理即可得出离心率的范围，结合选项可得结果. 【详解】∵，∴，，则. ∵是的角平分线，∴， 又， ∴，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， 解得. 故选：CD. 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用内角平分线定理和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题. 三.填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 10. 直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则的内切圆的方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆与坐标轴相切（圆心在第一象限），设的内切圆的圆心为，则半径为.由圆心到切线的距离等于半径求得，从而得圆方程． 【详解】由题意设的内切圆的圆心为，则半径为. 直线l的方程可化为， 由题意可得，解得或（不符合题意，舍去）. ∴内切圆的方程为. 故答案为：. 11. 已知直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同公共点，则k的取值范围是 ___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），求出直线与圆相切时k的值，再根据已知即可的解. 【详解】解：由得， 所以曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴）， 直线y＝k（x+2）过定点， 当直线直线y＝k（x+2）与圆相切时， 圆心到直线的距离，解得， 因为直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点， 所以k取值范围是. 故答案为：. 12. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点M在直线上，则椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段的中点M的坐标，根据点M在直线上求解. 【详解】设， 由得， 由韦达定理得， 所以线段的中点M， 又M在直线上， 所以， 即， 所以， 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. ，分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的性质可得，即可根据焦点三角形的性质得，由基本不等式即可求解. 【详解】∵四边形为菱形，周长为，∴，故， 由椭圆的定义可知， ∵，∴， ∴，当且仅当时等号成立， 故答案为: 四.解答题：本题3小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程．(2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离，讨论k存在和不存在两种情况. 【详解】（1）由已知，得圆心在经过点P（4，0）且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上， 所以求得圆心C（2，1），半径为． 所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5． （2）①当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，即. 因为|MN|=2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d=2 ,解得，所以直线, ②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意 综上直线l为或x=4 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆的弦长求直线的方程，注意讨论k存在和不存在两种情况，属于中档题． 15. 已知椭圆：，过点的直线，与椭圆分别交于点，和，．记直线斜率为．直线的斜率为． （1）若直线，关于直线对称，证明：为定值； （2）已知点，当时，求面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）设与轴交点为，根据对称性易得与轴交点为，结合P坐标，应用斜率的两点式求，即可证结论. （2）由题意设：，联立椭圆方程由韦达定理可得，，进而利用弦长公式、点线距离公式求、到直线的距离，即可得面积关于的函数，最后由基本不等式求面积的最大值. 【详解】（1）设与轴的交点为，由，则． 又，关于直线对称，则与轴的交点为， 于是，， ∴为定值1． （2）设直线的方程为：， 联立，得：， ． ∴，， ∴． 点到直线的距离， ， 由，故当且仅当，即时，上式取等号． ∴时，面积的最大值为． 16. 已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知圆上任意一点处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】（1）；（2）动点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义得到点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆，进而求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）设，得到直线的方程，进而得到，联立方程组，求得动点在定直线上；当时，求得，即可得到动点在定直线上． 【详解】（1）由题意，点，，动点满足， 根据椭圆的定义知点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆 设椭圆方程为：，则，所以， 曲线的方程为：． （2）设，可得直线的方程为： 当时，， 所以的斜率为，可得， 由与的方程联立，消得， 可得，解得， 所以动点在定直线上， 当时，可得，此时，， 联立方程组，可得，此时在直线上， 综上所述，动点在定直线上． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定直线问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$