精品解析：陕西省西安爱知初级中学2024-—2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

初三上学期数学学科第二次月考试题 一、选择题（共8小题，每题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变．据此求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 5. 已知，直线和关于直线对称，若的解析式为，则的解析式是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴交点问题，先求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用对称性求出直线经过的点坐标，再利用待定系数法求出解析式 【详解】解：令中得；令得 ∴直线过点 ∵直线与直线关于直线对称， ∴直线过点， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式是, 故选A 6. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 7. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．根据条件得出正方形边长为5，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴M是的中点， 在正方形中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 在中，M是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 8. 下列关于一次函数的判断，正确的是（ ） A. 当时，该函数图象经过一、三、四象限 B. 点，点在该函数的图象上，若，则 C. 若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D. 若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可． 【详解】解：一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误； 一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误； 函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误； 若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 关于x的一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 10. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案． 【详解】∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴对应高线的比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若一次函数的图象上有两点，点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，把A、B的坐标代入一次函数解析式得，，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 根据题意得，， ， 故答案为：． 13. 如图，中，，D为的中点，，，连接交于点G，交于点H，若，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，证明四边形是平行四边形，可得出，，进而可证明，利用相似三角形的性质可得出，证明，利用相似三角形的性质可得出，设，则，，证明，可得出，代入，可求出，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵中，，D为的中点，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计71分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，先计算负整数指数幂和立方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2025 【解析】 【详解】本题考查了整式的运算，先把括号内利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类项，再计算除法，最后把m 、n的值代入计算即可． 解： ， 当，，原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，首先进行去分母，将分式方程转化成整式方程，然后进行求解，最后进行验根． 【详解】解：去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 17. 如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得线段将分成的两个小三角形相似．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】 如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，过C作于点D，然后利用相似三角形的判定证明和相似即可． 【详解】 由作图知：， ∴， 又， ∴， ∴． 18. 如图，在和中，，，，点E在线段上，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，然后利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽为6米． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 20. 小华一家暑假来西安旅游，通过网上查阅，小华初步打算在下面几个博物馆中选择参观：陕西省历史博物馆（A），秦始皇帝陵博物院（B）， 西安碑林博物馆（C），陕西考古博物馆（D），西安博物院（E）． （1）若妈妈随机选择1个博物馆，则他们家去陕西省历史博物馆的概率是________ （2）若爸爸决定选两个博物馆参观，请用列表或画树状图的方法，求他们去陕西考古博物馆的概率？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：妈妈随机选择1个博物馆，则他们家去陕西省历史博物馆的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下：     A B C D E A B C D E 由表可知，共有20种等可能结果，其中他们去陕西考古博物馆的等可能结果有8种， ∴他们去陕西考古博物馆的概率为． 21. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 【答案】牌坊的高度11米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即牌坊的高度11米． 22. 爱知中学初二年级有400名男生，为增强体质，拟在初二男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动． （1）A调查组从初二体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初二所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中________(填“A”或“B”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初二男生引体向上的水平； （2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下： 成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15 人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1 请计算此测试成绩的平均成绩是多少？ （3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初二男生引体向上的合格标准，请估计该校初二有多少名男生不能达到合格标准． 【答案】（1）B （2）7 （3）60人 【解析】 【分析】本题考查了随机调查，平均数，中位数以及利用样本估计总体，读懂题意，理解概念是解题的关键． （1）根据随机调查要具有代表性考虑即可求解； （2）利用加权平均数公式计算即可； （3）先求出中位数，然后根据中位数确定样本中不合格的百分比，再乘以该校初一男生的总人数即可求解． 【小问1详解】 解：∵随机调查要具有代表性， ∴从初二所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，能较好地反映该校初二男生引体向上的水平状况， 故答案为：B； 【小问2详解】 解：， ∴此测试成绩的平均成绩是7； 【小问3详解】 解：这组数据排序后，中位数应该是第10，11两个人成绩的平均数，而第10，11两人的成绩都是5， ∴这组测试成绩的中位数为， ∵测试成绩的中位数5作为该校初一男生引体向上的合格标准， ∴这组测试成绩不合格的人数有3人， ∴不合格率为， ∴该校初一男生不能达到合格标准的人数为人． 23. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … t（） 0 2 6 8 … h（） 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次数据是不准确的． （2）求h（）与t（）的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】（1）第（4）次数据是不准确的 （2）即当水位为时，对应时间是 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第（4）次数据是不准确的； 【小问2详解】 设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 24. 已知，四边形中，，，点E，F是对角线所在直线上的两点，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，延长交于点N，若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接交于O， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）先证明四边形是平行四边形，得出，，进而得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，再根据勾股定理求出，，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴． 25. 如图1，直线交坐标轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，的面积． （1）直接写出点C的坐标________； （2）求直线的解析式； （3）如图2，点D，E分别是边，上的动点，将沿折叠，使得点A落在边上的F处，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出A、B的坐标，然后利用三角形面积公式求出，即可求出点C的坐标； （2）设直线的解析式为，然后把B、C坐标代入求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴，， 设， 由折叠知：， 根据题意，得， 则当与相似时，有两种情况： ①， ∴，即， 解得， ∴； ② ∴，即， 解得， ∴， 综上，E的坐标为或． 26. （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）证明，可得到； （2）连接，证明，可得到； （3）作，设，那么，那么，因为，，，那么，最后利用配方法求得的最值． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示 四边形是正方形 ， 为等腰直角三角形， ， （3）作交于，不妨设，如图所示： 由（2）可知， 那么为等腰直角三角形 那么 ，， 时，最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上学期数学学科第二次月考试题 一、选择题（共8小题，每题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，直线和关于直线对称，若的解析式为，则的解析式是 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 下列关于一次函数的判断，正确的是（ ） A. 当时，该函数图象经过一、三、四象限 B. 点，点在该函数的图象上，若，则 C. 若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D. 若关于的方程的解是，则的图象恒过点 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 关于x的一元二次方程的解为________． 10. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______． 11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 12. 若一次函数的图象上有两点，点，若，则__________． 13. 如图，中，，D为的中点，，，连接交于点G，交于点H，若，，则_________ ． 三、解答题（共13小题，计71分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得线段将分成的两个小三角形相似．(不写作法，保留作图痕迹) 18. 如图，在和中，，，，点E在线段上，求证：． 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 20. 小华一家暑假来西安旅游，通过网上查阅，小华初步打算在下面几个博物馆中选择参观：陕西省历史博物馆（A），秦始皇帝陵博物院（B）， 西安碑林博物馆（C），陕西考古博物馆（D），西安博物院（E）． （1）若妈妈随机选择1个博物馆，则他们家去陕西省历史博物馆的概率是________ （2）若爸爸决定选两个博物馆参观，请用列表或画树状图的方法，求他们去陕西考古博物馆的概率？ 21. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 22. 爱知中学初二年级有400名男生，为增强体质，拟在初二男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动． （1）A调查组从初二体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初二所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中________(填“A”或“B”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初二男生引体向上的水平； （2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下： 成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15 人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1 请计算此测试成绩的平均成绩是多少？ （3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初二男生引体向上的合格标准，请估计该校初二有多少名男生不能达到合格标准． 23. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … t（） 0 2 6 8 … h（） 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次数据是不准确的． （2）求h（）与t（）的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 24. 已知，四边形中，，，点E，F是对角线所在直线上的两点，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，延长交于点N，若，求的值． 25. 如图1，直线交坐标轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，的面积． （1）直接写出点C的坐标________； （2）求直线的解析式； （3）如图2，点D，E分别是边，上的动点，将沿折叠，使得点A落在边上的F处，当与相似时，求点E的坐标． 26. （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $