热点专题6-1 平面向量重难点题型【17类题型汇总】- 2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） 专题6-1 向量重难点题型汇总（17类题型） 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第3题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点 (1)向量的有关概念 (2)向量的线性运算和向量共线定理及其推论 (3)投影向量 (4)平面向量的坐标表示及坐标运算 (5)平面向量的数量积及其几何意义 2024年甲卷(理)第9题，5分 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年乙卷(理)第12题，5分 2022年北京卷第10题，5分 2020年新高考I卷，第7题,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 2 【题型2】 向量的垂直与共线 3 【题型3】 向量的夹角与模长计算 4 【题型4】投影向量 6 【题型5】用其他向量表示已知向量 7 【题型6】平面向量共线定理 9 【题型7】平面向量共线定理的推论 10 【题型8】极化恒等式求数量积 13 【题型9】投影法求数量积 16 【题型10】拆分向量求数量积 18 【题型11】建立坐标系解决向量问题 20 【题型12】三角形四心的识别 23 【题型13】向量的四心运算 26 【题型14】等和线问题 28 【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值 32 【题型16】奔驰定理 34 【题型17】向量中的隐圆问题 37 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能 5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 6、向量相等具有传递性,即若,则。而向量的平行不具有传递性,即若,未必有。因为零向量平行于任意向量,当时,可以是任意向量,所以与不一定平行。但若,则必有 1． （多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 2． 有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习1】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【题型2】 向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． （2）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （3） （4）若，则 向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 3． 向量，，，若∥，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【巩固练习1】已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【巩固练习2】设向量，，其中. (1)若，求实数x的值；(2)已知且，若，求的值域. 【巩固练习3】（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【题型3】 向量的夹角与模长计算 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 注意：涉及这类条件时一般要进行平方 4． 已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 5． 已知向量满足，则 6． 已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7． 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 【巩固练习1】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是________ 【巩固练习2】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 . 【巩固练习4】已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【巩固练习5】（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 【题型4】投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 8． 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 9． （2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10． 已知向量，则在方向上的投影向量为 . 11． 已知点、、、，则向量在方向上的投影向量的模长为 A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ） A．1 B． C． D． 【巩固练习2】已知，是与方向相同的单位向量.若向量在方向上的投影向量是，则______. 【巩固练习3】若向量，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型5】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在中，D是BC上的点，如果，则 12． 在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 13． 若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 14． 如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（ ） A． B． C． D． 15． 已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ） A．7 B．6 C．3 D．2 【巩固练习1】如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习3】已知在中，是边的中点，且，设与交于点．记，． (1)用，表示向量，； (2)若，且，求的余弦值． 【题型6】平面向量共线定理 平面向量共线定理：三点，，共线，共线（功能：证明三点共线） 16． 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 17． 已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 18． 如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.    求证：M，N，C三点共线. 【巩固练习1】已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【巩固练习2】已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【巩固练习3】如图，在中，．    (1)用，表示，； (2)若点满足，证明：，，三点共线． 中档题型 【题型7】平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理的推论——系数和为1： 已知 ①若，则三点共线； ②若则三点共线，则. 证明 证明①:由A，B，C三点共线. 由得：. 即，共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.即，则有. 19． 在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______. 20． （深圳二模）已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 21． 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 22． 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则________；的最小值为________. 2024届·湖南师大附中月考（二） 23． 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【巩固练习1】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 【巩固练习2】江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一) 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【巩固练习3】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【巩固练习4】在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 【巩固练习5】如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 . 【巩固练习6】已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【题型8】极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为，所以 24． 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2022·北京高考T10——隐圆+极化恒等式 25． 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2024届长沙一中月考（二） 26． 已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为 ． 27． （2017年全国2卷（理）T12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 28． （2019江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________． 【巩固练习1】如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（    ） A．13 B．7 C．5 D．3 【巩固练习2】如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【巩固练习3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝，M点是线段AC一动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则的最小值为（ ） 【巩固练习4】平行四边形ABCD中，，点P满足，则________． 【巩固练习5】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为 ． 【巩固练习6】已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习7】半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________． 【巩固练习8】（等和线+极化恒等式）正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 【巩固练习9】在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为　　；若为常数且，则的长度是　　． 【题型9】投影法求数量积 投影法求数量积 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 29． （2020·新高考1卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30． 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是 　　 2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值 31． 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为________ 【巩固练习2】平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（    ） A．13 B．7 C．14 D． 【巩固练习3】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    【题型10】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 32． 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（    ） A． B． C．4 D．8 33． 如图在平行四边形中，已知，，，则的值是 . 34． 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 . 35． 在平面四边形中，，，，，.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【巩固练习1】在中，，，，则边上中线的长为_____. 【巩固练习2】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 【巩固练习3】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________． 【巩固练习4】（向量的拆分）如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11】建立坐标系解决向量问题 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 36． 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=_______. 37． 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______ 38． （2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ． 39． 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则 40． （2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 41． 给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若，其中、，则的最大值为 ． 【巩固练习1】如图，正八边形中，若，则的值为 ． 【巩固练习2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 . 【巩固练习3】菱形的边长为，中心为O，，M为菱形ABCD的内切圆上任意一点，且，则的最大值为 . 【巩固练习4】（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 【巩固练习5】已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ． 【题型12】三角形四心的识别 1、若O为△ABC重心 （1）； （2）； （3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （5）重心坐标为：. 2、若O为△ABC垂心 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、若O为△ABC内心 （1） （2） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 4、若O为△ABC外心 （1）； （2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； （3）若，则是的外心； 42． 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 43． 已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 44． 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的外心 B．若，则I是的内心 C．若，则P是的垂心 D．若，则N是的重心 45． 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 46． （多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点O是的重心 B．若，则点O是的内心 C．若，则点O是的外心 D．若，则点O是的垂心 【巩固练习1】点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【巩固练习2】已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【巩固练习3】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【题型13】向量的四心运算 基本思路：利用三角形外心、内心、垂心的几何特征，结合向量运算的几何意义计算求值 47． 设为的外心，，，则 ． 48． （高一下·湖北武汉·期末）中，，，，点为的外心，若，则实数 ． 49． 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则 ， . 50． 已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 51． （多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 52． 已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为 . 【巩固练习1】在中，，，若点G是的重心，则 . 【巩固练习2】（2023高一下·山东青岛·期末）记的三个内角的对边分别为，，，且，，若是的外心，则 ． 【巩固练习3】（2023高一下·广东珠海·期末）在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 . 【巩固练习4】已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 【巩固练习5】（多选）在中，下列说法正确的是（    ） A．若点H满足，则点H是的外心 B．若，则AP所在直线经过的内心 C．若，，，则的范围为 D．若，，，，则 【巩固练习6】（2023高一下·湖北武汉·期末）已知是边上的点，且为的外心，则的值为（    ） A． B．10 C． D．9 【巩固练习7】在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 压轴题型 【题型14】等和线问题 和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1．当等和线恰为直线AB时，k等于1． 2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1．当等和线恰为直线AB时，k等于1． 2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 2017全国3卷（理）T12 53． 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 2020年江苏省高考 54． 在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为　　；若为常数且，则的长度是　 　． 55． 如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________． 56． 给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 【巩固练习1】2024届·湖南师大附中月考（二） 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【巩固练习2】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【巩固练习3】直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3 【巩固练习4】（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 【巩固练习5】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【巩固练习6】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为________ 【巩固练习7】如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．    【巩固练习8】（多选）已知四边形是边长为1的菱形，，动点在菱形内部及边界上运动，设，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C． D．当时，点的轨迹长度是 【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值 （1）已知，则是三点共线的充要条件 （2）结合基本不等式乘“1”法求出最值 57． 在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 . 58． 如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 59． 在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为. （1）求； （2）求证：； （3）求的取值范围. 【巩固练习1】如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则 ；求的最小值为 . 【巩固练习3】如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 【巩固练习4】经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 【题型16】奔驰定理 （1）奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 （2）三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 60． “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【巩固练习1】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（    ）． A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【巩固练习2】（多选）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 【巩固练习3】（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【题型17】向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 61． 平面内非零向量a，b，c，有，，ab＝0且，则的最大值为______． 62． 已知是平面内两个互相垂直单位向量，若向量满足，则的最大值为_______. 63． 已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________ 【巩固练习1】2024届湖南师大附中高三开学考 在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为 . 【巩固练习2】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【巩固练习3】已知平面内非零向量，满足，，，若，则的取值范围是_______. 【巩固练习4】设向量a，b，c满足，，，则|c|的最大值等于______. 【巩固练习5】已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 . 试卷第6页，共18页 第10/38页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） 专题6-1 向量重难点题型汇总（17类题型） 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第3题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点 (1)向量的有关概念 (2)向量的线性运算和向量共线定理及其推论 (3)投影向量 (4)平面向量的坐标表示及坐标运算 (5)平面向量的数量积及其几何意义 2024年甲卷(理)第9题，5分 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年乙卷(理)第12题，5分 2022年北京卷第10题，5分 2020年新高考I卷，第7题,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 2 【题型2】 向量的垂直与共线 4 【题型3】 向量的夹角与模长计算 7 【题型4】投影向量 9 【题型5】用其他向量表示已知向量 12 【题型6】平面向量共线定理 16 【题型7】平面向量共线定理的推论 18 【题型8】极化恒等式求数量积 27 【题型9】投影法求数量积 37 【题型10】拆分向量求数量积 42 【题型11】建立坐标系解决向量问题 47 【题型12】三角形四心的识别 56 【题型13】向量的四心运算 64 【题型14】等和线问题 74 【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值 85 【题型16】奔驰定理 91 【题型17】向量中的隐圆问题 99 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能 5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 6、向量相等具有传递性,即若,则。而向量的平行不具有传递性,即若,未必有。因为零向量平行于任意向量,当时,可以是任意向量,所以与不一定平行。但若,则必有 1． （多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 【答案】BC 【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可. 【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同； 对于B，由平面向量相等可得B正确； 对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形； 当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确； 对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误； 故选：BC 2． 有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B. 【巩固练习1】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0 【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC 【题型2】 向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． （2）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （3） （4）若，则 向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 3． 向量，，，若∥，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标表示得到关于、的方程组进行求解. 【详解】由题意，得 ，， 因为，所以，解得， 则， 即，解得，故. 【巩固练习1】已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案. 【详解】由，则，即，解得， 故， 故选：D. 【巩固练习2】设向量，，其中. (1)若，求实数x的值； (2)已知且，若，求的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解. (2)由向量垂直的坐标表示求出，再借助数量积建立函数关系求解作答. 【详解】（1）因向量，，则， 又，则有，即，于是得， 而，解得， 所以实数x的值是. （2）因为且，则，即，有， ，因，则，，即，所以的值域. 【巩固练习3】（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【题型3】 向量的夹角与模长计算 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 注意：涉及这类条件时一般要进行平方 4． 已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由数量积公式结合得出答案. 【详解】解：因为向量与的夹角为， 所以 所以 5． 已知向量满足，则 【答案】 【解析】可得， 故 6． 已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与垂直，故，解得，则, ，设与夹角为，则.故选：A. 7． 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 【答案】且 【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可. 【详解】向量，，由得，，所以. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，所以. 又不共线，则.所以x的取值范围为且. 故答案为：且. 【巩固练习1】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是________ 【答案】且 【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，，得. 向量，共线时，，得.此时. 所以且. 【巩固练习2】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 由， 所以， 即，设与夹角为， 则，又，所以 【巩固练习3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 . 【答案】 【解析】由两边平方得，， ，解得 【巩固练习4】已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【答案】 【详解】由题知，又，表示两个夹角为的单位向量， 所以 【巩固练习5】（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】由，可得，即，解得， 因为，所以， 又因为，所以． 故答案为：. 【题型4】投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 8． 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】在向量上的投影向量为. . 9． （2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可设，则， 所以，又， 故在上的投影向量为 10． 已知向量，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】 在方向上的投影向量为 故答案为： 11． 已知点、、、，则向量在方向上的投影向量的模长为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】=（2，1），=（5，5），则向量在向量方向上的射影为 【巩固练习1】已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】在方向上的投影向量为，故选：D 【巩固练习2】已知，是与方向相同的单位向量.若向量在方向上的投影向量是，则______. 【答案】 【分析】先求得在方向上的投影，再乘以与方向相同的单位向量，即得到投影向量，利用向量的数量积运算即可得到的值. 【详解】设与的夹角为，则在方向上的投影为， 所以向量在方向上的投影向量为，故， 故. 【巩固练习3】若向量，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知向量， 因为，所以，得，所以，， 又，所以， 所以在上的投影向量为：，故选：A. 【巩固练习4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 【题型5】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在中，D是BC上的点，如果，则 12． 在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出. 【详解】根据题意如下图所示： 根据向量加法法则可知，又，所以 即， 可得.故选：A 13． 若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设，即， 则有，解得，则. 14． 如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 又，，， 又，，.故选：B. 15． 已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，，故.故选：A． 【巩固练习1】如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，即.故选：C. 【巩固练习2】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得. 【详解】因为是的中点，所以． 所以，所以，所以． 【巩固练习3】已知在中，是边的中点，且，设与交于点．记，． (1)用，表示向量，； (2)若，且，求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量的基底与三角形法则即可用，表示向量，； （2）由得，代入向量数量积公式即可求得的余弦值. 【详解】（1） （2）∵三点共线，由得， ，即， ∴， ∴，∴的余弦值为. 【题型6】平面向量共线定理 平面向量共线定理：三点，，共线，共线（功能：证明三点共线） 16． 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【答案】6 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因，，则， 又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得， 所以. 故答案为：6 17． 已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解. 【详解】解：, 所以A，D，C三点共线. 故选:C. 18． 如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.    求证：M，N，C三点共线. 【详解】设， 则 所以， 又因为有公共起点C，所以M，N，C三点共线. 【巩固练习1】已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【答案】B 【解析】，， ， ，， 由平面向量共线定理可知，与为共线向量， 又与有公共点，，，三点共线，故选：B． 【巩固练习2】已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】对A，, 所以，则三点共线，A正确； 对B，, 则不存在任何，使得，所以不共线,B错误； 对C，, 则不存在任何，使得，所以不共线，C错误； 对D，, 则不存在任何，使得，所以不共线，D错误 【巩固练习3】如图，在中，．    (1)用，表示，； (2)若点满足，证明：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可. （2）利用三点共线的判定证明即可. 【详解】（1）因为， ， . （2）由， 可得， 所以，，即， 所以，，三点共线. 中档题型 【题型7】平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理的推论——系数和为1： 已知 ①若，则三点共线； ②若则三点共线，则. 证明 证明①:由A，B，C三点共线. 由得：. 即，共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.即，则有. 19． 在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基底向量表示出，再借助平面向量基本定理列式计算作答. 【详解】在中，由得：，因为P是BN上的一点，则有， 即，， 又，且不共线，于是得，解得， 所以实数m的值为. 20． （深圳二模）已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 【详解】依题意、、三点共线，故， 所以 ， 又、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得， 所以，又，所以， 所以有序数对. 21． 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 【详解】因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以， 所以，即， 故答案为：. 22． 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则________；的最小值为________. 【答案】，6 【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得 【详解】因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 2024届·湖南师大附中月考（二） 23． 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D. 【详解】为正实数，， ，而共线，    ， 当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最小值为4，C正确； 又， 由于为正实数，，则， 则，时取最大值， 当趋近于0时，可无限趋近于0， 故，故无最大值，D错误， 【巩固练习1】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 【答案】 【简析】 【巩固练习2】江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一) 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 【详解】因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以， 所以，即 【巩固练习3】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据及三点共线结论求得的值. 【详解】因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以，所以. 【巩固练习4】在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【详解】 因为，所以， 则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点， 所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 【巩固练习5】如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】平面向量基本定理，借助三点共线，找出的关系式，的最值利用消元法求解范围即可. 【详解】平面向量基本定理，借助三点共线可知： ， 得 解得 ，所以 【巩固练习6】已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【题型8】极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为， 所以 24． 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 2022·北京高考T10——隐圆+极化恒等式 25． 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 法一：极化恒等式 取AB中点M，，，，则 法二：建系法 意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即 2024届长沙一中月考（二） 26． 已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设正四面体外接球球心为O，把用表示并计算数量积后可得． 【详解】设正四面体外接球球心为O， 正四面体的外接球半径为3， 设正四面体内切球半径为，一个面的面积为，高为，则，所以，显然，所以，即． ． 故答案为：． 27． （2017年全国2卷（理）T12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 法一：极化恒等式 取BC中点D，则 则 再去AO中点M， 当时取到最小值，故 法二：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 28． （2019江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________． 【答案】 【解析】极化恒等式 ， 解得，故. 【巩固练习1】如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（    ） A．13 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果． 【详解】连结 ，则， ，， 所以 . 【巩固练习2】如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【答案】/-0.75 【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值. 【详解】由题菱形边长为2， 则，，所以， 又因为， 所以， 所以， 令， 则， 所以， 则当时，取最小值为. 【巩固练习3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝，M点是线段AC一动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则的最小值为（ ） 【答案】B 【解析】 【巩固练习4】平行四边形ABCD中，，点P满足，则________． 【答案】3． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝＝ ＝＝ ∵＝＝8， ∴＝＝ === ==8-5=3．故答案为：3． 【巩固练习5】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为的中点，为的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形中，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为： 【巩固练习6】已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 思路二：极化恒等式取EF中点D 则 而，即，故 思路二：拆分 ， 设的中点为，在半径为的圆中，，得，， ， 即， 当与反向共线时，取得最小值； 当与同向共线时，取得最大值； 即的取值范围是 【巩固练习7】半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】结合图像＋极化恒等式 易知，且，由平行四边形性质可知□ABOC为菱形，且△ABO与△ACO均为等边三角形． 取AO中点M，由极化恒等式得 ∴，易知， ∴的范围是 【巩固练习8】（等和线+极化恒等式）正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】设,可知Q在直线BC上，P为线段中点，过P作BC平行线，显然P点在直线上，. 【巩固练习9】在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为　　；若为常数且，则的长度是　　． 【解答】解：当为中点时， 在中，，，，则， 所以，又， 所以， 即当为中点时，的长度为． 为常数且， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系， 则，， 由， 整理得， ，，，． 由，得，解得或（舍． 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程可得，． 即，， ． 的长度是． 故答案为：；． 【题型9】投影法求数量积 投影法求数量积 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 29． （2020·新高考1卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是 30． 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是 　　 【答案】6 【详解】设C在AB上的投影为G，则，过点O作AB平行线交圆于H，当C点在H时，有最大值，. 2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值 31． 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 法一：投影法 取PO中点E，，将P，A，O看成定点，则D为圆E上的定点 作DH⊥PA，则，当DH∥AO时取到最值 取PA中点G 最小值计算：此时，故 最大值计算：此时， 法二：构造函数 如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 【巩固练习1】在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】易得所以是等边三角形， 所以，因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 过过交于， 当点与点重合时，取得最大值为； 当点与点重合时，取得最小值为， 的取值范围是． 【巩固练习2】平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（    ） A．13 B．7 C．14 D． 【答案】C 【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案. 【详解】如图， 由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大， 因为，又， 所以， 所以的最大值为. 【巩固练习3】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据数量积的定义，由投影的几何意义并结合图形即可求得其范围. 【详解】，由投影的定义知， 结合图形得，当与半圆弧相切于P点的直线平行于BC时，最大为， 此时； 当P在C或B点重合时，最小为， 此时 即可得 故答案为： 【题型10】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 32． 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可 【详解】由题可知， 故，从而易知． ， ． 故 33． 如图在平行四边形中，已知，，，则的值是 . 【答案】22 【解析】法一：拆分 法二：极化恒等式 取AB中点M，延长AD，MP交于点F ， （平行四边形性质）， 34． 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值. 【详解】 ， 则当与同向，即时，取得最大值为 35． 在平面四边形中，，，，，.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对，分别两边同乘以和，得到关于方程组，解出，就可以求出. 【详解】 因为，③ ③式同乘以，得：， 即，即①. ③式同乘以，得：， 即，即②. ①②联立解得：， 所以. 【巩固练习1】在中，，，，则边上中线的长为_____. 【答案】 【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】因为， 所以 所以，所以，故答案为： 【巩固练习2】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可. 【详解】∵，， 即且， ∴， 又C、P、D共线，有，即， 即，而， ∴ ∴=. 【巩固练习3】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________． 【答案】 【解析】因为，菱形的边长为2，所以．因为，，由，所以，解得． 【巩固练习4】（向量的拆分）如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以， 又由正方形的边长为，可得， 则 ， 正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得， 所以，即的取值范围是. 【题型11】建立坐标系解决向量问题 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 36． 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=_______. 【答案】D 【解析】 法一：利用投影解决向量积 法二：极化恒等式 法三：基底+分点定比恒等式 易知E是BO上的5等分点， 法四：建系（简证） 如图，以B为原点，构造直角坐标系， 求出E点坐标，从而得到与的坐标， 计算得出向量的数量积即可. 37． 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______ 【答案】49 【解析】如图所示建立直角坐标系，设， ，， 则； 38． （2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ． 【答案】． 【解析】， 记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系， 则，，，，， 故，， 则， 故，又 则． 39． 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则 【答案】 【解析】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，， 设，可得， 因为，则，可得， 即，解得，即的坐标为， 设，则，， 由可得，解得， 则，，可得 所以． 40． （2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，根据向量的坐标表示和模的概念可得，由题意和相等向量可得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 整理，得， 又， 代入， 有，所以， 由，得，当且仅当时等号成立， 所以，得， 所以. 即的最大值为. 41． 给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若，其中、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算可得出、关于的表达式，利用辅助角公式可求得的最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点， 由于，即， 所以，，为锐角，且. ，则，当时，取得最大值. 【巩固练习1】如图，正八边形中，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】 如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，， ，所以， ，所以， 即轴，为等腰直角三角形， 设，则，， 所以，所以，，与关于轴对称， 所以， ，，， 由得， 即，解得， 所以. 【巩固练习2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 . 【答案】 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 【巩固练习3】菱形的边长为，中心为O，，M为菱形ABCD的内切圆上任意一点，且，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，从而得到各点坐标，进而利用题设条件得到所求关于的表达式，由此得解. 【详解】如图，以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，    设内切圆与边的切点为E，连接. 由，易得， 所以内切圆半径， 则，设， 故， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为2. 【巩固练习4】（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、， 由，则， 则，则，， 则，，由， 即，则， 则，， 又在线段上，故有， 解得，即，； 设，， 则，由，则， 由，，则，则， 则，故， 则，，， 则 ， 则当时，有最小值. 【巩固练习5】已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值. 【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内， 构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示： 所以，，，令且()， 所以，，， 又，即， 所以，而， 则， 故当时，有最大值. 【题型12】三角形四心的识别 1、若O为△ABC重心 （1）； （2）； （3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （5）重心坐标为：. 2、若O为△ABC垂心 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、若O为△ABC内心 （1） （2） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 4、若O为△ABC外心 （1）； （2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； （3）若，则是的外心； 42． 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【分析】为的中点，由，得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 43． 已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 【答案】重心 【分析】根据向量平行得到，将变形得到，取的中点，则，从而得到答案. 【详解】与向量共线，故，即， 则变形为， 即， 所以， 取的中点，则， 所以动点M的轨迹必经过的重心. 44． 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的外心 B．若，则I是的内心 C．若，则P是的垂心 D．若，则N是的重心 【答案】B 【分析】 根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算逐项分析判断. 【详解】 对于选项A：若，即到的距离相等， 根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确； 对于选项B：若，则， 即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误； 对于选项C：若， 则，即， 同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确； 对于选项D：若，则（D为AB的中点）， 即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确 45． 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据各点所满足的表达式，利用平面向量运算律并结合几何关系的向量表示可分别求得点依次是的外心，重心，垂心. 【详解】因为，所以点O到三个顶点的距离相等， 所以O为的外心； 如下图所示： 记BC的中点为D，因为， 所以，所以P，A，D三点共线， 故点P在中线AD上， 同理点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心； 作，因为， 所以， 所以，所以点N在BE上， 同理点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心. 46． （多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点O是的重心 B．若，则点O是的内心 C．若，则点O是的外心 D．若，则点O是的垂心 【答案】BCD 【分析】 根据题意构造菱形，再证明在角平分线上即可判断哪A，构造等腰三角形，可证得垂直底边，故可得是角平分线，即可判断B，由三角形中线的向量表示化简可得在三角形边的中垂线上即可判断C，利用向量减法及数量积为0可证得即可判断D. 【详解】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得， 则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图， 则四边形ADFE是菱形，且， 平分，， ，即， ， 三点共线，即在的平分线上， 同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误； 对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图， 则，且， 因为，即，又知，平分， 同理，可得平分，故O为的内心，故B正确； 对C，取的中点分别为，如图， ，， 即，所以O是的外心，故C正确； 对D，由，可得，即， 所以，即点O是的垂心，故D正确. 【巩固练习1】点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【答案】A 【分析】 由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断. 【详解】由，得， 即， 则， 得 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心， 【巩固练习2】已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可 【详解】由，得， 所以，设的中点为，连接，则， 所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上， 所以点是的重心， 由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心， 由，得，所以， 所以，所以，同理得，所以为的垂心， 【巩固练习3】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心. 【详解】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心. 【题型13】向量的四心运算 基本思路：利用三角形外心、内心、垂心的几何特征，结合向量运算的几何意义计算求值 47． 设为的外心，，，则 ． 【答案】 【分析】由题意画图，结合数量积几何意义和定义求解即可. 【详解】如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为， 因为为的外心，所以 ，， ，， 所以． 故答案为：.    48． （高一下·湖北武汉·期末）中，，，，点为的外心，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据外心及数量积的运算性质可得、，从而可求的值. 【详解】由可得， 所以，，同理可得，， 故即，而，故为钝角. 如下图所示： 取线段的中点，连接，由垂径定理可得， 则， 同理可得， 因为，则 ； ，即， 故 故答案为：. 49． 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则 ， . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积. 【详解】由两边平方得：， 依题意，，所以； . 故答案为：； 50． 已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，为外接圆的圆心，过作，，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值． 【详解】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为， 在圆中，过作，，垂足分别为，， 则，分别为，的中点， 因为，两边乘以，即， 的夹角为，而， 则，得①， 同理两边乘，即，， 则，得②， ①②联立解得，， 所以． 51． （多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可. 【详解】A. 为重心，所以, 所以, 所以, 所以，所以该选项正确. B.， 由于G是重心，所以，所以， 同理,所以， 所以该选项正确. C.,所以该选项错误. D., 所以,所以该选项正确. 故选：ABD    52． 已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为 . 【答案】6 【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，即，然后由直角三角形性质得长． 【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点， ， 同理， ， ， ， 又， 即，， 所以，即， 所以， 故答案为：6． 【巩固练习1】在中，，，若点G是的重心，则 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和向量数量积的运算律即可得到答案. 【详解】因为中，，，则， . 故答案为：. 【巩固练习2】（2023高一下·山东青岛·期末）记的三个内角的对边分别为，，，且，，若是的外心，则 ． 【答案】 【分析】作于，于，根据向量数量积的几何意义，，即可得到答案. 【详解】如图：    作于，于， ∵圆中，，∴， 因此， 同理可得， ∴. 【巩固练习3】（2023高一下·广东珠海·期末）在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 . 【答案】 【分析】先求出，由，，两边平方，结合及数量积的定义直接求解. 【详解】如图， 设的外接圆半径为，由正弦定理，则， 又因为，，分别为，，的中点， 所以，，， 三式平方相加可得， 又因为，代入得结果为. 故答案为：. 【巩固练习4】已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 【答案】7 【分析】根据为的外心，可得出，而同理可求出，这样在两边分别乘以进行数量积的运算，可得出关于，的二元一次方程组，解出即可． 【详解】如图，    ，，，且， ，，， ， ，整理得，， ． 【巩固练习5】（多选）在中，下列说法正确的是（    ） A．若点H满足，则点H是的外心 B．若，则AP所在直线经过的内心 C．若，，，则的范围为 D．若，，，，则 【答案】BCD 【分析】利用三角形外心、内心、垂心的几何特征，结合向量运算的几何意义，对选项的结论进行判断. 【详解】对于A，由，得，即， 所以；同理可得，， 所以点H是的垂心，故A错误； 对于B，，因为，分别是与，方向相同的单位向量， 则所在直线为的平分线，所以点P在的平分线上，故B正确； 对于C，因为，所以O为的外心， 且P为外接圆上一动点，又，， ∴外接圆的半径， 如图，作，垂足为D，    则， ∴当PD与圆相切时取最值，即P在处取最大值6，在处取小值－2， 故C正确； 对于D，设D为BC中点，如图所示，    ，∴O为的重心， ∴，． ∵，，，由余弦定理可知，， ∴，所以，D正确. 【巩固练习6】（2023高一下·湖北武汉·期末）已知是边上的点，且为的外心，则的值为（    ） A． B．10 C． D．9 【答案】A 【分析】依题意可得，取、中点分别为、，求出，，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以，因此， 取、中点分别为、，则，， 因此，， 所以. 【巩固练习7】在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】 根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，    所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 压轴题型 【题型14】等和线问题 和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1．当等和线恰为直线AB时，k等于1． 2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1．当等和线恰为直线AB时，k等于1． 2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 2017全国3卷（理）T12 53． 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】 法一：等和线 设,，则, 设，则 ，即 而 ∵PE过点C时取最大值，则，故，则 法二：如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 2020年江苏省高考 54． 在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为　　；若为常数且，则的长度是　 　． 【解答】解：当为中点时， 在中，，，，则， 所以，又， 所以， 即当为中点时，的长度为． 为常数且， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系， 则，， 由， 整理得， ，，，． 由，得，解得或（舍． 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程可得，． 即，， ． 的长度是． 55． 如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】令,易证，，∴ 56． 给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 【答案】2， 【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证 ，当时，取最大值，； （2）取OA中点E，则 OC交BE于F，设,，易证 ，当时，取最大值，. 【巩固练习1】2024届·湖南师大附中月考（二） 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D. 【详解】为正实数，， ，而共线，    ， 当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最小值为4，C正确； 又， 由于为正实数，，则， 则，时取最大值， 当趋近于0时，可无限趋近于0， 故，故无最大值，D错误 【巩固练习2】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】取AD中点F，则 直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ∴ 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 【巩固练习3】直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3 【答案】BC 【解析】如图 【巩固练习4】（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 【答案】ABD 【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式） 对于B选项： , （分点恒等式） （三点共线定理），故B正确 补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项. 对于C选项：，故C错误； 对于D选项：，故D正确 【巩固练习5】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴，∴ 【巩固练习6】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为________ 【答案】3 【解析】设,，则, 设，则 ，即 而 ∵PE过点C时取最大值，则，故，则 【巩固练习7】如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．    【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案. 【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，， 直线的方程为，化简得， 点到的距离， 可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为， 设，则，，， ， ， 可得且，的坐标为， 在圆内或圆上， ， 设，得， 代入上式化简整理得， 若要上述不等式有实数解， 则， 化简得， 解得， 即， 取值范围是． 故答案为：．    【巩固练习8】（多选）已知四边形是边长为1的菱形，，动点在菱形内部及边界上运动，设，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C． D．当时，点的轨迹长度是 【答案】ABD 【分析】根据数量积的几何意义结合图形分析可判断A；由向量加法的平行四边形法则观察可判断B；取特例可排除C；利用共线定理的推论判断点P的轨迹，然后由余弦定理求解可判断D. 【详解】根据数量积的几何意义可知，当点P与B重合时，向量在的投影数量最大，当点P与点D重合时，向量在的投影数量最小， 所以，，即，A正确； 以AP为对角线，AB，AD所在直线为邻边作，易知， 当点P与C重合时，同时取得最大值，此时取得最大值2，B正确； 当点P与点D重合时，，C错误； 记AB的中点为E，F为AD上靠近点A的四等分点，则， 所以， 因为，即，所以P，E，F共线， 所以点P的轨迹为线段EF， 所以，D正确. 故选：ABD    【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值 （1）已知，则是三点共线的充要条件 （2）结合基本不等式乘“1”法求出最值 57． 在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得， 根据向量的线性运算法则，可得， 又因为三点共线，可得，即， 可得， 因为，可得， 所以，整理得，即，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 58． 如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三点共线求得. （2）先求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】（1）设， ， 由于三点共线，所以. 所以. （2）依题意，， 由于过点，而，，所以， 由（1）得， 所以, 由于三点共线，所以， ， 当且仅当，时等号成立. 59． 在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为. （1）求； （2）求证：； （3）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）利用三角形重心的性质，又，即可求. （2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论； （3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围. 【详解】 （1）为的重心，若延长交于，则是的中点， ∴，而，即， ∴. （2）设，，又， ∴，，由共线，则有， ∵，， ∴，又， 综上，， ∴，即，可得， ∴，则得证. （3）由（2）知：，而， ∴. 【巩固练习1】如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则 ；求的最小值为 . 【答案】 【分析】利用重心的性质以及平面的线性运算可知，设,由三点共线可知，故可知，利用的妙用以及基本不等式求出的最小值. 【详解】由重心的性质可知 ，， 设, 由已知得，, 两式相加得, 整理得, 所以，，则， ， 当且仅当，即时等号成立 【巩固练习3】如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点， 所以． （2）由，，， 得，， 所以， 因为E，F，G三点共线，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习4】经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可； （2）运用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为的重心是G点， 所以， ， ， 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； （2）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 【题型16】奔驰定理 （1）奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 （2）三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 60． “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【答案】ACD 【分析】对A，由奔驰定理即可判断； 对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求； 对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得； 对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得， 结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得， 如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求 【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对； 对B，，由得，故，B错； 对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对； 对D，若O为△ABC的垂心，则，， 又， 同理，∴， ∵，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由，故，D对故选：ACD 【巩固练习1】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（    ）． A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算结合三角形重心判断A；结合“奔驰定理”即可判断B；根据三角形垂心性质，推出，结合“奔驰定理”判断C；求出，结合“奔驰定理”可得，从而求得，判断D. 【详解】对于A，设的中点为D，则，    即三点共线，则， 设为的中点，同理可得， 故O为的重心，A正确； 对于B，若，结合， 可知，B正确； 对于C，，， ， 又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则, 同理，则， 即， 同理，    故，同理， 又， ， 又O为（不为直角三角形）的垂心， 则， 故，即， 同理， 则 ， 同理， 故 ， 又，可得，C正确； 对于D，中，，，则， 又，故， 则， 故，D错误， 故选：ABC 【巩固练习2】（多选）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由奔驰定理即可直接判断； 对于B，结合平面向量的线性运算可得，进而由奔驰定理即可直接判断； 对于C，由奔驰定理可得，设的内切圆半径为，结合面积公式可得，进而结合勾股定理即可求解； 对于D，结合为的垂心，可得，，，进而根据平面向量数量积的定义可得，进而求解即可. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，故A错误； 对于B，由，即， 整理得，由奔驰定理可得，故B正确； 对于C，由，可得， 设的内切圆半径为， 则，，， 所以，即, 所以，即，故C正确； 对于D，，，， 因为为的垂心， 所以，，， 又， ， , 所以，即， 同理可得， 所以， 所以， 由奔驰定理可知D正确. 故选：BCD. 【巩固练习3】（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【答案】AB 【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可； 对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于D：因为是的外心，，所以,， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，错误. 故答案为：AB. 【题型17】向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 61． 平面内非零向量a，b，c，有，，ab＝0且，则的最大值为______． 【答案】7 【解析】方法一几何法：构造圆，如下，则的最大值为7 62． 已知是平面内两个互相垂直单位向量，若向量满足，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 法一：几何法 法二：代数法： 63． 已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________ 【答案】 【解析】设，，，由，，且， 可得，， 因为向量，的夹角为60°，即， 所以点C在优弧上运动，故的最大值是的外接圆的直径， 可算得， 由正弦定理，直径．故的最大值是 【巩固练习1】2024届湖南师大附中高三开学考 在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题可知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求出，当与共线反向时，取最小值，即可得出答案. 【详解】平面内动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 因为，由勾股定理可得：， 所以，且， 所以，所以， ， ， ， ， 又向量是长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动， 当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一， 故的最小值为. 【巩固练习2】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【答案】 【解析】由，得. 如图所示，分别作,作， 由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以, 作，则, 所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上. 由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值, 故||的最大值是,故答案为： 【巩固练习3】已知平面内非零向量，满足，，，若，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】即BC=1 由余弦定理可得，故的取值范围是 【巩固练习4】设向量a，b，c满足，，，则|c|的最大值等于______. 【答案】2 【解析】由题设，，而，则， 令，则，又，如下图示： 所以，，则，故共圆， 而，即，故外接圆直径， 对于，当为直径时最大，即. 【巩固练习5】已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题. 【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为， ，则最大值为， 由直线，， 可得且过定点过定点， 点的轨迹是以为直径端点的圆，其方程为， ， ，， ， 的最小值为.      试卷第6页，共18页 第26/102页 学科网（北京）股份有限公司 $$