热点专题 8-1 几何体的内接球与外接球，阿氏球等17类题型汇总- 2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） 专题8-1 几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】球的截面问题 【题型2】可以补成长方体的外接球模型 【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型 【题型4】正四面体的内切球和外接球结论 【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面） 【题型6】球心在高上（圆锥形） 【题型7】圆台，棱台外接球模型 【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 【题型9】两个外心+中垂线确定球心 【题型10】外接球之共斜边拼接模型 【题型11】外接球之二面角模型 【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型 【题型13】内切球之圆台，棱台模型 【题型14】多球相切问题 【题型15】棱切球问题 【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题 【题型17】阿氏球问题 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】球的截面问题 球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值 【例1】（2020·全国2卷T11）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【例2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 . 【例3】（23-24高三下·广东江门·阶段练习）已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为 ． 【巩固练习1】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为 ． 【巩固练习2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 【巩固练习3】（2024·辽宁丹东·一模）已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为 ． 【题型2】可以补成长方体的外接球模型 一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 二、补成长方体 （1）若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示． （2）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体 【例1】我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【例2】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 【例3】如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【例4】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】将边长为的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________ 【巩固练习3】（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 【例1】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B．60 C． D． 【例2】设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型4】正四面体的内切球和外接球结论 在棱长为a的正四面体中 设正四面体的的棱长为，则有 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 【例1】（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【例2】（24-25高三上·广东·开学考试）外接球半径为的正四面体的体积为（    ） A． B．24 C．32 D． 【例3】正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为 . 【巩固练习3】一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面） 题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 【例1】已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则 A． B． C． D． 【巩固练习1】已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习2】2023年高考全国乙卷数学(文)T16 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【巩固练习3】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型6】球心在高上（圆锥形） 如图5-1至5-8这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 【注意】：若是已知外接球半径R和小圆半径r求圆锥的高，则有2个解 【例1】（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为 . 【例2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【巩固练习1】已知球的体积为，圆锥的顶点及底面圆上所有点都在球面上，且底面圆半径为，则该圆锥侧面的面积为（    ） A． B．或 C．或 D． 【巩固练习2】在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【巩固练习3】已知三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，底面的最短边长为6．若三个侧面面积分别为，，，则顶点到底面的距离为 ；三棱锥的外接球的表面积为 ． 【题型7】圆台，棱台外接球模型 圆台，棱台外界球 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 注：若球心位置不确定，也可以直接设，若解出来为负数则说明球心在另一侧 【例1】（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】2022年新高考II卷T7——台体外接球 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为________． 【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出； 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且， 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 【例1】（2024·广东·惠州一中校联考）已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 . 【巩固练习2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【巩固练习3】在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【题型9】两个外心+中垂线确定球心 垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 【例1】如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .    【例2】（2024·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【例3】（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为 . 【巩固练习1】在四棱锥中，平面平面，且为矩形，，，，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【巩固练习3】已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【题型10】外接球之共斜边拼接模型 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. 【例1】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（河北唐山·三模）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　． 【题型11】外接球之二面角模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 【例1】在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【例3】长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)T16 已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【巩固练习1】在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（    ） A．52π B．54π C．56π D．60π 【巩固练习2】（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 【巩固练习4】（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型 锥体的内切球问题 1． 题设：如图，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 【例1】（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为 A． B． C． D． 【巩固练习1】已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2020·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 【巩固练习3】已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型13】内切球之圆台，棱台模型 首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。如下图所示： 此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅助法，上图的轴截面如下： 假设上底面圆半径为r2，下底面圆半径为r1，内切球半径为R，圆台的高为h，母线长为l。上图轴截面是等腰梯形的内切圆，点E，F，G为切点，可得如下全等关系： ； 由射影定理可得： 【例1】（2024·广东深圳·统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 . 【巩固练习1】（2024·湖北咸宁·统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 【巩固练习2】（汕头一模）如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ． 【巩固练习3】一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（    ） A． B．8 C． D．10 【题型14】多球相切问题 处理多个球的切接问题时一般①通过连球心构造“球心截面”降维解题②通过连球心构造“球心几何体”将抽象问题具体化． 【例1】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ． 【巩固练习2】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为，记能将该三角垛完全放入的四面体的体积为，则的最大值为 ． 【题型15】棱切球问题 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【例1】已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【例3】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（    ） A．2π B．8π C． D．12π 【巩固练习2】已知正三棱柱(底面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为 . 【巩固练习3】（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题 【例1】在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东深圳一模改）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为________. 【答案】 【分析】以AE为直径作球N，A,E与球上任意一点均能构成直角，故M点轨迹为球N与平面的交线. 【详解】记球心N在平面上的投影为K，故 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧，到的距离为，弧上的点到的距离最小值为 【巩固练习1】如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，若，存在唯一的点P满足，则________. 【巩固练习2】已知正四面体的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为 . 【题型17】阿氏球问题 对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题 【例1】（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 【例3】已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 ． 【巩固练习1】已知正三棱锥中，，；动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 【巩固练习2】已知正方体的棱长为，点为侧面内的动点，且，则点所形成的轨迹图形长度为 ． 【巩固练习3】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【巩固练习4】已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为 ，的最小值为 ． 24 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） 专题8-1 几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】球的截面问题 【题型2】可以补成长方体的外接球模型 【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型 【题型4】正四面体的内切球和外接球结论 【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面） 【题型6】球心在高上（圆锥形） 【题型7】圆台，棱台外接球模型 【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 【题型9】两个外心+中垂线确定球心 【题型10】外接球之共斜边拼接模型 【题型11】外接球之二面角模型 【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型 【题型13】内切球之圆台，棱台模型 【题型14】多球相切问题 【题型15】棱切球问题 【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题 【题型17】阿氏球问题 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】球的截面问题 球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值 【例1】（2020·全国2卷T11）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 【例2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 . 【答案】 4 【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解. 【详解】在中，，. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里，，所以，解得. 因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径. 因为、、三点所在平面经过球心， 当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径， 所以点到平面的距离的最大值为. 则球的表面积为. 【例3】（23-24高三下·广东江门·阶段练习）已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为 ． 【答案】 【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作平面BCD，连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接，记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为，然后结合正四面体的性质可求出，从而可求出截面的面积. 【详解】解：由内切球的表面积，得内切球半径 如图，过点A作平面BCD，则点H为等边的中心 连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接， 记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为， 则， 所以， 又因为，所以， 由，得，即，解得 因为过棱AB和球心O，所以即为所求截面 且. 【巩固练习1】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】设球的半径为R，由球的表面积解出，设外接圆半径为，边长为，解出，由勾股定理求解即可. 【详解】设球的半径为，则，解得． 设外接圆半径为，边长为， 因为是面积为的等边三角形， 所以，解得， 由，所以， 所以球心到平面的距离． 【巩固练习2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 【巩固练习3】（2024·辽宁丹东·一模）已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为，将球心到平面的距离转化为为到平面的距离的2倍，进而根据等体积变换可得. 【详解】因为，为球的直径，所以， 故球心到平面的距离即为到平面的距离的2倍， 如图 设球的半径为，由题意可知， 由，，可得，故 如图， 由题意平面， 则， ，且， 设到平面的距离为，则由可得， ， 得，得， 则球心到平面的距离为 【题型2】可以补成长方体的外接球模型 一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 二、补成长方体 （1）若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示． （2）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体 【例1】我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：把四棱锥放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， ，，，长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为． 【例2】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 【答案】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题设，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以． 【例3】如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得，且， 所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示， 设长方体的外接球的半径为，可得，所以， 所以外接球的体积为. 故选：C.    【例4】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3， 所以球的表面积为S＝4πR2＝6π． 【巩固练习1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出各个边长，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此时，由勾股定理逆定理得⊥，故满足四面体为一个鳖臑，取中点，连接，得到，故点即为该鳖臑外接球的球心，半径为，从而求出外接球表面积. 【详解】因为直角中，为斜边上的高，，， 所以，， ，， 如图，翻折后，使得⊥，由勾股定理得， 此时， 由勾股定理逆定理得⊥， 结合⊥，⊥，故满足四面体为一个鳖臑， 取中点，连接， 因为⊥，⊥，故， 故点即为该鳖臑外接球的球心，半径为， 故该鳖臑外接球的表面积为为. 【巩固练习2】将边长为的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________ 【答案】 【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果. 【详解】在边长为的正方形中，设、分别为、的中点， 、、分别沿、、折起， 使、、三点重合于点，满足题意，如下图所示： 翻折前，，， 翻折后，则有，，， 将三棱锥补成长方体， 其中，， 设三棱锥的外接球的半径为，则， ，故该三棱锥的外接球的表面积为. 【巩固练习3】（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 【例1】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心 根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径， ∵正△的边长为6，则 ∴ 外接球的表面积. 故选：D． 【例2】设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为，所以. 于是（是外接圆的半径），. 又球心到平面的距离等于侧棱长的一半， 所以球的半径为. 所以球的表面积为，解得. 因此. 于是直三棱柱的表面积是 . 【巩固练习1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解. 【详解】球的体积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为2，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为， 所以圆柱的侧面积为. 故选：A． 【巩固练习2】在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示， 此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球， 设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接，则， 设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R， 由正弦定理，得，所以， 中，，所以，解得， 所以． 【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，由球的表面积为，得，根据轴截面为正方形列方程解得，代圆柱的体积公式得解. 【详解】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高，由球的表面积，得，又，得，所以圆柱的体积 【题型4】正四面体的内切球和外接球结论 在棱长为a的正四面体中 设正四面体的的棱长为，则有 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 【例1】（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【答案】 【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a， 所以该正四面体的表面积为，所以， 又正方体的面对角线可构成正四面体， 若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为， 所以球O的体积为． 【例2】（24-25高三上·广东·开学考试）外接球半径为的正四面体的体积为（    ） A． B．24 C．32 D． 【答案】A 【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半径，由已知外接球半径为可得棱长，再由三棱锥体积公式可得. 【详解】如图，设正四面体的下底面中心为，连接，则平面， 连接并延长，交于，设此正四面体的棱长为x，则， ，，即四面体的高． 设四面体外接球的球心为，连接，外接球半径为， 则，化简得，由， 得，即正四面体棱长为， 所以正四面体的体积. 【例3】正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的外接球球心为，为的中心，设棱长为，即可求出外接球的半径，利用等体积法求出内切球的半径，即可得解. 【详解】如图，设正四面体的外接球球心为，为的中心，则平面， 外接球半径为，内切球半径为，设棱长为， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，由， 即解得（负值舍去）； 由等体积法得到，所以， 所以. 故选：C. 【巩固练习1】已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住正三棱锥的特征，底面是正三角形，边长为，则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为，进而可求出外接球的体积． 【详解】由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为， 则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等， 如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则， 由， 则在中，有， 所以， 则在中，有， 设外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球的体积为． 【巩固练习2】正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为 . 【答案】 【解析】设正四面体的边长为，则该正四面体每个面的面积为， 正四面体的侧面积与底面积之差为，解得. 如下图所示： 过点作平面，垂足为点，连接，可知外接球球心在上， 设球的半径为，的外接圆半径为，， 由图可知，，即，解得. 因此，正四面体的外接球体积为. 【巩固练习3】一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，求出外接球和内切球的半径，从而得到体积之比. 【详解】正四面体中，取中点，连接，则⊥， 过点作⊥于点， 则⊥平面，外接球球心在上，连接，则， 因为正四面体的棱长为2，所以，， 则，， ， 由勾股定理得，即， 解得，    设内切球球心为，则在上，过点作⊥于点，则， 故，， 因为∽，所以，即， 解得， 故它的外接球与内切球半径之比为，体积之比为.      【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面） 题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 【例1】已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意外接圆的直径为斜边，设三棱锥外接球的半径为，则，求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得. 【详解】因为为直角三角形且，则， 又平面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 因此，取中点，连接，则， 从而点即为球的球心，设三棱锥外接球的半径为， 则，即，所以， 则.        【例2】已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意外接圆的直径为斜边，设三棱锥外接球的半径为，则，求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得. 【详解】因为为直角三角形且，则， 又平面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 因此，取中点，连接，则， 从而点即为球的球心，设三棱锥外接球的半径为， 则，即，所以， 则.        【巩固练习1】已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据四面体的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得. 【详解】如下图所示： 由平面可知，又， 所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球半径， 设外接球半径为， 由球的表面积为，可得，即； 又，，， 所以. 【巩固练习2】2023年高考全国乙卷数学(文)T16 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【巩固练习3】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径作答. 【详解】在中，，由余弦定理得， 令外接圆圆心，则平面，且， 而平面，因此，取中点，连接，有， 又平面，即有，，于是四边形为平行四边形， 则，球的半径，体积为.    【题型6】球心在高上（圆锥形） 如图5-1至5-8这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 【注意】：若是已知外接球半径R和小圆半径r求圆锥的高，则有2个解 【例1】（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】由题设，圆锥体的高为， 若外接球的半径为，则，可得， 所以圆锥的外接球的体积为. 【例2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图： 过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形， 又，同理可得，， 所以M点是的外心； 又，是以斜边的直角三角形， 在底面的射影为斜边的中点，如下图： 则，设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则在上，则，即，得，外接球的表面积为； 【巩固练习1】已知球的体积为，圆锥的顶点及底面圆上所有点都在球面上，且底面圆半径为，则该圆锥侧面的面积为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先由球的体积求球的半径，再画图，用勾股定理结合扇形面积公式即可求出圆锥侧面的面积. 【详解】由球的体积为，得，所以. 如图1， 当时，有， 所以，， 又因为，所以， 因为圆锥的侧面展开图为扇形， 所以该圆锥侧面的面积为. 如图2， 当时，有， 所以，， 又因为，所以， 所以该圆锥侧面的面积为. 【巩固练习2】在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】 【分析】依题为直角三角形，又由，可得点在底面的射影为的外心，故球心在直线上，易求出半径得解. 【详解】如图，由，可得， 所以的外心为的中点，又由， 点在底面的射影为H， 则平面，连接， 则， ，所以点H与点D重合， 点在底面的射影为的外心， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有，解得． 故答案为： 【巩固练习3】已知三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，底面的最短边长为6．若三个侧面面积分别为，，，则顶点到底面的距离为 ；三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 5 【分析】设内切圆的圆心为，内切圆半径为，圆分别切于点，连接，，连接，则可证得，再利用三个侧面面积可求，，从而可求出，进而可求出，设的中点为，连接，设为三棱锥的外接球的球心，连接，则平面，然后利用勾股定理列方程组可求出外接球的半径，从而可求出其表面积. 【详解】设内切圆的圆心为，内切圆半径为，圆分别切于点，连接，，连接， 则平面，，， 因为平面，所以， 因为，平面，平面，平面， 所以平面，平面，平面， 因为平面，平面，平面， 所以，，， 因为，所以公共边， 所以≌≌，所以， 设的最短边为，则，所以，解得， 所以， 因为，所以, 所以，所以为直角三角形，且， 所以，所以， 即顶点到底面的距离为5， 设的中点为，连接，则为的外心， 则， 所以， 设为三棱锥的外接球的球心，连接，则平面， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则（在面上方）， 或（在面下方）， 所以，或， 则或，解得或（舍去）， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为， 故答案为：5， . 【题型7】圆台，棱台外接球模型 圆台，棱台外界球 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 注：若球心位置不确定，也可以直接设，若解出来为负数则说明球心在另一侧 【例1】（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得圆台的高为， 设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为， 当圆台的两个底面在球心异侧时，， 所以， 解得，； 当圆台的两个底面在球心同侧时，， ， 解得，， 此时，不合题意，舍去， 故球的体积 【例2】2022年新高考II卷T7——台体外接球 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．    【例3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积． 【详解】 如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O， 如图当球心在线段MN延长线上时， 易得，MC＝2，，， MN＝1， 由得，，即 ， 故OC＝， ∴外接球表面积为． 如图当球心在线段MN上时， 由得，，即 舍去， 【巩固练习1】（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，，， 为外接球球心，设外接球半径为R，分别为棱台上下底面的中心， 则， 由勾股定理得：，， 设，则，， 故，解得：， 故， 故球的表面积为. 【巩固练习2】已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得圆台的高为， 设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为， 当圆台的两个底面在球心异侧时，， 所以， 解得，； 当圆台的两个底面在球心同侧时，， ， 解得，， 此时，不合题意，舍去， 故球的体积 【巩固练习3】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可. 【详解】 连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在线段上，如图， 由题意可知，平面，平面，， 设，在中，， 在矩形中，，， ， 在中，， 在矩形中，，， ， 设外接球半径，，解得， 则，即该刍童的外接球半径为 该刍童外接球的表面积为： 【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出； 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且， 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 【例1】（2024·广东·惠州一中校联考）已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件知，外接球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上，又平面平面，所以可得等边三角形的中心即为外接球的球心，求出外接圆的半径即得三棱锥外接球的半径． 【详解】直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，过该点作一条垂直于平面的直线． 因为平面平面， 所以所作直线在平面内，且经过等边三角形的中心， 所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心， 所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径． 由正弦定理知，(是的外接圆的半径)，即， 所以，于是三棱锥外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为． 【巩固练习1】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】作圆锥的轴截面，则该轴截面等边△的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，如下图所示， 因为圆锥的侧面积，所以, 设球的半径为R，由正弦定理得， 因此，这个球的表面积为. 【巩固练习2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 因为， 所以点P在平面内的射影是的外心， 即斜边的中点，且平面平面， 于是的外心即为三棱锥的外接球的球心， 因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径． 因为，， 所以， 于是，根据正弦定理知的外接圆半径R满足， 所以三棱锥的外接球半径为， 因此三棱锥的外接球的表面积为． 【巩固练习3】在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】因为，所以的外接圆圆心即点，三棱锥外接球球心在过点与平面垂直的直线上， 由于平面平面即球心在平面内， 所以球心即为的外接圆圆心，球的半径即为的外接圆半径. 因为，所以，从而. 设，在中，根据余弦定理有，所以， 由正弦定理得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【题型9】两个外心+中垂线确定球心 垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 【例1】如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .    【答案】 【解析】作出底面的外心，侧面的外心，取中点， 连接，因为平面平面，面平面， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又因为平面，所以平面， 由球的性质可得平面，所以， 同理，所以四边形为平行四边形， 故， 在中，因为，，则， 设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则， 设三棱锥外接球的半径为，则， 则外接球的表面积为. 故答案为：. 【例2】（2024·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】如图， 取BC中点G，连接AG,DG，则，， 分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心， 由， 所以正方形OEGF的边长为，则， 所以四面体的外接球的半径， 球O的表面积为． 【例3】（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【解析】依题意，点是三棱锥外接球的球心，设球的半径为是外接圆的圆心， 设圆的半径为，点到底面的距离为， 由题意，可得，则. 因为是边长为3的正三角形， 所以由正弦定理，可得，则. 所以三棱锥的体积为， 三棱锥的体积取最大值则需要最大. 由题意可知，点在过且与底面（此处底面为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点运动到该圆的最高点时，最大. 取的中点，连接，过点作.如图所示， 由圆的对称性可知，此时，则. 又平面平面，且平面平面平面， 所以平面. 因为在中，， 又， 所以. 易得四边形为矩形， 所以. 因为在中，， 所以， 所以. 【巩固练习1】在四棱锥中，平面平面，且为矩形，，，，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积． 【详解】设，取的中点，连接，，， 因为底面为矩形，所以为矩形的外接圆的圆心， 又，，，， 则，，， 因为平面平面，且平面平面，，面， 所以面， 因为面，所以，所以， 因为， 所以为外接球的球心，则外接球的半径为， 所以外接球的体积． 【巩固练习2】在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，作中点，连接、， 在上作的中心， 过点作平面的垂线， 在垂线上取一点，使得， 因为三棱锥底面是等边三角形， 是的中心， 所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上， 又因，则即为球心， 因为平面平面，，， 平面平面，， 所以平面， ， ， ，， 设球的半径为， 则， ， 即，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 【巩固练习3】已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可. 【详解】 设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，， 因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积. 【巩固练习4】（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【答案】 【解析】在平面四边形中设， 即在Rt中，. 在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得. 设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则，所以四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于， 在中，为的中点，， 由， 所以 . 令，则， 因为，当且仅当，即时（满足）等号成立. 所以， 所以外接球表面积的最小值为. 故答案为： 【题型10】外接球之共斜边拼接模型 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. 【例1】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知． ∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示． 【巩固练习1】（河北唐山·三模）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形的几何性质得球心位置，利用等体积转化求点面距离即可. 【详解】 由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC， 计算可得BC=CD=BD=，设球心到平面的距离为， 则. 【巩固练习2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 因为，，所以，. 因为平面平面，所以平面. 设， 所以， 所以球的体积为. 【巩固练习3】在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　． 【解答】解：如图， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 平面， ， 同理可证， 在中，，所以， 取中点为，连接，， 由直角三角形的性质可知，，， 又，即到，，，四点的距离相等， 为三棱锥外接球的球心， ，球的体积 【题型11】外接球之二面角模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 【例1】在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正的重心为，则是正的外接圆的圆心， 取的中点，因为，所以是的外接圆的圆心， 过作平面，过作平面，，如图， 则为四面体的外接球的球心， 又二面角的大小为，则， 又在正中，， 则在中，， 设四面体PABC的外接球的半径为， 则， 所以四面体PABC的外接球的表面积为. 【例2】（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 【详解】将沿折起后，取中点为，连接，， 则，， 可知即为二面角的平面角，即； 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 即 解得， 即，可得， 所以与是边长为的等边三角形， 分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，，    根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径为， 所以外接球表面积为. 【例3】长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)T16 已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 【详解】将沿折起后，取中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以； 设，则,在中 ，即 解得，即，所以 所以与是边长为的等边三角形. 分别记三角形与的重心为、，则，；即； 因为与都是边长为的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，， 根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，且平面，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径为， 所以外接球表面积为. 【巩固练习1】在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（    ） A．52π B．54π C．56π D．60π 【答案】A 【解析】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与， 过两点分别作平面和平面的垂线，交于点， 则就是外接球的球心，连接， 则为二面角的平面角，即， 则是等边三角形，其边长为，， 在中，，所以， 又由，所以， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A. 【巩固练习2】（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为点均在球的表面上， 所以四边形内接于圆，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，又， 所以二面角的平面角为，所以， 在中，因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，即或（舍去）， 所以，所以外接圆的直径为：， 即四边形外接圆的直径为， 因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为： 所以四面体外接球的表面积为. 【巩固练习3】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】先确定球心位置，再建立半径R的方程求解即可. 【详解】取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【巩固练习4】（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为，所以到的距离相等， 故即为球心． 由球的表面积等于，设外接球半径为，故， 解得，过作垂直于于点， 因为，，所以，同理， 过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点. 因为，，且两直线在平面内，所以平面， 又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面， 则为三棱锥的高， 故三棱锥的高为， 其中， 所以三棱锥的体积． 【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型 锥体的内切球问题 1． 题设：如图，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 【例1】（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示： 设该圆锥的内切球的半径为，则， 所以，， 因此，球的体积为. 【例2】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案. 【详解】 设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为， 侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=, 则圆锥的体积为, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r, 在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即, 展开整理得R=所以外接球的体积为, 故所求体积比为 【巩固练习1】已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即 由条件可知，， 中，，即，解得：， 所以圆锥内切球的表面积. 【巩固练习2】（2020·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 【答案】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为，    由于，故， 设内切圆半径为，则： ，解得：，其体积：. 【巩固练习3】已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用扇形的弧长公式可求得圆锥半径，结合等面积法可求得三角形的内切圆半径，进而求得圆锥内切球的表面积. 【详解】由题意，得该圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为R，高为h，如图所示，    由，得，所以， 圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径， 设的内切圆为圆，其半径为r，由， 得，解得，故能制作的零件表面积的最大值为. 【题型13】内切球之圆台，棱台模型 首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。如下图所示： 此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅助法，上图的轴截面如下： 假设上底面圆半径为r2，下底面圆半径为r1，内切球半径为R，圆台的高为h，母线长为l。上图轴截面是等腰梯形的内切圆，点E，F，G为切点，可得如下全等关系： ； 由射影定理可得： 【例1】（2024·广东深圳·统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 【例2】若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积. 【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则 ，所以，过点作于，则， 所以，所以圆台的体积为， 故答案为： 【巩固练习1】（2024·湖北咸宁·统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此， 从而，故.设台体体积为，球体体积为， 则. 故选：B 【巩固练习2】（2023汕头一模）如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ． 【答案】 【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案. 【详解】设球O与上底面、下底面分别切于点，与面，面分别切于点， 作出其截面如图所示，则，， 于是， 过点M作于点H，则， 由勾股定理可得︰, 所以， 所以该球的表面积 【巩固练习3】一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】设圆台内能放置的最大球的球心为，求得球的半径，根据题意转化为正方体的中心与球心重合，且该球是正方体的外接球，进而求得正方体的最大棱长. 【详解】如图所示，由题意知，母线与底面所成的角， 可得， 设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线分别切于两点， 可知球的半径，此时球的直径为， 即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为； 若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合， 且该球是正方体的外接球， 设正方体的最大棱长为，满足，解得. 故选：B.    【题型14】多球相切问题 处理多个球的切接问题时一般①通过连球心构造“球心截面”降维解题②通过连球心构造“球心几何体”将抽象问题具体化． 【例1】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 【例2】（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 【巩固练习1】如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ． 【答案】 【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，， 如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上， 且，设球的半径为R，则， ∵，∴，则，，∴， 设球与球相切于点Q，则， 设球的半径为r，同理可得，∴， 故小球的表面积. 故答案为： 【巩固练习2】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 【巩固练习3】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 【巩固练习4】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为，记能将该三角垛完全放入的四面体的体积为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】要使取得最大值，则使取最小值，通过计算出球心在一面的投影点到该边的距离，可算出四面体的最小棱长 【详解】设球的半径为， 由题意可知四面体为正四面体，边长为， 所以四面体的高为， 所以，要使取得最大值，则使取最小值，由题意可知此时该三角垛与四面体相切. 等边的高为， 由余弦定理可算出正四面体任意两面二面角大小的余弦值为， 因为位于三角垛顶的球与三面都相切， 取的中点，过点作平面的垂线 ，垂足为，如图可得截面， 若设则，所以， 已知球心到面的距离为，则， 在平面里过点作的垂线，所以， 所以边上三个球的球心在该面的投影与该边和两个顶点形成等腰梯形，底角为，上底为，高为， 所以下底可计算得，所以的最小值为， 所以的最大值为. 【题型15】棱切球问题 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【例1】已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为， 连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于， 则、分别为所在棱的中点， 由题意，① 因为，， 又，所以， 所以，解得，② 联立①②可得， 所以球的半径为， 所以球O的表面积为 【例2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【答案】A 【解析】设正方体棱长为， 因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度， 即半径； 正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径； 所以球与球的表面积之比为. 【例3】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，正方体中，棱长为， 所以，四面体是棱长为的正四面体， 当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为， 所以，该球的体积为， 因为正四面体的体积为， 所以，该球与此正四面体的体积之比为. 故选：A 【巩固练习1】正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（    ） A．2π B．8π C． D．12π 【答案】B 【解析】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切． 则球与正方体的内切球，设正方体边长为， 故选：B. 【巩固练习2】已知正三棱柱(底面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为 . 【答案】2 【解析】如图，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形内切圆， 与正三棱柱的所有棱都相切的球必过的外接圆和上下底面内切圆， 取上下底面内切圆心､，连接，取中点，为的外心， 以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱的球， 于是，， 所以，， 故答案为：2 【巩固练习3】（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形内切圆， 与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△的外接圆和上下底面内切圆， 取上下底面内切圆心、，连接，取中点，为△的外心， 以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱所有棱都相切的球， ∴，，， 在直角△OMN中，由得，，， ∴球的半径， ∴球的体积. 故选：B. 【巩固练习4】（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 【答案】 【解析】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为， 由正三角形性质知， 与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得， 球体积为． 故答案为：． 【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题 【例1】在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到点轨迹为以为直径的球，进而得出点的轨迹是六个半径为a的圆，即可求出结果. 【详解】因为，故P点轨迹为以为直径的球， 如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心， 设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以， 易知，，又动点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为， 【例2】（2024·广东深圳一模改）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为________. 【答案】 【分析】以AE为直径作球N，A,E与球上任意一点均能构成直角，故M点轨迹为球N与平面的交线. 【详解】记球心N在平面上的投影为K，故 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧，到的距离为，弧上的点到的距离最小值为 【巩固练习1】如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，若，存在唯一的点P满足，则________. 【答案】4 【详解】以AM为直径构造球，A,M与球上任意一点均能构成直角，故球与平面EFGH相切时存在唯一P点，即半径，设，则有,由勾股定理可得：，故 【巩固练习2】已知正四面体的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为 . 【答案】 【分析】由，故点在过点且垂直于的平面上，由，故点在以为直径的球面上，即点的轨迹为过点且垂直于的平面截以为直径的球面所得的圆，计算出球的半径，球心到平面的距离，即可得该圆的半径，即可得该圆周长即点的轨迹长. 【详解】由，故点在过点且垂直于的平面上， 由，故点在以为直径的球面上， 即点的轨迹为过点且垂直于的平面截以为直径的球面所得的圆， 由正四面体的性质可得，取中点，连接，， 则有，又、平面，， 故平面，取中点，中点，连接， 则，由平面，故平面， ，， 为以为直径的球的球心，则该球半径为， 则点的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为. 故答案为：. 【题型17】阿氏球问题 对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题 【例1】（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立平面直角坐标系确定M轨迹，转化为空间中的阿氏球，利用两球相交求相交圆周长即可. 【详解】以所在的平面建立平面直角坐标系，为x轴，垂直平分线为y轴， 则易知， 设 ，由，可得， 故M的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 转化到空间M的轨迹为以C为球心，为半径的球，同时M在球O上， 故M在两球的交线上，轨迹为圆. 又，，易求得，即为直角三角形， 则对应圆的半径为， M的轨迹长度即对应圆的周长为. 故选：B． 【例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴： 则，，，设，由，可得：， 整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆， 球心距为， 所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为 【例3】已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出点在空间中的轨迹方程，再分点在四边形内部，四边形内部和四边形内部三种情况讨论即可得解. 【详解】如图①，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 由，得， 整理得， 所以点在空间中的轨迹为以为球心，为半径的球， 若点在四边形内部时，如图②所示， 截面圆与分别交于， 所以点在四边形内部的轨迹为， 在中，，则， 所以的长度为， 所以当点在四边形内部时，点的轨迹长为； 同理当点在四边形内部时，点的轨迹长为， 当点在四边形内部时，如图③所示， 平面截球所得的截面圆是以为圆心，以为半径，， 截面圆与分别交于， 而， 所以点在四边形内部的轨迹为， 所以的长度为， 综上所述，点的轨迹长度为. 【巩固练习1】已知正三棱锥中，，；动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定正三棱锥的结构特征，建立空间直角坐标系求出点的轨迹，再借助球的截面圆性质计算即得. 【详解】正三棱锥中，，， 则，即，同理， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 由，得，整理得， 因此点的轨迹是以点为球心，半径的球面， 而，设平面的法向量， 则，令，得，而， 球心到平面的距离，平面截球面得截面圆，设其半径为， 于是，所以所求周长为. 【巩固练习2】已知正方体的棱长为，点为侧面内的动点，且，则点所形成的轨迹图形长度为 ． 【答案】 【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，结合线段等量关系，整理轨迹方程，可得答案. 【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，为侧面内的动点，的纵坐标为，设，则， ，化简整理得，当时，该方程表示在平面内，以点为圆心，以为半径的圆， 点所形成的轨迹图形为图中，其长度为：． 【巩固练习3】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可. 【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为， 因为，所以，所以， 设圆与交于点，由阿氏圆性质，知， 又，所以， 又，所以，解得，所以， 所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球， 当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点， 所以点在面内的轨迹为， 因为在中，，所以， 所以，所以点在面内部的轨迹长为， 同理，点在面内部的轨迹长为， 当点在面内部时，如图3所示，因为平面， 所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆， 截面圆与分别交于点，且， 所以点在面内的轨迹为，且， 综上，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【巩固练习4】已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【解析】求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得的最小值；利用阿波罗尼斯球的定义，借助内切球的比例关系求得，转化后求最小值即可. 【详解】设正四面体的高为，每一个面的面积为，其内切球的半径为， 则由等积法可得，，即． 设内切球球心为，连结并延长交平面于，交内切球上方的点设为，过作，交于，连结，，如图， 则在正三角形中， ， 正四面体内切球的半径，直径为. 则的最小值为．同理可知的最小值为. 根据阿波罗尼斯球知,内切球是线段上以，为定点，空间中满足的点的集合， 设，因为，，， ，解得， ， ，， ， 在中，，， ， ． 的最小值为． 1 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $$