精品解析： 河南省平顶山市第一高级中学附属中学2024-2025学年上学期九年级第一次月过关练习题

平顶山市一高初中部2024-2025学年 第一学期第一次月过关试卷 九年级数学 考试范围：第1章—第2章 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试结束后只收答题卡． 2．客观题使用2B铅笔填涂：主观题使用0.5mm黑色签字笔书写，且必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 3．答题前请在答题卡上将姓名、班级、考场、座号及准考证号填写清楚． 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，多选、错选均不得分） 1. 下列等式是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 2. 菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 6. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 9. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 14. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 如图是一个9×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A、B、E、G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形． （1）画出以为边的正方形； （2）画一个以为一条对角线的菱形． 18. 如图，菱形的对角线与交于点，分别过点、点作、的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 19. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）判断方程的根的情况； （2）若为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值． 21. 如图，在中，，是的中线，，O是的中点，连接并延长，交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长； （3）当满足条件______时，四边形是正方形． 22. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？ 23. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． （1）请在图1中再找出一对这样的角来：________________________． （2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由． （3）在第（2）题的条件下，若此时，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平顶山市一高初中部2024-2025学年 第一学期第一次月过关试卷 九年级数学 考试范围：第1章—第2章 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试结束后只收答题卡． 2．客观题使用2B铅笔填涂：主观题使用0.5mm黑色签字笔书写，且必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 3．答题前请在答题卡上将姓名、班级、考场、座号及准考证号填写清楚． 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，多选、错选均不得分） 1. 下列等式是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为．根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可． 【详解】解：A. （为常数），若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B. 可整理得，不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整数方程，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键． 2. 菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：该菱形的面积为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质．解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程即可求解； 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解题的关键． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把方程化为一般式，再根据两个不相等的实数根得到判别式大于零，解出不等式的解集，从而可对各项进行判断． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得：， 解得：， 所以的值可以是， 故选： ． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，是解答本题的关键． 5. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现3的值在2.29和3.76之间，再看对应的x的值即可得． 【详解】由表可以看出,当x取1.3与1.4之间的某个数时,y=3,即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为1.3<x<1.4． 故选C． 【点睛】考查了一元二次方程的近似解，看懂图表是解题的关键． 6. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽度为x米，利用草坪的面积为540平方米可列方程． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意得． 故选：A． 7. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 8. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 10. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得OD，再根据题意求得矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，第2021秒时，D点的位置，进而求得D点坐标． 【详解】解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），， ∴，， 顺时针旋转1秒时，D点在第一象限； 顺时针旋转2秒时，D点在x轴正半轴上； 顺时针旋转3秒时，D点在第四象限； 顺时针旋转4秒时，D点在第三象限； 顺时针旋转5秒时，D点在x轴负半轴上； 顺时针旋转6秒时，D点在第二象限，刚好回到起始位置； 可得D点位置是6秒一循环， 2021÷6＝336…5， ∴第2021秒时， D点在x轴负半轴上， ∴此时D点的坐标为（﹣2，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，点的坐标特点，旋转的性质，关键：是由求OD及确定旋转的最终位置． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系写出，再将变形，代入计算即可． 【详解】，是一元二次方程的两个根 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______． 【答案】## 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线， ∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=， 又∵∠BAE=22.5°， ∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°， ∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE， ∴DE=AD=4， ∴BE=， ∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF=． 故答案为． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （4）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 如图是一个9×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A、B、E、G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形． （1）画出以为边的正方形； （2）画一个以为一条对角线的菱形． 【答案】（1） 如图所示，四边形就是所求作正方形； （2）如图所示，菱形为所求． 【解析】 【分析】（1）在A、B左侧两个单位，上方一个单位找到格点C、D即可； （2）利用菱形的性质，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了网格作图，解题关键是熟练运用正方形、菱形、全等三角形的性质进行画图． 18. 如图，菱形的对角线与交于点，分别过点、点作、的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求证； （2）根据菱形和矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 由（1）得：四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质．熟记相关定理内容是解题关键． 19. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m； （2）不能，理由如下： 设BC=ym，则AB=（33-3y）m， 依题意，得：y（33-3y）=100， 整理，得：3y2-33y+100=0． ∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0， ∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 【解析】 【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论． 【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m， 依题意，得：x（33-3x）=90， 解得：x1=6，x2=5． 当x=6时，33-3x=15，符合题意， 当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）判断方程的根的情况； （2）若为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到 ，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答； （2）先利用求根公式解方程得到，，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，． ∵该方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的两边， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质；根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 21. 如图，在中，，是的中线，，O是的中点，连接并延长，交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长； （3）当满足条件______时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵点O是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可得出结论； （2）由（1）知四边形是矩形，得到，根据，证明是等边三角形，即可求出结果； （3）根据邻边相等的矩形，是正方形，得到当时，四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ， ， 是等边三角形， ； 【小问3详解】 解：当满足时，四边形是正方形． 理由：∵当时，是等腰直角三角形， 又∵是的中线， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查矩形的判定，正方形的判定、平行四边形的判定．三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 22. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20% （2）降低4元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意可列出关于y的一元二次方程，解出y，再舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%； 【小问2详解】 设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵要尽量减少库存， ∴y＝4． 答：售价应降低4元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． 23. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． （1）请在图1中再找出一对这样的角来：________________________． （2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由． （3）在第（2）题的条件下，若此时，，求的长． 【答案】（1） （2） 四边形为正方形； 证明：，平分， ， 四边形为菱形， ，即， ， 四边形为损矩形， 由（1）得， ， 四边形为正方形； （3）． 【解析】 【分析】（1）以为公共边，有； （2）证明，则四边形为损矩形，根据，可得结论； （3）如图2，过点作，过点作交的延长线于点，证明，得，根据平行线等分线段定理可得，从而得结论． 【小问1详解】 解：由图1得：和有公共边，在同侧有和，此时； 故答案为：（或）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，过点作交的延长线于点， ， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ∵，， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，作辅助线构建全等三角形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $