精品解析：江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高一数学练习 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 设全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4. 已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ） A. B. ，或 C D. ，或 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A，B，C是全集为U的非空真子集，且满足：，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. “，”是“”充分条件 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，满足这样的集合的个数______. 13. 若命题：“，”是假命题，则的取值范围是__________. 14. 若对任意，恒成立，则最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题:“，不等式”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知集合. （1）当时，求的非空真子集的个数； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求的最小值． 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 含有有限个元素数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. （1）写出集合的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期高一数学练习 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】通过判断元素与集合的关系即可得到结果. 【详解】表示实数集 ，则①正确 表示有理数集 ，则②正确 表示自然数集 ，则③正确 是集合的一个元素 ，则④正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 2. 设全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合集合的运算即可得到结果. 【详解】因为，即，且， 则，所以. 故选:C 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断. 【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误； B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误； C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误； D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确， 故选：D. 4. 已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出的范围，再根据必要不充分条件定义判定可得答案. 【详解】由得，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 即“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，从而即可求出的取值范围. 【详解】∵不等式的解集为空集， ∴， ∴. 故选：A. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通分，化分式不等式为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，所以，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：D 7. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误， 故选：B. 8. 定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式可知，从而比较与的大小，即可得出a的最大值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 当，即时，，此时的最大值为1； 当，即时，， 综上所述，的最大值为1. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A，B，C是全集为U的非空真子集，且满足：，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合间关系可得，作出Venn图，利用集合的交、并、补的概念和运算逐一判断选项即可. 【详解】因为，，所以， 所以，用Venn图表示，如图， 由图可知， ，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. “，”是“”的充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：由，但即可判断； 对B：取，满足，但；同理取，满足，但即可判断； 对C：根据存在量词的命题的否定即可判断； 对D：因为，但即可判断. 【详解】对A：由，但，所以是的充分不必要条件，故选项A错误； 对B：取，满足，但，所以；同理取，满足，但，所以，所以是的既不充分也不必要条件，故选项B正确； 对C：命题“，”的否定是，”，故选项C错误； 对D：因为，但，所以“，”是“”的充分不必要条件，故选项D正确； 故选：BD. 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断ABC，利用不等式性质判断D. 【详解】由得. 对于A项，，所以，当且仅当时等号成立，A项正确； 对于B项，，解得， 当且仅当时等号成立，B项正确； 对于C项，由，得，C项错误； 对于D项，由，得，所以， 所以，D项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，满足这样的集合的个数______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得. 【详解】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 13. 若命题：“，”是假命题，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出命题“”是真命题，然后分为三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为命题：“，”是假命题， 所以命题“”是真命题， 若，即或， 当时，不等式为，恒成立，满足题意； 当时，不等式为，不恒成立，不满足题意； 当时，则需要满足， 即，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14. 若对任意，恒成立，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】令，得，再根据，恒成立，解得的值，最后验证恒成立即可. 【详解】令，则，故， 由，恒成立，则恒成立， 当时，要使恒成立，则，， 此时恒成立， ， 当时，要使恒成立， ，， ，此时，， ， 此时，，时取等号， 当，，时，则恒成立， 的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键是，令，得，再根据不等式恒成立进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题:“，不等式”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将问题转化为在时恒成立，再求得最小值即可； （2）解不等式得集合，故根据题意得：是的真子集，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）命题：，都有不等式成立是真命题， ∴，即在时恒成立， 又当时， ∴，即； （2）不等式， 故 ∵是充分不必要条件，则是的真子集， ∴，解得， 故实数a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 16. 已知集合. （1）当时，求的非空真子集的个数； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）254 （2）{m|m≤3} （3）{m|m<2或m>4} 【解析】 【分析】（1）直接求出集合A，即可得到非空真子集的个数； （2）判断出B⊆A，分B＝∅或B≠∅列不等式组，即可求出实数m的范围； （3）分B＝∅或B≠∅列不等式组，即可求出实数m的范围； 【小问1详解】 当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254. 【小问2详解】 （2）因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合； 当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}. 【小问3详解】 （3）当B＝∅时，由（1）知m<2； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得m>4. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}. 17. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2）36 【解析】 【分析】（1）分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案； （2）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和、与参数关系，构造求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案. 【小问1详解】 因为， 所以，即． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 【小问2详解】 由题意，关于的方程有两个不等的正根， 由韦达定理知解得． 则， ， 因为，，所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 此时，符合条件，则． 综上，当且仅当时，取得最小值36． 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. （1）写出集合的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【小问1详解】 集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. 【小问2详解】 ①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 【点睛】关键点点睛： 第二问①利用不完全归纳法总结出集合所有非空子集的元素和的总和的求法； 第二问②的关键是理解“交替和”的定义，探究出集合所有非空子集的交替和的总和的求法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$