专题03 椭圆（8大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（安徽专用）

专题03 椭圆 椭圆的定义及应用 1．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 3．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，点M为椭圆C上一点，则（    ） A．8 B． C．4 D． 5．（23-24高二上·安徽安庆·期中）若椭圆上一点到焦点的距离为为的中点，是坐标原点，则 . 6．（23-24高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ． 7．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知椭圆，、是坐标平面内的两点，且与椭圆的焦点不重合．若关于椭圆的焦点的对称点分别为、，线段的中点在椭圆上，则 ． 曲线表示椭圆求参数范围 8．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（23-24高二上·安徽·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为双曲线，且焦点在轴上，则 11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）（多选）已知曲线为椭圆，则（    ） A． B．若的焦点在轴上，则的焦距为 C．若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为 D．若的焦点在轴上，则的离心率为 12．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 13．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）（多选）已知关于的方程表示的曲线为，以下说法正确的有（    ） A．若，，，则恒过定点 B．若，，，则表示圆 C．若，，，，则表示椭圆 D．若，，，，，则表示两条直线 求椭圆的标准方程 14．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知圆：和圆：，动圆同时与圆外切和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 16．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，P是C上一点，垂直于x轴，，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·安徽滁州·期中）（多选）已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）（多选）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二上·安徽合肥·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (2)经过点P，Q. 21．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知圆，，动圆与圆外切，与圆内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于A，B两点，满足，求直线的方程. 椭圆的焦点三角形及应用 22．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（    ） A．25 B． C．12 D．24 23．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上的一点（异于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．的面积的最大值为 C．若，则点到轴的距离为 D．存在个不同的点，使得为直角三角形 24．（21-22高二上·安徽滁州·期中）已知、是椭圆的两个焦点，M是椭圆上一点，且，则的面积为 ． 25．（21-22高二上·安徽合肥·期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为 . 26．（20-21高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为 ． 27．（21-22高二上·安徽马鞍山·期中）已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆方程； (2)若点与两焦点距离之差的绝对值为，求的面积. 椭圆基本几何性质 28．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的焦距为4，则（    ） A． B．4 C．或2 D．或4 29．（23-24高二上·安徽·期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 30．（21-22高二上·安徽·期中）已知圆经过椭圆C：的右焦点，上顶点与右顶点，则（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知椭圆：的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为6 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 32．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于（    ） A．8 B．7 C．12 D．14 33．（21-22高二上·安徽·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）椭圆：的短轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 35．（22-23高二上·安徽黄山·期中）（）多选0已知椭圆，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8 C．的短轴长为6 D．的一个顶点为 椭圆的离心率 36．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知矩形的四个顶点都在椭圆  上，边和分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 37．（2023·陕西安康·三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在轴上的点A与的直线与交于点，且不在线段上，，，则的离心率为 . 40．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知椭圆的一个焦点为F，若过焦点F的弦AB与以椭圆短轴为直径的圆相切，且，则该椭圆的离心率为 . 41．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 42．（21-22高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆，点C在椭圆上，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，若圆C与x轴相交于M，N两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 直线与椭圆的位置简单应用 43．（21-22高二上·安徽·期中）（多选）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（    ） A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆的长轴长为4 C．直线的方程为 D． 44．（23-24高二上·安徽·期中）若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ． 45．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是． (1)求椭圆C的方程； (2)求点N到直线l：的最大距离． 46．（21-22高二上·安徽合肥·期中）曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 . 47．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求的面积. 48．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线与椭圆的相交弦长． 49．（21-22高二上·安徽六安·期中）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点且倾斜角为45°的直线与（1）中的曲线相交于，两点，求的面积． 50．（21-22高二上·安徽合肥·期中）椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，椭圆外一点，直线的斜率为，为坐标原点. (1)求方程； (2)斜率为的直线过点且与相交于、两点，求的面积. 椭圆有关最值问题 51．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 52．（19-20高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆的两焦点为，点是椭圆外部的一点，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 53．（23-24高三上·安徽合肥·期中）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（    ） A． B．的最大值为8 C．的取值范围是 D．的取值范围是 54．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 55．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知F是椭圆E：的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；上的一点，则的最小值为 ． 56．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，点，则的最大值为 ． 57．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为 ． 58．（22-23高二上·安徽·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，则的最大值为 ． 59．（18-19高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，关于直线的对称点为，求的取值范围. 求椭圆离心率取值范围 60．（22-23高二上·安徽·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 61．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（21-22高二上·安徽·期中）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 63．（21-22高二上·安徽池州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是 ． 65．（21-22高二上·安徽宿州·期中）设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为 . 66．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ． 椭圆的定值和定点问题 67．（22-23高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值? 并证明你的结论; (3)记的面积为，求的最大值. 68．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 69．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． (1)求E的方程； (2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 70．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆C：（）的离心率为，点A，B分别是椭圆C的上，下顶点，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为k的直线l交椭圆C于E，G两点，设直线AE与直线交于点H，点H是否在直线BG上？若是，请证明之，若不是，请说明理由． 71．（22-23高二上·安徽宿州·期末）若椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值． 72．（22-23高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点. 73．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)已知A，B，D为轨迹上三个不同的点，且满足（其中为坐标原点），探索面积是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 74．（21-22高二上·安徽宿州·期中）已知椭圆经过点和. (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与相交于，两点（不经过点），设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由. 椭圆最值取值范围问题 75．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中（多选））已知：的左，右焦点分别为，，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆上存在点使得 C．已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为 D．的最小值为 76．（23-24高二下·安徽·期中）已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值. 77．（23-24高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围. 78．（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过点作互相垂直的两条直线分别交于点和，求四边形面积的取值范围. 79．（21-22高三下·安徽·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点，且△面积的最大值为4. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，A，B，D，E都在椭圆C上，求的取值范围. 80．（21-22高二上·安徽·期中）点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，，当点在圆上运动时，记点的轨迹为（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求的方程； (2)若曲线与轴交于､两点，过点的直线（不与轴重合）与曲线交于､两点，记､的面积分别为､，求的最大值. 81．（10-11高二下·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为． （1）设点的坐标为，证明：； （2）求四边形的面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆 椭圆的定义及应用 1．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 【答案】A 【分析】对的位置分类讨论即可求解. 【详解】若在直线外，由三角形两边长大于第三边有，不合题意， 故必在直线上，若在线段外，也有，不合题意， 故必在线段上，且总有， 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹. 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 3．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解. 【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得 由椭圆方程可知，.，根据椭圆定义有， 故选：A 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，点M为椭圆C上一点，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义得解. 【详解】由椭圆知，所以, 又由椭圆的定义，得． 故选：A． 5．（23-24高二上·安徽安庆·期中）若椭圆上一点到焦点的距离为为的中点，是坐标原点，则 . 【答案】2 【分析】设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的定义得，根据中位线定理即可求出的值． 【详解】因为椭圆，所以， 设椭圆的另一个焦点为，则， 而是的中位线，所以. 故答案为：2 6．（23-24高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ． 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义求得，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案． 【详解】 由椭圆可知和为其焦点， 的顶点在椭圆上，则， 则对于，有，， 由正弦定理得， 故答案为：． 7．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知椭圆，、是坐标平面内的两点，且与椭圆的焦点不重合．若关于椭圆的焦点的对称点分别为、，线段的中点在椭圆上，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出． 【详解】设的中点为，椭圆的左、右焦点分别为、，如图，连接、， 因为是的中点，是的中点，则是的中位线， 所以，，同理可得， 根据椭圆的定义可得， 所以，. 故答案为：. 曲线表示椭圆求参数范围 8．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题目转化为，再解不等式. 【详解】命题等价于，解得. 故选：C. 9．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 利用椭圆的标准方程及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】若方程表示椭圆， 则有，即且， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 10．（23-24高二上·安徽·期中）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为双曲线，且焦点在轴上，则 【答案】AC 【分析】AB选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，B错误；C选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，当，即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误； C选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确； D选项，若为双曲线，且焦点在轴上，方程即， 则，解得，故选项D错误. 故选：AC. 11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知曲线为椭圆，则（    ） A． B．若的焦点在轴上，则的焦距为 C．若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为 D．若的焦点在轴上，则的离心率为 【答案】BD 【分析】根据已知列出关系式，求出的范围，以及得出的值，进而得出答案. 【详解】对于A项，由题意可知，解得或，故A项错误； 对于B项，当的焦点在轴上时，，所以的焦距为，故B项正确； 对于C项，当的焦点在轴上时，， 所以，则，所以， 则的短轴长的取值范围是，故C项错误； 对于D项，当的焦点在轴上时，， 所以的离心率为，故D项正确. 故选：BD. 12．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 13．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于的方程表示的曲线为，以下说法正确的有（    ） A．若，，，则恒过定点 B．若，，，则表示圆 C．若，，，，则表示椭圆 D．若，，，，，则表示两条直线 【答案】AD 【分析】根据题意，结合圆，椭圆，直线方程依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当，，时，曲线为：，即为， 显然满足方程，所以恒过定点，故A正确； 对于B选项，当，，时，方程为，其表示点，故B错误； 对于C选项，当，，，，方程为， 所以，当时，表示圆；当时，表示椭圆；故C错误； 对于D，当，，，，，方程为， 即为，化简得，即表示两条直线，故D正确. 故选：AD 求椭圆的标准方程 14．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，由椭圆的定义得，在中，由余弦定理得，根据同角三角函数的平方关系得，在中， 由余弦定理得，再结合的面积为，即可求出，进而得出椭圆的方程． 【详解】设，则，，则， 由椭圆的定义可知， 所以， 所以，，，， 在中， ， 则， 所以， 在中， ， 即， 整理可得， 因为三角形的面积为， 故，即， 得， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：A． 15．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知圆：和圆：，动圆同时与圆外切和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】求出两个圆的圆心和半径，设圆的半径为，可得为定值，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】由圆：可得圆心，半径， 由圆：可得圆心，半径， 设圆的半径为， 因为动圆同时与圆外切和圆内切， 所以，， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆， 所以，，， 所以动圆的圆心的轨迹方程为：， 故答案为：. 16．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，再由可得出、的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意， 将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得， 可得， 因为线段的中点坐标为，所以，，， 因为抛物线的焦点为，所以， 又直线过点，因此，所以，， 整理得，又，解得，， 因此，椭圆的方程为， 故选：D. 17．（23-24高二上·安徽六安·中）已知椭圆的左，右焦点分别为，P是C上一点，垂直于x轴，，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，分别求出，即可求得，再根据，求得，即可得解. 【详解】解：因为垂直于x轴，， 所以， 所以，则， 所以C的方程为. 故选：C. 18．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分椭圆焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为． 综上所述，椭圆的方程为或． 故选：BC． 19．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“对称椭圆”的定义可知，然后逐个分析判断. 【详解】因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点， 所以，即， 对于A，，则，所以，所以A正确， 对于B，，则，所以，所以B错误， 对于C，，则，所以，所以C正确， 对于D，，则，所以，所以D错误， 故选：AC 20．（22-23高二上·安徽合肥·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (2)经过点P，Q. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意得到半焦距，然后利用椭圆的定义求出，再根据的关系即可求解； (2)已知椭圆过两点，设其方程为，将点代入解方程组即可求解. 【详解】（1）由题意知：椭圆的焦点在纵轴上，且. 由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于.，， 所以 故椭圆方程为. （2）根据题意，设椭圆的方程为，， 又由椭圆经过和，则有，解可得，； 则要求的椭圆方程为， 即其标准方程为. 21．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知圆，，动圆与圆外切，与圆内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于A，B两点，满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义求轨迹方程； （2）设，，，由向量平行得出纵坐标关系，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理结合上述关系可求得参数值得直线方程． 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据定义可知，点是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆， 则，，可得，所以曲线的方程为. （2）由知直线斜率不为0，不妨设，，， 则，，由可得， 联立方程，消去得 则，由韦达定理可得 由代入得，解得，即 因此直线，即. 椭圆的焦点三角形及应用 22．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（    ） A．25 B． C．12 D．24 【答案】A 【分析】计算得到，，根据正弦定理得到答案. 【详解】由椭圆，可得，，所以， 所以，． 在中，由正弦定理可得． 故选：A 23．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上的一点（异于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．的面积的最大值为 C．若，则点到轴的距离为 D．存在个不同的点，使得为直角三角形 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用三角形的面积公式可求得面积的最大值，可判断B选项；利用余弦定理、三角形的面积公式可判断C选项；对的三个内角为直角进行分类讨论，结合平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】的周长为，故A错误； 的面积， 所以的面积的最大值为，此时，故B正确； 因为，所以 ， 解得， 所以的面积为， 所以，故C正确； 当时，此时有个不同的点P； 当时，此时有个不同的点， 设，所以， 因为，，则，则、， 所以，，， 所以 ， 所以，所以存在个不同的点，使得为直角三角形，故D错误． 故选：BC． 24．（21-22高二上·安徽滁州·期中）已知、是椭圆的两个焦点，M是椭圆上一点，且，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】根据椭圆的定义，结合，求得，再求三角形面积即可. 【详解】由，得，，所以，， 所以，设，，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积为． 故答案为：. 25．（21-22高二上·安徽合肥·期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为 . 【答案】7 【分析】根据题意可得，利用勾股定理和椭圆定义可求得，即可求出面积. 【详解】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上， ∴，∴①， 由椭圆的定义知，②，由①②，解得， . 故答案为：7. 26．（20-21高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，从而可得，，得出答案. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，， 根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形 所以, 由椭圆的定义可得，所以 所以的周长为： 故答案为：14 27．（21-22高二上·安徽马鞍山·期中）已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆方程； (2)若点与两焦点距离之差的绝对值为，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由已知结合椭圆的定义可求得、的值，利用余弦定理、同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：设椭圆的方程为， 因为，则，，则， 因此，椭圆的方程为. （2）解：由已知可得，可得， 由余弦定理可得， 所以，， 因此，. 椭圆基本几何性质 28．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的焦距为4，则（    ） A． B．4 C．或2 D．或4 【答案】C 【分析】根据题意可得，再分焦点在轴和轴上两种情况讨论即可. 【详解】依题意，，则， 故或，解得或． 故选：C. 29．（23-24高二上·安徽·期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为， 故，解得. 故选：B. 30．（21-22高二上·安徽·期中）已知圆经过椭圆C：的右焦点，上顶点与右顶点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程求出右焦点、上顶点、右顶点的坐标，代入圆的方程得出方程组，解之即可. 【详解】椭圆C：，右焦点为，上顶点为，右顶点为， 代入圆的方程， 得，解得， 所以该圆的方程为． 故选：A 31．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆：的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为6 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【分析】先由题意及椭圆的几何性质求得，从而得到，，，由此对选项逐一检验分析即可. 【详解】因为椭圆：的焦点在轴上，所以， 又因为，故，即，故， 对于A，由得，故椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，由得，故椭圆的短轴长为，故B正确； 对于C，因为，所以，故椭圆的焦距为，故C错误； 对于D，易知椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ABD. 32．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于（    ） A．8 B．7 C．12 D．14 【答案】A 【分析】解即得解. 【详解】由题得，解之得. 故选：A 33．（21-22高二上·安徽·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为， 因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上， 所以该圆与已知圆相切， 又两圆圆心间距离为， 所以或（无解，舍去），解得 故选：C. 34．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）椭圆：的短轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】取分母较小的为可得短轴长． 【详解】由已知，，． 故选：C． 35．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8 C．的短轴长为6 D．的一个顶点为 【答案】BC 【分析】根据题意，求得，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A中，由椭圆的焦点坐标为，所以A错误； 对于B中，由椭圆的长轴长为，所以B正确； 对于C中，由椭圆的短轴长为，所以C正确； 对于D中，顶点坐标为和，所以D错误. 故选：BC. 椭圆的离心率 36．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知矩形的四个顶点都在椭圆  上，边和分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，由条件建立方程求解即可. 【详解】由椭圆方程，当时，， 所以， 因为，所以， 即， 所以，解得或（舍去）， 故选：A 37．（2023·陕西安康·三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设于，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【详解】如图，设于， 则由题意得，， ∴，， 由椭圆定义可得， ∴， 在中，由勾股定理得， 可得. 故选：A 38．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得，再结合即可列方程求解. 【详解】 设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以， 设， 因为，所以， 所以 ，解得. 故选：C. 39．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在轴上的点A与的直线与交于点，且不在线段上，，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据已知设，，则.根据椭圆的定义以及已知条件推得，所以.进而在以及中，根据余弦定理以及角之间的关系，得出关系式，化简整理即可得出之间的关系，代入离心率公式，即可得出答案. 【详解】 由已知，不妨设，，则. 由椭圆的定义可知. 因为点A在轴上，分别为的左､右焦点， 所以. 由，得， 即， 则，所以，所以. 因为， 所以， 即， 即， 整理可得，，则. 所以. 故答案为：. 40．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知椭圆的一个焦点为F，若过焦点F的弦AB与以椭圆短轴为直径的圆相切，且，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据直线与单位圆相切、列方程，求得，从而求得椭圆的离心率. 【详解】椭圆，焦距为c,以椭圆短轴为直径的圆为，圆心为原点，半径为. 由于过焦点F的弦AB与以椭圆短轴为直径的圆相切， 所以直线与轴不平行，设直线的方程为， 原点到直线的距离为①， 由消去并化简得， ，设， 则，所以 ，， 由于，所以， 解得（负根舍去），则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 41．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】先计算以线段为直径的圆方程：，根据圆与直线相切得，最后由离心率公式计算即可. 【详解】如图所示，椭圆上下定点， 所以以线段为直径的圆方程为， 又因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离为， 故，即， 所以离心率. 故答案为：. 42．（21-22高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆，点C在椭圆上，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，若圆C与x轴相交于M，N两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设在第一象限，由相切求得，从而求得，得圆半径，为直角三角形，出，由此等腰直角三角形可得的关系式，变形后求得离心率． 【详解】不妨设在第一象限，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，则，又在椭圆上，则，所以圆M的半径，因为为直角三角形，，即，化简可得，即，解得． 故选：C． 直线与椭圆的位置简单应用 43．（21-22高二上·重庆巴南·期中）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（    ） A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆的长轴长为4 C．直线的方程为 D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程，求出、，即可判断A、B，设，，利用点差法求出直线的斜率，即可得到直线方程，从而判断C，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可判断D； 【详解】解：由椭圆方程，所以，，所以，故， 所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误； 因为，所以椭圆的长轴长为，故B正确； 设点，，则，两式相减可得， 整理得，因为点是线段的中点，且， 所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确； 由，得， 所以，，所以，故D正确． 故选：BCD 44．（23-24高二上·安徽·期中）若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可设直线， 联立， 化简得. 因为直线与椭圆相切， 所以有， 解得． 故答案为：． 45．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是． (1)求椭圆C的方程； (2)求点N到直线l：的最大距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据斜率之积建立方程，化简后得到椭圆方程； （2）设直线，根据几何性质，可知当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l距离最大，设出直线：，联立椭圆方程，由求出，利用两平行线间距离公式求出最大距离. 【详解】（1）由题意，设，则，， 因为直线，的斜率之积是，所以． 整理得椭圆方程为； （2）由（1）中结论可得，椭圆方程为， 设直线，则当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离， 设直线：，联立方程 ，得，则， 解得或， 因为要求点到直线l的最大距离，所以直线为， 故最大距离为． 46．（21-22高二上·安徽合肥·期中）曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】将直线与半椭圆的方程联立消元，利用判别式和已知的位置关系可求实数实数的取值范围. 【详解】曲线即为曲线，它表示如图所示的半椭圆. 直线得， 若直线与椭圆相切，则，得， 若直线过，则； 若直线过，则 结合图象可知或. 答案为：或. 47．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据离心率和焦距就可得到，再根据可求得. (2)根据题意设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，求出两根之和，两根之积，再表示出三角形的面积，代入两根之和，两根之积，即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，焦距，则解得，所以椭圆方程为. （2）已知椭圆方程，左焦点为，若倾斜角为，则斜率为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为： 设点的坐标分别为，则 联立方程组得，， 所以， 所以. 所以的面积为. 48．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线与椭圆的相交弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，，结合，即可求椭圆的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程，结合弦长公式即可得解. 【详解】（1）直线恒过定点，可知， 设椭圆的方程为 由，得， 所以椭圆的方程为 （2）设直线与椭圆交于，， 联立，整理得： 其中，， 则 所以直线与椭圆的相交弦长为 49．（21-22高二上·安徽六安·期中）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点且倾斜角为45°的直线与（1）中的曲线相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出直线，的斜率，列式化简即可得到点的轨迹方程； （2）根据题意可得直线的方程为，设，将直线方程与轨迹方程联立，消去参数，可得，再根据的面积即可求出． 【详解】（1）设，由题意得 化简得 ∴点的轨迹方程为： （2）由题可得：，设 由消去得，所以，． ∴． 50．（21-22高二上·安徽合肥·期中）椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，椭圆外一点，直线的斜率为，为坐标原点. (1)求方程； (2)斜率为的直线过点且与相交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）椭圆右焦点，由直线斜率得，由离心率得，再由求得，从而得椭圆方程； （2）设，，直线方程方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由可得结论． 【详解】（1）设椭圆的右焦点， 因为直线的斜率为，所以，解得. 又椭圆的离心率为，即，可得. 故的方程为. （2）设，， 因为得，所以， 则 椭圆有关最值问题 51．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式求解最大值. 【详解】依题意，，，则，，设， 所以：，又因为：， 所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确. 故选：C． 52．（19-20高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆的两焦点为，点是椭圆外部的一点，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点是椭圆上的任意一点，由椭圆的定义求得，在结合点是椭圆外部的一点，得到，即可求解. 【详解】设点是椭圆上的任意一点， 由椭圆的定义可得（定值）， 又因为点是椭圆外部的一点，则， 所以的取值范围为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的应用，其中解答熟练应用椭圆的定义，结合椭圆的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 53．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（    ） A． B．的最大值为8 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】CD 【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式判断AB；设出点的坐标，利用向量的坐标运算，结合椭圆的范围计算判断CD. 【详解】由椭圆定义得，，，A错误； ，当时取等号，B错误； ，设，则，，， ，由，得，C正确； ，，D正确. 故选：CD 54．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断点在椭圆内部，利用椭圆定义将转化为求出最大值即可. 【详解】 由题意，点为椭圆的左焦点， 由于满足：，故在椭圆内部， 设椭圆的右焦点为，连接， 由于动点在椭圆上，则， 从而， 因为， 当共线，且在线段上时取等号， 故的最小值为， 故答案为： 55．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知F是椭圆E：的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及三角形三边的关系即可得出结果. 【详解】记E的右焦点为，依题意，,,由椭圆定义可得， 即， 所以 ， 当且仅当点C在线段上，点C在线段上时等号成立，所以的最小值为． 故答案为： 56．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义转化，由几何法求出的最大值. 【详解】椭圆：的右焦点为. 因为椭圆：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，所以，所以. 所以（当三点共线，如图示在处时等号成立）. 所以的最大值为. 故答案为：. 57．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】设点，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，结合辅助角公式，即可求得最大值. 【详解】因为椭圆， 所以可设椭圆上一点， 则点到直线的距离 ， 则当时， 故答案为; 58．（22-23高二上·安徽·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程，可得的值，根据椭圆的定义，整理等式，用换元法整理函数关系，结合二次函数性质，可得答案. 【详解】由，可知，， ，所以， 又，所以当或时，，又， 所以的最大值为． 故答案为：. 59．（18-19高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，关于直线的对称点为，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，据此即可确定椭圆方程； (2)由题意得到的表达式，结合椭圆方程确定其取值范围即可. 【详解】（1）根据题设得方程组，解得， 所求的椭圆方程为 （2）根据题设列出方程组，解得 ，而，. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中有关范围问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 求椭圆离心率取值范围 60．（22-23高二上·安徽·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，得到，再利用计算可得到离心率的范围. 【详解】 所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部， 所以，所以， 所以，即， 所以． 故选：A． 61．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出，求出，则函数在上有零点，可得出关于、的不等式组，结合可计算得出的取值范围. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，设，则，， 由椭圆定义可得，， 在中，由勾股定理可得， 即，即， 因为点在椭圆内，则， 又因为，所以，， 令，则在上单调递增， 若方程在内有实根，则， 所以，，所以，， 因为点在椭圆内，且，则，即， 所以，，，因此，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率取值范围的求解，解题的关键在于通过勾股定理得出方程，在转化为函数在区间上有零点来处理，同时要善于分析出点在椭圆内这一条件，结合椭圆定义构造不等式关系来求解椭圆离心率的取值范围. 62．（21-22高二上·安徽·期中）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值. 【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确. 故选：D 63．（21-22高二上·安徽池州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围. 【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形， 即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以， 因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于， 所以，化简得，， 因为，所以， 所以，，又， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：B. 64．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由余弦定理结合基本不等式分析可知，当为椭圆短轴顶点时，最大，求出的最小值为，结合余弦函数的单调性可得出，求出的取值范围，可得出椭圆的离心率的取值范围，即可得解. 【详解】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的最小值为. 故答案为：. 65．（21-22高二上·安徽宿州·期中）设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题设易知，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，，则，而， 所以. 故答案为：. 66．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线和正弦定理可得：，，从而由等比性质，结合题干中的条件可得：，根据，求得椭圆的离心率取值范围. 【详解】如图，连接，，I是的内心，可得，分别是和的角平分线，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，所以， 又因为,所以，同理可得：，由比例关系可知，，又，所以，，因此，又，所以． 故答案为： 椭圆的定值和定点问题 67．（22-23高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值? 并证明你的结论; (3)记的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，，及可求得，； （2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性； （3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）为定值，证明如下： 显然直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，由韦达定理得 从而， ， 所以 ， 即，故得证． （3）由（2）知，， 所以 ． 令，， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 所以当，即时，， 此时取得最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 68．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）直接列出关于的方程组求解； （2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出与的关系，从而得出是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得； （ii）设，利用及椭圆方程求得，再求得后可得． 【详解】（1）题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为， 由，化简得， 同理. 所以是方程的两个不相等的实数根， 则. 又因为，所以， 所以. （ii）证明：由（得，，设，则，即， 因为，所以， 得，即， 解得， 所以， 所以为定值. 69．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． (1)求E的方程； (2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线MN过定点． 【分析】（1）根据已知条件建立方程组，解出即可; （2）设出直线AP的方程为，与直线,椭圆联立，分别表示出M，P，N的坐标，进而表示出直线，求得定点. 【详解】（1）由题意知   解得，，， 所以E的方程为． （2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为， 又直线BC的方程为，由，解得，， 即． 由得，解得或， 当时，，即， 所以直线CP的斜率， 所以直线CP的方程为，令，得，即． 所以直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为， 即，所以直线MN过定点．    70．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆C：（）的离心率为，点A，B分别是椭圆C的上，下顶点，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为k的直线l交椭圆C于E，G两点，设直线AE与直线交于点H，点H是否在直线BG上？若是，请证明之，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，证明见解析 【分析】（1）由椭圆的性质和离心率的定义求出椭圆方程； （2）由直线过定点，写出EG直线方程，直曲联立，得到，两点表示的韦达定理，再用直线与的交点求出，最后用，证明点H在直线BG上. 【详解】（1）依题意，因为，所以， 因为离心率为，所以，解得， 所以椭圆C：； （2）   由题意得直线斜率一定存在，设EG方程为， 联立得， 恒成立， 设，， 由韦达定理，， 由，，得直线AE方程为， 令，解得，即， 又，，，， ， 而，，得， ， 于是， 由韦达定理得， 故， 所以点H在直线BG上 【点睛】第一问用椭圆的性质和离心率直接得出结果；第二问数形结合，先设出EG直线方程，直曲联立，得到，两点表示的韦达定理，再用直线与的交点求出，最后用，证明点H在直线BG上. 71．（22-23高二上·安徽宿州·期末）若椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，因为点在椭圆上，将点坐标带入椭圆方程求解即可． （2）过点的直线与椭圆相交，首先要考虑直线斜率不存在的情况，然后在直线斜率存在的条件下，设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求解交点横坐标之间的关系，然后求解直线的斜率之和即可． 【详解】（1）由题意得离心率为，点在椭圆上， 所以，解得，所以椭圆方程为 （2）当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则． 当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，则，得， 设，则， 所以 综上可得，直线的斜率之和为3． 【点睛】过椭圆上一定点,作两条直线分别与椭圆交于A,B两点,且两直线斜率之和为,则   (1)当时,直线恒过一个定点.   (2) 当时,直线AB的斜率为定值. 72．（22-23高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线被椭圆截得的线段长为可求得交点坐标后代入椭圆方程求得值，从而得到椭圆方程. （2）设互相垂直的两条直线方程求出它们与椭圆交点的坐标，写出直线的方程得到直线恒过定点. 【详解】（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限， 又长为，∴，∴ ∴，故的标准方程为 （2）显然直线的斜率存在且不为0， 设，由得， ∴，同理可得 当时，， 所以直线的方程为 整理得，所以直线 当时，直线的方程为，直线也过点 所以直线过定点. 73．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)已知A，B，D为轨迹上三个不同的点，且满足（其中为坐标原点），探索面积是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)； (2)面积为定值，定值为. 【分析】（1）设动圆的半径为.根据圆的一般方程可求出圆的圆心和半径，根据两圆位置关系可得出，即有，根据椭圆的定义可知，动圆的圆心的轨迹为椭圆，进而可求出椭圆的方程； （2）先求出当直线斜率不存在时，求出面积为.然后求解当直线斜率存在时，设直线方程为，根据即可求得. 【详解】（1）由已知得，圆可化为标准方程：， 即圆心，半径， 圆可化为标准方程：，即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知， 两式相加得，， 所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为， 则，，，，， 所以，轨迹的方程为. （2）面积为定值. 设,,则由已知可得， ①当直线斜率不存在时，可知， ，则， 设，， 因为在椭圆上，则，解得， 则. ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 将直线方程代入可得，， ，， ， 所以，，即， 化简得，，则， 所以，. 综上所述，面积为定值. 【点睛】圆锥曲线中探索类的题目，常常用特殊情况先求出值，再证明一般情况下也符合.本题先通过，直线斜率不存在这一特殊情况求出面积，再证明当直线斜率存在时，面积也为该定值. 当直线斜率存在时，设直线方程为.这时候含有双变量，联立方程，用表示出两点的坐标，进而得到点的坐标，点在椭圆上，代入方程即可推得的关系.然后根据三角形的面积公式求出. 74．（21-22高二上·安徽宿州·期中）已知椭圆经过点和. (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与相交于，两点（不经过点），设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，. 【分析】（1）根据题意，待定系数求解即可； （2）根据题意设直线的方程为，，进而得，，再将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理化简整理求解即可. 【详解】（1）解：因为椭圆经过点和， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：根据题意，设直线的斜率必存在，故可设方程为，， 所以联立方程得， 所以，解得， 所以， 所以 因为，， 所以 . 所以为定值， 椭圆最值取值范围问题 75．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知：的左，右焦点分别为，，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆上存在点使得 C．已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据点在椭圆外利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为上下顶点处；对于C，根据点与椭圆的位置关系确定距离最值；对于D，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为， 因为在椭圆外，所以解得， 因为，所以，故A正确； 对于B，当点位于上下顶点时，最大， 此时， ， 所以为钝角，所以椭圆上存在点使得，故B正确； 对于C，由离心率，所以， 所以椭圆方程为，设点, 则， 当时有最大值为,此时,故C错误； 对于D，， ，当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值， 故D正确； 故选:ABD. 76．（23-24高二下·安徽·期中）已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由在椭圆上，的面积为，求出，得椭圆C的标准方程； （2）由，，三点共线，可得，由，，三点共线，可得，故，通过换元利用二次函数的性质求最小值. 【详解】（1）因为在椭圆：上，， 又的面积为，解得， 代入，解得，所以椭圆C的标准方程为. （2）由，，三点共线，可得，故， 同理，由，，三点共线，可得， 若与的面积分别为，， 则， 因为，所以， 所以，又， 故， 因为，令，则， 所以，其中， 函数，，函数图象抛物线开口向下，对称轴为， 则时，有最大值， 即当时， t的最小值为. 77．（23-24高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可直接求得，，计算可得，便可得椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程利用韦达定理和弦长公式可求得，结合判别式可得，再由向量关系是可得，解不等式即可得实数的取值范围为或. 【详解】（1）由焦点坐标可知， 又椭圆上的点到距离的最大值为，可知， 所以； 故椭圆方程是； （2）设，，， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，解得， 又，， 因且，则， 于是有， 化简得，则， 即，所以， 由得， 则，， 而点在椭圆上，即，化简得， 从而有，而，即， 于是得，解得或， 故实数的取值范围为或. 78．（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过点作互相垂直的两条直线分别交于点和，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆圆的位置关系以及椭圆定义进行求解. （2）利用直线与椭圆的位置关系，联立方程组，再利用韦达定理、弦长公式、四边形的面积公式进行求解，最后利用换元法转化为函数问题求取值范围. 【详解】（1）设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切， ，且， ， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 故动圆圆心的轨迹的方程为. （2）若垂直于坐标轴，则. 若不垂直于坐标轴，由（1）知， 则设的方程为，设， 联立， ， 则. 因为两直线垂直，所以将替换，同理可求， 则，令，， 令，则，开口向下，对称轴， 当，所以， 即，所以， 综上所述，四边形的面积的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 79．（21-22高三下·安徽·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点，且△面积的最大值为4. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，A，B，D，E都在椭圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率、焦点三角形的性质及椭圆参数关系列方程求a、b，即可得椭圆方程. （2）讨论直线和的斜率，设直线方程并联立椭圆，应用韦达定理及弦长公式求、，结合直线斜率范围求比值的范围. 【详解】（1）由题设，，解得，故椭圆C的方程为. （2）由（1）知：，若直线和的斜率存在， 令，则，且， 联立与椭圆并整理得：，则， 所以，，故， 同理，， 所以； 若直线和，其中一条直线的斜率不存在， 当斜率不存在，则斜率为0，此时，，则； 当斜率不存在，则斜率为0，此时，，则； 综上，的范围为. 80．（21-22高二上·安徽·期中）点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，，当点在圆上运动时，记点的轨迹为（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求的方程； (2)若曲线与轴交于､两点，过点的直线（不与轴重合）与曲线交于､两点，记､的面积分别为､，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为1 【分析】（1）设，则，由可得，代入中化简可得轨迹的方程， （2）解法一：设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立消去，利用根与系数的关系，由于，则可得，然后分和求其最大值， 解法二：当直线的斜率不存在时，直接可求出､的值，当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再表示出，后面同解法一 【详解】（1）设，则，由得是的中点，得， 又点在圆上，代入得曲线的方程为. （2）解法一：设直线的方程为，，，由得， 由于点在椭圆内部，所以该方程一定有两个不同实数解，且，， 因为，所以， 当时，， 当时，，当且仅当时等号成立. 综上所述，的最大值为1. 解法二：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨设，，，； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得， 由于点在椭圆内部，所以该方程一定有两个不同实数解， 且，， 所以，， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 综上所述，的最大值为1. 81．（10-11高二下·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为． （1）设点的坐标为，证明：； （2）求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，由此可证得结论； （2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆得，利用弦长公式结合韦达定理知，同理知，求出四边形的面积，再利用基本不等式求得最小值，当直线的斜率不存在或斜率时，此时四边形的面积，即可求得最小值. 【详解】（1）证明：椭圆，可知， 由，知点在以线段为直径的圆上，故 所以 （2）①当直线的斜率存在且时，则直线的方程为， 联立，消去y得， 设,，则， 由弦长公式得 由，垂足为，知的斜率为，可知 则四边形的面积 ，当且仅当，即时，等号成立. ②当直线的斜率不存在或斜率时，此时四边形的面积 故四边形的面积的最小值为 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$