第12章 因式分解（5大题型）（30道压轴题专练）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第12章 因式分解（5大题型）（30道压轴题专练） 压轴题型一 运用公式法分解因式压轴题 1．已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 【答案】A 【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17）， ∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11 ∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0， ∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0 ∴a-3=0，b+1=0，c-1=0， ∴a+b-c=3-1-1=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出的值，准确进行计算． 2．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 3．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键． 4．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 5．（1）填空：____________； （2）阅读，并解决问题：分解因式 解：设，则原式 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ① ② 【答案】（1）9，3；（2）①，② 【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论； （2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论； ②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论． 【详解】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2， 故答案为9，3； （2）①， 设，则原式； ②， 设， . 【点睛】本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键． 6．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1)；； (2)大，， (3)，当时，的最小值为； 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由，再结合非负数的性质可得答案； （2）由，再结合非负数的性质可得答案； （3）由可得，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵，而； ∴当时，有最小值2； （2）解：∵，而； ∴当时有最大值； 故有最大值，当时，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∵，而； ∴当时，的最小值为； 压轴题型二 因式分解与几何图形相关压轴题 1．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可． 【详解】解：由图可知：， 正方形边长为a，正方形边长为b， ， ， ， ， ， 将，代入得： ， 故选：B． 2．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 【答案】 20 【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论； （2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴乙正方形的边长为， ∴， 故答案为：20； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 即， ∴或， ∴或（舍去） ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 4．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解； 情境三：能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】解：情境一 如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图的面积： ， 图的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； 情境二 ， 拼成了一个正方形， 当时， ， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三 赞同丁同学的说法； 去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图：    【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． 5．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片． (1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）． 方法1：__________________________________________________． 方法2：__________________________________________________． (2)若，求的值． (3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______． 【答案】(1)， (2)20 (3) 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可； （2）根据非负数的定义可得，再根据进行计算即可； （3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可． 【详解】（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为， 方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有； 故答案为：， （2）∵，，， ∵，，即，， ∴． （3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为， 而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是关键． 6．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论； （2）利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论； （3）①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合（1）中结论，进行求解即可；②根据（2）中结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴关于a，b的等式为：， 故答案为：． （2）解：由题意，得： ； 故答案为：； （3）解：① . ② ． 【点睛】本题考查因式分解的应用．正确的识图，利用两种方法表示面积和体积，是解题的关键． 压轴题型三 十字相乘法压轴题 1．设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，利用十字相乘法，即可确定的值，进一步即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数的个数为． 故选：B． 2．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ． 【答案】． 【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式． 【详解】解：由面积可得：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键． 3．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【详解】（1）①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； （2）设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 4． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 5．因为,令=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x＝2能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式,求m的值; （2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式,试求a,b的值; （3）在（2）的条件下,把多项式因式分解的结果为　 ． 【答案】（1）m=-6;（2）；（3）(x-1)(x+2)(x-3) 【分析】（1）由已知条件可知，当x=4时，x2+mx+8=0，将x的值代入即可求得； （2）由题意可知，x=1和x=-2时，x3+ax2-5x+b=0，由此得二元一次方程组，从而可求得a和b的值； （3）将（2）中a和b的值代入x3+ax2-5x+b，则由题意知（x-1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解． 【详解】解：（1）∵x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，则x=4使x2+mx+8=0， ∴16+4m+8=0，解得m=-6； （2）∵（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式， 则x=1和x=-2都使=0， 得方程组为：，解得； （3）由（2）得，x3-2x2-5x+6有两个因式（x﹣1）和（x+2）， 又， 则第三个因式为(x-3)， ∴x3-2x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)． 故答案为：(x-1)(x+2)(x-3)． 【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键． 6．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1）；；（2）61或-82． 【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论； （2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可． 【详解】解：（1）①如下图，其中， 所以，； ②如下图，其中， 而， 所以，； （2）如下图，其中， 而 或， ∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键． 压轴题型四 分组分解压轴题 1．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 2．常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分组法分解因式．熟练掌握分组分解法依据，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，是解决问题的关键． 前三项分为一组，后一项分为一组，前三项先用完全平方公式分解，而后整体用平方差公式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 3．义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，看懂题例，学会拆项法及添项法是解决本题的关键． （1）把拆成、，然后分组分解； （2）把拆成、，然后三二分组分解； （3）把、、分别拆成、、，再两两分组分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式 (2)， (3) 【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键． （1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解； （2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解； （3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式； （2）解：，前两项为一组，后一项为一组， ∴原式， ，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组， ∴原式， 故答案为：，． （3）解： ． 5．数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）． 材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解， 即，这种分解因式的方式叫做分组分解法． 卡片： (1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________． (2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解． (3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解题意，并掌握因式分解的方法． （1）根据题中的分组分解法即可求解； （2）先将式子分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）先将式子化简得到，进而得到，即 可 判 断． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）由题意得： （3）为等边三角形， 理由：由题意可得： ， ， ， ，， ， 为等边三角形． 6．小林和小王碰到了一个难题：将因式分解． 这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 我们可以尝试先将它配上中间项，如，使其前面三项变成一个完全平方式，得到，再尝试用平方差公式因式分解． (1)根据小王说的方法将因式分解． (2)依照上述方法将因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法，公式法分解因式； （1）将写成a，再利用分组分解法以及完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可； （2）将写，再根据分组分解法，完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解: （2） 压轴题型五 因式分解的应用 1．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形．根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如果一个四位自然数N各个数位的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x，后两位数字组成的两位数记为y，规定，，当为整数时，称这个四位数为“齐心数”．则 ．若“齐心数”，（，，，a，b，c为整数），且除以7余数为1，则S最大值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查因式分解的应用，能够理解新定义内容，再根据数的特点分类讨论是解题的关键．根据定义分别求出，，再代入求解即可；根据所给的条件结合定义可得，，由题意可得能被7整除，则，或，或，，再分情况讨论即可． 【详解】解：，， ； ，，，， ，， ， ， 除以7余数为1， 能被7整除， 能被7整除， ，， ， 或， ，或，或，， 当，时，， 当时，是整数，符合题意； ； 当，时，， 当时，是整数，符合题意； ； 当，时，， ， 不是整数， 此时不符合题意； 综上所述：为或，则的最大值为4188， 故答案为：1，． 3．对于一个图形，我们可以通过两种不同的方法计算它的面积（大图形面积等于各小图形面积之和），可 以得到一个数学等式，例如如图可以得到， 请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式． (2)利用（1）中的结论，解决下面问题：已知，求 的值． (3)小明同学用 3 张边长为 a 的正方形，4 张边长为 b 的正方形，7 张边长分别为 a、b 的长方形纸片拼出 了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ 【答案】(1) (2)45 (3) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长． 【详解】（1）正方形的面积可表示为； 正方形的面积各个矩形的面积之和， 所以； （2）由（1）可知：； （3）长方形的面积． 所以长方形的边长为和， 所以较长的一边长为． 4．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 5．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 例如．求代数式的最小值． 原式 ． 可知当时，有最小值，最小值是-8． (1)分解因式： ． (2)已知的三边长a、b、c都是整数，且满足，求边长c的最小值； (3)当x，y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)当时，代数式有最大值，最大值为16 【分析】本题考查非负数的性质，因式分解的理用，解答本的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． （1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解； （2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后根据非负数的性质即可得到a，b的值，根据三角形三边关系求出c的取值，即可得出边长c的最小值； （3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到最大值 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∵a、b、c都是整数， ∴边长c的最小值为5； （3）解：∵ = = = = ∵ ∴ ∴当时，代数式有最大值，最大值为16． 6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． (1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． (3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①，②1 (3)3.5 【分析】本题考查的是因式分解和图形的结合，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则； （2）①大长方形的面积，大长方形的面积=，则； ②由题意得：，则，结合即可求得； （3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积． 【详解】（1）解：根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则， 故答案为：； （2）解：①∵大长方形的面积， 大长方形的面积=， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， （3）解：阴影部分的面积 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解（5大题型）（30道压轴题专练） 压轴题型一 运用公式法分解因式压轴题 1．已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 2．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ． 3．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 4．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 5．（1）填空：____________； （2）阅读，并解决问题：分解因式 解：设，则原式 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ① ② 6．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 压轴题型二 因式分解与几何图形相关压轴题 1．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 2．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 4．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 5．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片． (1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）． 方法1：__________________________________________________． 方法2：__________________________________________________． (2)若，求的值． (3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______． 6．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 压轴题型三 十字相乘法压轴题 1．设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ． 3．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 4． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 5．因为,令=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x＝2能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式,求m的值; （2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式,试求a,b的值; （3）在（2）的条件下,把多项式因式分解的结果为　 ． 6．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 压轴题型四 分组分解压轴题 1．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 2．常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 3．义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 4．阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 5．数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）． 材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解， 即，这种分解因式的方式叫做分组分解法． 卡片： (1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________． (2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解． (3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由． 6．小林和小王碰到了一个难题：将因式分解． 这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 我们可以尝试先将它配上中间项，如，使其前面三项变成一个完全平方式，得到，再尝试用平方差公式因式分解． (1)根据小王说的方法将因式分解． (2)依照上述方法将因式分解． 压轴题型五 因式分解的应用 1．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 2．如果一个四位自然数N各个数位的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x，后两位数字组成的两位数记为y，规定，，当为整数时，称这个四位数为“齐心数”．则 ．若“齐心数”，（，，，a，b，c为整数），且除以7余数为1，则S最大值为 ． 3．对于一个图形，我们可以通过两种不同的方法计算它的面积（大图形面积等于各小图形面积之和），可 以得到一个数学等式，例如如图可以得到， 请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式． (2)利用（1）中的结论，解决下面问题：已知，求 的值． (3)小明同学用 3 张边长为 a 的正方形，4 张边长为 b 的正方形，7 张边长分别为 a、b 的长方形纸片拼出 了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ 4．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 5．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 例如．求代数式的最小值． 原式 ． 可知当时，有最小值，最小值是-8． (1)分解因式： ． (2)已知的三边长a、b、c都是整数，且满足，求边长c的最小值； (3)当x，y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． (1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． (3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$