第12章 因式分解（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

第12章 因式分解（压轴题专项训练） 一、单选题 1．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 【答案】D 【详解】由得 ∵m，n均为正整数 或或或 或或或    或 解得或或或或或或或 ∴或22或18或16 ∴的最大值是36 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为. 2．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 3．已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 4．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 【答案】B 【详解】设， 是偶数， 是奇数，选项符合题意， 故选：． 5．对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③， ∵ 则当的值恒为正数时，即可， ∴， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ∴，， ∵p、q为整数， ∴p、q的值可为或或或或或 ∴或或8或或7或， 故④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 6．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 二、填空题 7．已知实数a，b满足，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解： ∴， ∴， ∴或， ∴或， 由于，， ∴不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：2． 8．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 【答案】9或12或21 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 9．若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】设 ，则展开后比较系数得 且 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 综上，整数的所有可能值为：． 故答案为． 10．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 【答案】2 【分析】 【详解】由周长公式得： 设，则，且 ， 代入方程： 故长方形面积为平方米。 故答案为：2． 11．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 【答案】31或175或1631 【详解】解：设这个正整数为a，则，，， ， 对81因式分解，可以分解为3和27，或1和81，或9和9， 所以：，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 故答案为：31或175或1631． 12．若，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 13．已知，，则的值为 【答案】34 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 14．已知是多项式的因式，则 ， ． 【答案】 【详解】解：当，时，，， 是多项式的因式， ， ； 当，时，，， ， ， ， 故答案为：，． 15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 【答案】35 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第12个智慧优数是， 故答案为：． 16．在综合与实践活动课上，李老师让同学们画出矩形，使其各边均为整数．设矩形的面积为m，周长为n． ①若，则n的所有可能值为 ； ②当时．若要使得每位同学画出的矩形一定互相全等，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】 【详解】解：①设一边长为，则另一边长为， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或或或， 则n为或， 故答案为：或； ②设一边长为，则另一边长为， 则，， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∵每位同学画出的矩形一定互相全等， ∴是质数， 即为， ∴这个矩形的两边长为和， ∴m的值为， 故答案为：． 17．有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 【答案】 【详解】解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为，，， ∴，，， ∵，且， ∴，且， 整理得，且， ∵可得，， ∴， ∵可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是 （填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 【答案】①②⑤ 【分析】 【详解】解：①当且时， ， ， ∴， 故①正确； ②当时， ， ， ， ∴所得的结果中不含一次项， 故②正确； ③当时， ， ， ， 不确定的正负， 故③错误； ④若且， ∴ ， ∴，， 解得，， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴ ， ∵x，y为整数， ∴和均为整数， ∴或， 解得或， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三、解答题 19．已知，，求代数式的值． 【答案】300 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴﹒ ∴ 20．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2) (3)，该多项式分解因式为： 【分析】 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得：， ∴； （3）设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 21．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【分析】 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 22．已知实数m、、满足：． (1)若，，求的值； (2)若m、、为正整数，求符合条件的有序实数对的个数． 【答案】(1)； (2)7． 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 解得：； （2）解：当m、、为正整数时， ，均为整数，，，，， 而， ∴或或， ∴或或， 当时，时，；时，， 故为，共2个； 当时，时，；时，，时， 故为，共3个； 当时，时，；时，， 故为，共2个； 综上所述：共有个． 故答案为：7． 23．若自然数，满足，，，若，都是两位数，且互为反序数，求，．（数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21） 【答案】，． 【详解】解：设，则，其中a和b都是1到9的自然数， 则，， ∴，， ∵x、y都是自然数，所以是完全平方数， ∴和中必有一个是11的倍数， ∵a和b都是1到9的自然数， ∴， 于是也是一个完全平方数， 只能，， ∴， ∴，， 解得：，． 24．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． (1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． (2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数． (3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 【答案】(1)是和谐数，平方差为的连续的两个奇数是、； (2)见解析 (3)，，，，， 【分析】 【详解】（1）是和谐数，理由如下： ， 是和谐数． 平方差为的连续的两个奇数是、； （2）证明：设连续的两个奇数分别为，， 则， 任何一个和谐数一定是的倍数； （3）设这个三位数为均为小于的自然数，且， 则是整数，且是整数，， 满足条件的，，有： ，，此时三位数为； ，或，此时三位数为或； ，，此时三位数为； ，，，此时三位数为； ，，，此时三位数为． 综上所述，满足条件的所有三位数有，，，，，． 25．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 因式分解（压轴题专项训练） 一、单选题 1．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 2．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 3．已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 5．对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 6．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．已知实数a，b满足，则的值为 ． 8．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 9．若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为 ． 10．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 11．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 12．若，且，则的值为 ． 13．已知，，则的值为 14．已知是多项式的因式，则 ， ． 15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 16．在综合与实践活动课上，李老师让同学们画出矩形，使其各边均为整数．设矩形的面积为m，周长为n． ①若，则n的所有可能值为 ； ②当时．若要使得每位同学画出的矩形一定互相全等，则m的值为 ． 17．有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 18．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是 （填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 三、解答题 19．已知，，求代数式的值． 20．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 21．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 22．已知实数m、、满足：． (1)若，，求的值； (2)若m、、为正整数，求符合条件的有序实数对的个数． 23．若自然数，满足，，，若，都是两位数，且互为反序数，求，．（数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21） 24．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． (1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． (2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数． (3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 25．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $