期末总复习04 因式分解2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学讲义通过系统梳理因式分解的六大知识点，构建“概念-方法-综合应用”的知识体系，以层级框架呈现提公因式法、公式法等方法的内在联系，突出分解彻底性等重难点，帮助学生形成结构化认知。 讲义亮点在于分层例题与情境化练习设计，如通过“已知x+y=4，xy=-2求x³y+xy³”培养运算能力与应用意识，用换元法分解复杂多项式渗透推理意识。基础题巩固方法，综合题提升思维，助力教师实施精准教学，学生自主复习时能明确进阶路径。

第4课 因式分解期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点01——因式分解的概念 知识点02——提公因式法分解因式 知识点03——用平方差公式分解因式 知识点04——用完全平方公式分解因式 知识点05——用其他方法分解因式 知识点06——分解因式的综合 知识点01 因式分解的概念 1. 定义：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式（多项式）化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解.如：x²+x=x(x+1);x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). 其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4. 利用因式分解巧算和求代数式的值 如：+=+2×=×（-1+2）= 再比如：已知，则=xy(x+y)=-2×4=-8 例题讲解 题型1：因式分解的辨识 例1（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 题型2：判断因式分解是否正确 例2（22-23八年级下·重庆江北·期中）下列各式中，从左到右因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. ，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； B. ∵，∴原因式分解不正确，故此选项不符合题意； C. ，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意； D. ，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意． 故选D． 题型3：根据因式分解的结果求整式中未知系数 例3（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【答案】11 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A是展开而非分解；选项B分解正确；选项C未彻底分解；选项D含有分式，不是整式乘积． 【详解】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义及分式的基本性质和分式值为零的条件，熟练掌握相关定义，性质是解题的关键．直接根据因式分解的定义，分式值为零的条件及分式的基本性质逐项判断即可得解． 【详解】根据将一个多项式化为几个整式积的形式的过程为因式分解，左边为多项式，右边是整式积的形式可判断①不是因式分解；②不是整式积的形式，是分式积的形式，也不是因式分解；根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式，分式值不变，可知③正确；④不正确，分子不为零，分式值不可能为零． 因此正确的只有1个， 故选：B 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开后与原多项式比较系数，建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 4． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 所以这个整式是， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，因式分解，先把式子整理得，再提公因式，进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选B． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：我们把含多个项的整式（多项式）中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 2.公因式的确定方法 ①找系数的最大公因数；②找相同字母；③找相同字母指数最小值. 3.特别注意点：公因式可以是单项式也可以是多项式. 如：=所以公因式是（a-5）. 提公因式法分解因式：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②确定另一个因式； ③提公因式，将多项式写成乘积的形式. 例题讲解 题型1：公因式是单项式 例1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 题型2：公因式是多个项的整式（多项式） 例2（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】题目主要考查提公因式分解因式，（a-b）和（b-a）是互为相反数，要先变号，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 题型3：利用因式分解巧算或求代数式的值 例3（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，将先化简，再求值． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟记公式并能灵活运用是解题关键．利用提取公因式和多项式乘多项式化简得，再把已知数据代入得出答案即可． 【详解】 ， 原式． 课后练习 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 2．（18-19七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 3．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，然后再运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底． （1）原式变形为，提取公因式分解即可； （2）原式提取公因式分解即可； （3）原式变形为，再提公因式分解即可； （4）原式提取公因式分解，整理后再提取公因式2分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】28 【分析】本题考查利用因式分解简算代数式求值，提取公因式进行因式分解和整体代入是解答此题的关键． 对原式提取公因式后，将，代入求值． 【详解】解：∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键． （1）提公因式，即可求解； （2）提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 10.（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 知识点03 用平方差公式分解因式 1. 定义：把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b), 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 适用平方差公式分解的条件： 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号 如：下列多项式适用平方差公式分解的有（ ①②⑤⑥ ） (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)²-(m-n)² 例题讲解 题型1：判断能否使用平方差公式 例1（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 题型2：两个单项式的平方差 例2（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型3：两个整式的平方差 例3（25-26八年级上·全国·专题练习）分解因式： (x + p)² - (x + q)² 【分析】把 (x+p) 和 (x+q) 分别看作一个整体. 第一步：观察是否符合平方差公式. 第二步：确定公式中的 a 和 b. 第三步：套用公式分解. 【详解】原式 = [ (x+p) + (x+q) ] [ (x+p) - (x+q) ] = (x + p + x + q)(x + p - x - q) = (2x + p + q)(p - q) 【方法点睛】：当公式中的a 或 b 是多项式时，要用整体思想，并添加中括号确保运算正确，最后化简. 题型4：判断整除的情况 例4（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 题型5：利用因式分解巧算或求代数式的值 例5（24-25七年级上·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 课后练习 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、是三项，不能用平方差公式分解因式； B、是三项，不能用平方差公式分解因式； C、是三项，不能用平方差公式分解因式； D、，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【详解】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 先由平方差公式因式分解，再由完全平方和与完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）因式分解： (1)；； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先通过变形将式子化为有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 原式化为，再根据平方差公式进行计算，即可求解． 【详解】 ． 8.（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.定义：像a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，叫作完全平方式. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b² 的等号两边互换，就得到 a²+2ab+b²=(a+b)²,a²-2ab+b²=(a-b)². 即: 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2.公式法：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 注意事项：因式分解一定要分到不能再分为止. 例题讲解 题型1：完全平方式的辨识 例1（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 题型2：两个单项式的完全平方 例2分解因式：-x²+4xy-4y². 【分析】可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式. 【详解】 -x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)². 题型3：两个整式的完全平方 例3分解因式：． 【分析】先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】原式 题型4：运用整体思想分解因式 例4（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． （25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是运用换元法和完全平方公式进行因式分解． 把看成一个整体，利用完全平方公式进行第一次因式分解，然后对分解后得到的式子继续用继续用十字相乘法分解． 【详解】解：令，则原式变为， 根据完全平方公式，这里， 则．， 把代后，得到， ， 因此． 6．（17-18八年级上·四川广元·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先根据完全平方公式进行因式分解，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法因式分解以及分解要彻底成为解题的关键． 先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解，最后根据积的乘方化简即可． 【详解】解： ． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法公式法，，即可． 【详解】 ． 9.（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 10．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 知识点05 用其他方法分解因式 1.十字相乘法——x²+(p+q)x+pq型式子的因式分解 (x+p)(x+q) =x²+px+qx+pq =x²+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).(*) 利用(*)式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 例如，将式子x²+3x+2分解因式利用(*)式可得x²+3x+2=(x+1)(x+2). 上述分解因式x²+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： 十字相乘法的步骤： ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 2.分组分解（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 分组分解特别适用于那些无法直接使用提公因式法或公式分解法的多项式.通过将多项式的项适当地分组，可以将其转化为可以应用基本方法(如提公因式法或公式法)分解的形式，从而达到因式分解的目的. 分组分解的基本步骤 ①适当分组：将多项式的项分成若干组，每组内的项具有某种共同特征，如含有相同的因式或可以应用某个公式. ②局部分解：对每一组进行因式分解，通常使用提公因式法或公式法. ③综合分解：将分组后的结果进行进一步的因式分解，得到最终的分解结果. 例如：， 又如： 3.换元法分解因式（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 如，分解因式：． ①设定替换变量：设t=2a+b,将原式转化为t2-4t-12; ②因式分解：通过代入替换变量，简化表达式，得到t2-4t-12=(t-6)(t+2); ③还原替换：将替换变量t还原为原变量，得到最终的因式分解形式:(2a+3b-6)(2a+3b+2); 换元法在处理复杂的因式分解题目时，能够有效减少多项式的项数，降低多项式的次数，从而使计算更加简便. 例题讲解 题型1：十字相乘法分解因式 例1（1）（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． （2）（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握十字相乘法的原理（找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项）是解题的关键． 通过十字相乘法，寻找两个数，使其和为，积为，进而对二次三项式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型2：分组分解法 例2（1）（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： （2）（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】(1) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ； 题型3：换元法 （25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 3．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据题意，把作为一个整体，则原式可分解为，再继续分解，可得到结果． 【详解】解： ． 4．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解中的分组分解法，解题的关键是合理分组后提取公因式． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 5．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 7．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 8．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若且，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．用分组分解法对等式的左边进行因式分解，将第一、二、四项分成一组，用完全平方公式因式分解，再用平方差公式进行因式分解，结合，通过整体代入求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，    ∴， 又∵，    ∴． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． (1)根据完全平方公式即可解答； (2)设 ，则，原式，再因式分解即可得到答案； (3)先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【详解】（1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）解：设， 原式 ； （3）解：原式 ， 设 原式   ． 知识点06 分解因式的综合 分解因式的原则： 1. 整系数多项式分解后保持整系数；首项系数通常化为正整数，如-2ax²+4ax=-2ax(x-2)； 2. 分解到每一个因式不能再分为止. 标准分解因式的步骤： 1. 提取公因式：优先提取所有项的最大公因式.示例：6x²y-4xy²=2xy(3x-2y); 2. 使用公式： 平方差：a²-b²=(a-b)(a+b); 完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²; 3. 尝试十字相乘(仅限于二次三项式):如6x²+5x-6=(2x+3)(3x-2)等； 4. 尝试技巧分解：常用的技巧有分组分解(适用于四项以上):如az+ay+bx+by=(a+b)(x+y)、换元、配方法、拆项添项. 例题讲解 题型1：综合运用提公因式和公式法 例1（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)（为大于2的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）原式先变形，再提取公因式，然后利用平方差公式分解即可； （2）先将原式变形为，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型2：综合运用公式法 例2（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 题型3：综合运用技巧分解 例3（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，掌握方法是解题的关键．原式提取公因式后，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 3．（21-22七年级下·北京通州·月考）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先由完全平方公式把前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 6． 5．（25-26七年级上·上海青浦·阶段练习）因式分解：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式以及因式分解要彻底的要求是解题的关键．先利用二次三项式的因式分解方法，将原式看作关于的二次三项式进行分解，再进一步分解到最简形式，解题思路是先运用一次平方差公式或完全平方公式分解，再看能否继续分解． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 7．（20-21七年级上·上海·期中） 【答案】． 【分析】综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键． 8．（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 9．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【答案】(1)是 (2)； (3) 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 【答案】 【分析】由于整式可以写成两个因式的积，且其中一个因式已知，可设另一个因式为，通过比较系数求解即可．本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 比较系数得，， 解得，， ∴另一个因式为． 12．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4课 因式分解期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点01——因式分解的概念 知识点02——提公因式法分解因式 知识点03——用平方差公式分解因式 知识点04——用完全平方公式分解因式 知识点05——用其他方法分解因式 知识点06——分解因式的综合 知识点01 因式分解的概念 1. 定义：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式（多项式）化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解.如：x²+x=x(x+1);x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). 其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4. 利用因式分解巧算和求代数式的值 如：+=+2×=×（-1+2）= 再比如：已知，则=xy(x+y)=-2×4=-8 例题讲解 题型1：因式分解的辨识 例1（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 题型2：判断因式分解是否正确 例2（22-23八年级下·重庆江北·期中）下列各式中，从左到右因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. ，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； B. ∵，∴原因式分解不正确，故此选项不符合题意； C. ，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意； D. ，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意． 故选D． 题型3：根据因式分解的结果求整式中未知系数 例3（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【答案】11 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 6．（24-25七年级上·全国·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：我们把含多个项的整式（多项式）中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 2.公因式的确定方法 ①找系数的最大公因数；②找相同字母；③找相同字母指数最小值. 3.特别注意点：公因式可以是单项式也可以是多项式. 如：=所以公因式是（a-5）. 提公因式法分解因式：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②确定另一个因式； ③提公因式，将多项式写成乘积的形式. 例题讲解 题型1：公因式是单项式 例1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 题型2：公因式是多个项的整式（多项式） 例2（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】题目主要考查提公因式分解因式，（a-b）和（b-a）是互为相反数，要先变号，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 题型3：利用因式分解巧算或求代数式的值 例3（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，将先化简，再求值． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟记公式并能灵活运用是解题关键．利用提取公因式和多项式乘多项式化简得，再把已知数据代入得出答案即可． 【详解】 ， 原式． 课后练习 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 3．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式： ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 5．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算 (1) (2) 10.（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 知识点03 用平方差公式分解因式 1. 定义：把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 适用平方差公式分解的条件： 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号 如：下列多项式适用平方差公式分解的有（ ①②⑤⑥ ） (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)²-(m-n)² 例题讲解 题型1：判断能否使用平方差公式 例1（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 题型2：两个单项式的平方差 例2（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型3：两个整式的平方差 例3（25-26八年级上·全国·专题练习）分解因式： (x + p)² - (x + q)² 【分析】把 (x+p) 和 (x+q) 分别看作一个整体. 第一步：观察是否符合平方差公式. 第二步：确定公式中的 a 和 b. 第三步：套用公式分解. 【详解】原式 = [ (x+p) + (x+q) ] [ (x+p) - (x+q) ] = (x + p + x + q)(x + p - x - q) = (2x + p + q)(p - q) 【方法点睛】：当公式中的a 或 b 是多项式时，要用整体思想，并添加中括号确保运算正确，最后化简. 题型4：判断整除的情况 例4（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 题型5：利用因式分解巧算或求代数式的值 例5（24-25七年级上·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 课后练习 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 5．（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解：． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）因式分解： (1)；； (2)． 7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 8.（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.定义：像a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，叫作完全平方式. 把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 即: 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2.公式法：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 注意事项：因式分解一定要分到不能再分为止. 例题讲解 题型1：完全平方式的辨识 例1（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 题型2：两个单项式的完全平方 例2分解因式：-x²+4xy-4y². 【分析】可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式. 【详解】 -x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)². 题型3：两个整式的完全平方 例3分解因式：． 【分析】先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】原式 题型4：运用整体思想分解因式 例4（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． （25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 6．（17-18八年级上·四川广元·期末）因式分解： 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 9.（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 10．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 知识点05 用其他方法分解因式 1.十字相乘法——x²+(p+q)x+pq型式子的因式分解 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 利用(*)式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 例如，将式子x²+3x+2分解因式利用(*)式可得x²+3x+2=(x+1)(x+2). 上述分解因式x²+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： 十字相乘法的步骤： ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 2.分组分解（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 分组分解特别适用于那些无法直接使用提公因式法或公式分解法的多项式.通过将多项式的项适当地分组，可以将其转化为可以应用基本方法(如提公因式法或公式法)分解的形式，从而达到因式分解的目的. 分组分解的基本步骤 ①适当分组：将多项式的项分成若干组，每组内的项具有某种共同特征，如含有相同的因式或可以应用某个公式. ②局部分解：对每一组进行因式分解，通常使用提公因式法或公式法. ③综合分解：将分组后的结果进行进一步的因式分解，得到最终的分解结果. 例如：， 又如： 3.换元法分解因式（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 如，分解因式：． ①设定替换变量：设t=2a+b,将原式转化为t2-4t-12; ②因式分解：通过代入替换变量，简化表达式，得到t2-4t-12=(t-6)(t+2); ③还原替换：将替换变量t还原为原变量，得到最终的因式分解形式:(2a+3b-6)(2a+3b+2); 换元法在处理复杂的因式分解题目时，能够有效减少多项式的项数，降低多项式的次数，从而使计算更加简便. 例题讲解 题型1：十字相乘法分解因式 例1（1）（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． （2）（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握十字相乘法的原理（找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项）是解题的关键． 通过十字相乘法，寻找两个数，使其和为，积为，进而对二次三项式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型2：分组分解法 例2（1）（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： （2）（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】(1) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ； 题型3：换元法 （25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 4．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 5．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 6．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． ． 7．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：； 8．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若且，求的值． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 知识点06 分解因式的综合 分解因式的原则： 1. 整系数多项式分解后保持整系数；首项系数通常化为正整数，如-2ax²+4ax=-2ax(x-2)； 2. 分解到每一个因式不能再分为止. 标准分解因式的步骤： 1. 提取公因式：优先提取所有项的最大公因式.示例：6x²y-4xy²=2xy(3x-2y); 2. 使用公式： 平方差：a²-b²=(a-b)(a+b); 完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²; 3. 尝试十字相乘(仅限于二次三项式):如6x²+5x-6=(2x+3)(3x-2)等； 4. 尝试技巧分解：常用的技巧有分组分解(适用于四项以上):如az+ay+bx+by=(a+b)(x+y)、换元、配方法、拆项添项. 例题讲解 题型1：综合运用提公因式和公式法 例1（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)（为大于2的正整数）． 题型2：综合运用公式法 例2（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 题型3：综合运用技巧分解 例3（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（21-22七年级下·北京通州·月考）分解因式： 4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 5．（25-26七年级上·上海青浦·阶段练习）因式分解：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 7．（20-21七年级上·上海·期中） 8．（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 9．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 12．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 这个三角形是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $