第12章 因式分解 知识归纳与题型突破（12类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第12章 因式分解知识归纳与题型突破（12类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八：添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点九：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 03 题型归纳 题型一　判断是否是因式分解 1．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．给出下列六个多项式：①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy＋y2；④x4－1；⑤x(x＋1)－2(x＋1)；⑥m2－mn＋n2.其中，能因式分解的是 (填序号)． 3．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 题型二　已知因式分解的结果求参数 4．若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 5．若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 6．把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ） A． B． C． D．4 2．已知二次三项式有一个因式是，则的值为 . 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 题型三　提公因式法分解因式 7．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10．则的值为（    ） A．140 B．70 C．14 D．10 8．若，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．已知，，则的值为（    ） A． B．6 C． D．5 巩固训练 1．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 2．多项式提公因式后的另一个因式为 ． 3．分解因式： (1) (2) 题型四　公因式 10．把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 11．用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（   ） A． B． C． D． 12．多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 巩固训练 1．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是 ． 3．已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 题型五　平方差公式分解因式 13．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 14．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A． B． C． D． 15．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（    ） A．61，62 B．61，63 C．63，65 D．65，67 巩固训练 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ． 3．小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) (2) (3) 题型六　完全平方公式分解因式 16．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 17．下列多项式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中能用公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 巩固训练 1．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 2．已知实数x，y满足，则 ． 3．若，求的值． 题型七　综合运用公式法分解因式 19．下列因式分解不正确的是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2 B．2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x﹣y）2 C．4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y） D．x2+4x＝x（x+4） 20．下列因式分解正确的是（    ） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2 D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1） 21．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 2．在实数范围内因式分解： ． 3．因式分解： (1) (2) 题型八　综合提公因式和公式法分解因式 22．代数式分解因式的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 23．规定新运算：，其中，，则把因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 24．多项式与多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九　因式分解在有理数简算中的应用 25．若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 26．若a+b=1，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 27．已知ab＝4，b﹣a＝7，则a2b﹣ab2的值是（　　） A．11 B．28 C．﹣11 D．﹣28 巩固训练 1．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 2．计算： ． 3．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 题型十　十字相乘法 28．若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．11 29．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 30．若多项式可分解为，则的值为（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 2．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ． 3．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 题型十一　分组分解法 31．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 32．已知，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C． D． 33．若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（     ） A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021 巩固训练 1．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 2．因式分解 ． 3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 题型十二　因式分解的应用 34．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．6 C． D． 35．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 36．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 巩固训练 1．已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 2．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为 ． 3．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是－8． (1)分解因式：______． (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数． (3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解知识归纳与题型突破（12类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八：添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点九：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 03 题型归纳 题型一　判断是否是因式分解 1．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义‌是将一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，故不符合题意； B、符合因式分解的定义，故不符合题意； C、符合因式分解的定义，故不符合题意； D、不符合因式分解的定义，故符合题意； 故选：D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可． 本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不是因式分解， ∴B不合题意； ∵不是因式分解， ∴C不合题意； ∵是因式分解， ∴D符合题意； 故选D． 3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，不符合因式分解的定义，故此选项错误； C、，不符合因式分解的定义，故此选项错误； D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误； 故选：A． 巩固训练 1．下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解的定义以及整式的乘法运算，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断即可得出答案． 【详解】解：A、，右边不是几个因式乘积的形式，因此由左到右的变形中，不是因式分解，故A不符合题意； B、，是因式分解，故B符合题意； C、，右边不是整式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，是整式乘法，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：B． 2．给出下列六个多项式：①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy＋y2；④x4－1；⑤x(x＋1)－2(x＋1)；⑥m2－mn＋n2.其中，能因式分解的是 (填序号)． 【答案】②③④⑤⑥ 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】①x2+y2不能因式分解，故①错误； ②-x2+y2利用平方差公式，故②正确； ③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确； ④x4-1平方差公式，故④正确； ⑤x（x+1）-2（x+1）提公因式，故⑤正确； ⑥m2-mn+n2完全平方公式，故⑥正确； 故答案为②③④⑤⑥． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要彻底． 3．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解； （3）解：，是因式分解； （4）解：，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 题型二　已知因式分解的结果求参数 4．若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据以上内容得出多项式因式分解的结果为得出，再求出答案即可． 【详解】多项式因式分解的结果为， ． 故选：D． 5．若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 6．把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知二次三项式有一个因式是，则的值为 . 【答案】 【分析】设另一个因式为，得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则 ∴， 解得， ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值． （3）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ∴， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：∵二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （3）解：二次三项式有一个因式是，a是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 题型三　提公因式法分解因式 7．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10．则的值为（    ） A．140 B．70 C．14 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先根据题意得出，，再将进行因式分解，最后代入求值即可． 【详解】解：∵该长方形的周长为14，面积为10， ∴，则， ∴， 故选：B． 8．若，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，正确找出公因式是解题关键．将提取公因式，进而将已知代入求值即可． 【详解】解：， 故选：B． 9．已知，，则的值为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题因式分解、考查代数式求值，由，进行整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．多项式提公因式后的另一个因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提因式分解的常用方法是解题关键．根据提公因式法分解因式进而即可求解． 【详解】解：， 所以，多项式提公因式后的另一个因式为． 故答案为：． 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 题型四　公因式 10．把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式进行分解因式，根据的公因式是，则把分解因式，应提取的公因式是，即可作答． 【详解】解：∵的公因式是 ∴把分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 11．用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键． 根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母并且取相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【详解】 ， 故选：D． 12．多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提取公因式法分解因式解答即可． 本题考查了提取公因式分解因式，熟练掌握提取公因式法是解题的关键． 【详解】由，故公因式是， 故选C． 巩固训练 1．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 2．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 运用提公因式因式分解法进行求解． 【详解】解：系数的最大公约数是3，字母的公因式为， ∴多项式的公因式是， 故答案为：． 3．已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】有公因式;公因式为(x+2) 【分析】分别将多项式A=3x2-12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】解：多项式A、B、C有公因式， ∵A=， B=， C= ∴多项式A、B、C的公因式是： 【点睛】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键. 题型五　平方差公式分解因式 13．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的平方差公式，根据平方差公式的结构特点逐个分析得结论． 【详解】解：A、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意； B、，可以用平方差公式进行因式分解，符合题意； C、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，用完全平方公式因式分解，不符合题意； 故选：B 14．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用平方差公式分解因式，能熟记平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B．，能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； C．），不是用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； D．不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选：B． 15．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（    ） A．61，62 B．61，63 C．63，65 D．65，67 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用．多次利用平方差公式化简，可解得． 【详解】解： ∴这两个数是63，65． 故选：C． 巩固训练 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式．根据平方差公式，能把一个多项式拆成两数之和乘上两数之差的形式，进行逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； C、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； D、能运用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； 故选：D 2．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解．解题的关键在于正确的使用平方差公式． 分两种情况讨论①当时，②当时，分别因式分解即可． 【详解】解：由题意知，共有时，两种情况： 情况①，当时，； 情况②，当时，； 综上所述，整式分解因式的结果：或 故答案为：或． 3．小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式展开，然后利用分数乘法约分即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3） ． 题型六　完全平方公式分解因式 16．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题因式分解，掌握运用公式法分解因式是解决此题的关键． 根据完全平方公式逐项判定即可． 【详解】解：A、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； C、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 17．下列多项式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中能用公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】解∶ （1）不可以公式法分解因式； （2）不可以公式法分解因式； （3）可以平方差公式分解因式； （4）可以平方差公式分解因式； （5）可以完全平方公式分解因式， 故选∶B． 18．无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 巩固训练 1．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将转化为完全平方的和的形式，进行判断即可． 【详解】解： ， ∵， 当且仅当：时，， ∴不能同时为0， ∴，即：M的值一定是正数； 故选：C． 2．已知实数x，y满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，二元一次方程组的解法，理解非负数的性质是解本题的关键；由条件可得，再求解的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式；先求出，，，再利用完全平方公式对原式进行变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 题型七　综合运用公式法分解因式 19．下列因式分解不正确的是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2 B．2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x﹣y）2 C．4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y） D．x2+4x＝x（x+4） 【答案】B 【分析】根据完全平方公式以及因式分解的计算即可求出正确答案． 【详解】解：A选项，﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x2+2x+1）＝﹣（x+1）2，故A项不符合题意， B选项，2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x2﹣2xy﹣y2），故B项符合题意， C选项，4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y），故C项不符合题意， D选项，x2+4x＝x（x+4），故D项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解．因式分解方法主要有提公因式法和公式法． 20．下列因式分解正确的是（    ） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2 D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1） 【答案】D 【分析】各式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式＝（x＋3）（x﹣3），错误； B、原式不能分解，错误； C、原式＝4（y2﹣2y＋1）＝4（y﹣1）2，错误； D、原式＝x（x﹣2）＋（x﹣2）＝（x﹣2）（x＋1），正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 21．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答． 【详解】a2-6ab+5b2 =a2-6ab+9b2-4b2 =(a-3b)2-(2b)2 =(a-3b+2b)(a-3b-2b) =(a-b)(a-5b)； 故选：D． 【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 巩固训练 1．对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，此项错误； ②，此项正确； ③，此项错误； ④，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 2．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解．熟练掌握在实数范围内因式分解是解题的关键． 利用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 3．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型八　综合提公因式和公式法分解因式 22．代数式分解因式的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了是分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选A 23．规定新运算：，其中，，则把因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查整式的加减运算及因式分解，理解题意，根据新定义的运算法则计算，然后因式分解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】∵， ∴ ， 故选：A． 24．多项式与多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查提公因式及公式法分解因式，先将两个多相似分解因式，然后找出公因式即可． 【详解】解：把多项式分别进行因式分解， 多项式， 多项式， ∴它们的公因式为． 故选：A． 巩固训练 1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解．根据因式分解的概念“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选：C． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）提取公因式即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可； （4）先计算整式的乘法运算，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型九　因式分解在有理数简算中的应用 25．若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 故选A 【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． 26．若a+b=1，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值． 27．已知ab＝4，b﹣a＝7，则a2b﹣ab2的值是（　　） A．11 B．28 C．﹣11 D．﹣28 【答案】D 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式，再将已知代入求出答案． 【详解】∵ab＝4，b﹣a＝7， ∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b） ＝4×（﹣7） ＝﹣28． 故选D． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 巩固训练 1．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 题型十　十字相乘法 28．若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．11 【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解． 【详解】解：多项式可分解为， ，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键 29．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键． 30．若多项式可分解为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：． 【详解】解：多项式可分解为， ． ． ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键 巩固训练 1．若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：二次三项式可分解成即， ， 解得：，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解． 【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）． ∴， 故答案为：． 3．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． （1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型十一　分组分解法 31．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 32．已知，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 33．若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（     ） A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021 【答案】C 【分析】先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案． 【详解】解：∵x2-2x-1=0， ∴x2-2x=1， ∵2x3-7x2+4x-2019 =2x3-4x2-3x2+4x-2019， =2x（x2-2x）-3x2+4x-2019， =6x-3x2-2019， =-3（x2-2x）-2019 =-3-2019 =-2022， 故选：C． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要． 巩固训练 1．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 2．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： 3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解，分组分解的方法及其应用． （1）根据方法，适当分组分解即可． （2）先因式分解，后代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 题型十二　因式分解的应用 34．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值.利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可. 【详解】解：∵，， ∴ . 故选：B. 35．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差因式分解是解题的关键．利用平方差公式对因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入， 得， 故选：A． 36．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 巩固训练 1．已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用．将式子转化为，根据a、b、c为整数，以及，假设，则有两种情况，或，进而得到当时，的值最小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a、b、c为整数， ∴均为整数， 假设， ∵， ∴有两种情况， ①，此时：； ②，此时：； ∴的最小值为； 故选B． 2．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．将整理为，据“正巧数”定义可得出的值． 【详解】解：， 是“正巧数”， ． 故答案为：9． 3．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是－8． (1)分解因式：______． (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数． (3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，最小值为5 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法，是解题的关键： （1）利用配方法，进行因式分解即可； （2）利用配方法结合完全平方的非负性，进行说明即可； （3）利用配方法结合完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的值总为正数； （3）解： ， 当时代数式有最小值， 解得，最小值为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$