精品解析：辽宁省铁岭市西丰县第二高级中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试题

西丰二高2024-2025学年度 第一学期 期初考试 高二 数学试卷 考试须知： 1．考试分选择题, 非选择题两部分 2. 答题前考生务必将电子标识签粘贴好. 3. 请将各题答案使用2B铅笔统一涂在答题卡上. 4. 用中性黑色签字笔作答. 一、单选题 1. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 2. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则 A. B. C. − D. 6. 与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 10. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 11. 直四棱柱的所有棱长都为，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与平面所成的角为定值 C. 点到平面的距离的最小值为 D. 的最小值为-2 三、填空题 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 13. 求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为_____________. 14. 已知实数满足，则的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知的三个顶点是． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求的面积； （3）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 16. 的三个顶点坐标是； （1）的外接圆方程； （2）若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 18. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西丰二高2024-2025学年度 第一学期 期初考试 高二 数学试卷 考试须知： 1．考试分选择题, 非选择题两部分 2. 答题前考生务必将电子标识签粘贴好. 3. 请将各题答案使用2B铅笔统一涂在答题卡上. 4. 用中性黑色签字笔作答. 一、单选题 1. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依据当两直线平行时有计算出的值即可得解. 【详解】由题可知， . 故选：A. 2. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两点求斜率列式求参即可. 【详解】因为点， 所以斜率 可得. 故选：C. 3. 已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方向向量得到直线斜率，再用点斜式计算即可. 【详解】由题可得．又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：C. 4. 已知直线，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 5. 已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则 A. B. C. − D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6. 与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】结合各选项中直线解析式，应用点线距、直线与轴交点即可得到正确选项. 【详解】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求； 对于直线，有且时，故也符合要求； 与的距离为3且轴无交点，不符合要求. ∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线. 故选：C 【点睛】本题考查了点线距离公式及直线的截距，属于简单题. 7. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 8. 已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，计算可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】判断在直线的同一侧，判断A的真假；求直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系判断B的真假；根据两直线垂直，斜率之积等于，求出高的斜率，利用点斜式可求边上的高所在的直线方程，判断C的真假；同理可得线段的中垂线的方程，判断D的真假. 【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误； 对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确； 对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确； 对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误； 故选：BC 10. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 11. 直四棱柱的所有棱长都为，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与平面所成的角为定值 C. 点到平面的距离的最小值为 D. 的最小值为-2 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，化简得到点的轨迹方程，从而得到点的轨迹的长度，判断A；用空间向量表示直线与平面所成的角，从而证明为定值,判断B；用空间向量表示点到平面的距离，结合的轨迹，得最小值，判断C； 用空间向量表示，结合的轨迹，得最小值，判断D. 【详解】 取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，， 对于A选项，因为点在四边形及其内部运动，所以，， 又因为，所以，即， 所以点的运动轨迹为在平面，以为圆心，半径为1的半圆弧， 所以轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，因为面的法向量为，， 所以设直线与平面所成的角为，则有，又因为， 所以，所以直线与平面所成的角为定值，故B正确； 对于C选项，因为，，，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，，故C错误； 对于D选项，，，，， ， 所以的几何意义为点到距离的平方减3， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 13. 求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将转化为上的点和构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】 可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知的三个顶点是． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求的面积； （3）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）求出线段中点，由两点得直线方程； （2）求出到直线的距离，线段的长，再由面积公式计算； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行，分类求解即可． 【小问1详解】 由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； 【小问2详解】 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； 【小问3详解】 点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行， 若直线过线段的中点， 由已知线段的中点为，直线方程为，化简得， 直线与直线平行，则方程为，化简得， 所以直线的方程为或． 16. 的三个顶点坐标是； （1）的外接圆方程； （2）若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【小问1详解】 设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 【小问2详解】 设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，平面， 所以 ， 又由题可知，， ，平面 且， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明； (2)建系，利用空间向量的坐标运算可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴建系如图， 由，，可得， 则有 设平面的一个方向量为 ， 所以 即 令则， 所以 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以，， 即二面角的余弦值等于. 18. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）这样的点F存在，且为线段上靠近点D的一个四等分点 （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面，即可证明平面平面； （2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用，，即可确定点F的位置； （3）由（2）是平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 由已知直二面角的平面角为，即， 又，，平面，平面， 则平面，因为平面，所以， 又在平面四边形中，为的中点，，， ，可得，，所以， 得，而，平面，平面， 故平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）的分析易知，，，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示． 结合已知数据可得，，，， 则中点， 因为平面内，故可设， 则， 因为平面ABCD， 所以，， 又，，所以， 由此解得，即，则， 易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； 【小问3详解】 由（2）知是平面的一个法向量，又， 则得， 记直线与平面所成角为，则知， 故所求角的正弦值为. 19. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $