第13章 分式（7大题型）（42道压轴题专练）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第13章 分式（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 分式的意义压轴题 1．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 2．已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据已知条件易得，，，从而可得，然后利用完全平方公式可得，最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 3．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已有等式的形式求解即可； （2）根据等式推出一般性规律，求解，证明即可． 【详解】（1）解：由题意得：第个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， ∴第个等式为：， 证明：， ， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式规律的探究．解题的关键在于根据已知的等式形式推导出一般性规律． 4．观察下列等式： 第1个等式：a1（1）；第2个等式：a2（）； 第3个等式：a3（）； 第4个等式：a4（）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式：a5＝　　＝　　． （2）用含n的式子表示第n个等式：an＝　　＝　　（n为正整数）． （3）求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可； （2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可； （3）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题． 【详解】解：（1）第5个等式：a5（）； 故答案为：； （2）第n个等式：an（）； 故答案为：，； （3）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016 （1）（）（） （1） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题，找出数字之间的规律是解题的关键． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）先利用分式的基本性质将分式转换成整式，然后仿照例题解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴可化为， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得 ①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； （2）∵ ∴（5x+1）（2x-3）＜0 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得： ①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，发现无解， 故（5x+1）（2x-3）＜0的解集为， 即分式不等式的解集． 【点睛】本题考查了解一元二次不等式和解分式不等式，根据例题总结解答方法和掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 6．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为，可设. 因为， 所以. 所以，解之，得. 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式. 问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）仿照例题将分解为，求出a、b的值即可得到答案； （2）将分解为，得到，求出m、n，整理后即可得到答案. 【详解】（1）由分母为x-1，可设=， ∵=， ∴ ∴，得， ∴===； （2）由分母为，可设=， ∵= ∴=， ∴，得， ∴==. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键. 压轴题型二 分式的基本性质压轴题 1．已知．则分式的值为（　　） A．8 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由可得，然后再对分式进行变形，最后代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、通分、约分等知识点，根据题意得出是解本题的关键． 2．若，．则的值为 【答案】 【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出. 【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②， 将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③． ①+③得: 10x+ 5y= 0， ∴y= -2x， 将y= - 2x代入①中 得:2x- (-2x)+4z=0 ∴z=-x 将y= -2x，z=-x，代入上式 = = = = 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简. 3．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 4．阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 5．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 【答案】（1）；（2）、、0、 【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论； （2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）原式 因为的值是整数，分式的值也是整数， 所以或， 所以、、0、． 所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、． 【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义． 6．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 压轴题型三 分式的混合运算压轴题 1．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 2．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 16 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得，再根据的值为正整数，可得或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ∵的值为正整数，为整数 ∴或2或3或6， ∴符合题意的，3，4，7， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：，16． 3．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 【答案】(1) (2)A的最小值为； (3) 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解； （3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：由（1）得： 把代入得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴A的最小值为； （3）∵A，B均为正整数 ∴ 当时， ，解得： 当时 或，解得：或 经检验，是原方程的解 ∵a， b为正整数， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可； ②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出． 5．阅读下列材料 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：， （1）分式是_______分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）将分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）；（3）2，0，4，-2 【分析】（1）根据真分式的定义求解； （2）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可； （3）先把分式化为带分式，然后利用有理数的整除性求解． 【详解】解：（1）分式是真分式， 故答案为：真； （2） = = = =； （3） = = =， 当为整数时，也为整数， ∴x-1可取得的整数值为±1、±3， ∴x的可能整数值为2，0，4，-2． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 6．（1）计算： （2）计算： （3）先化简，再求值： 已知＝3，求的值． 【答案】（1）；（2）x﹣1；（3），﹣5． 【分析】（1）直接通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案； （2）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案； （3）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式 ∵， ∴a＝3b，所以原式=． 【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，掌握分式化简的一般步骤以及分式的混合运算法则是解此题的关键，注意化简过程中各项的符号变化． 压轴题型四 分式化简求值压轴题 1．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可． 【详解】解：由可得 = = = = = =-2 故答案为A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键． 2．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 【答案】(1)14；194 (2)；52 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值； （2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：14；194． （2）解： ， 即， ∴ ． 4．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 5．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3)27 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式． （1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可． 掌握分式的变形方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； （2）， ∵， ∴， ∴，即：； （3）∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 6．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案； （2）将式子化简变形即可得到答案； （3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即可得到答案； 【详解】（1）解：∵①，是“和谐分式”； ②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”， 故答案为①③； （2）解：是“和谐分式”，理由如下， ∵， ∴是和谐分式； （3）解： 当，，0，1时，的值为整数． 由于当，0，1时，原分式没有意义， 所以当时，该分式的值为整数． 【点睛】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂题干新定义． 压轴题型五 根据分式方程解的情况求值 1．若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．0 B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据关于的不等式组至少有3个整数解，从而可得，然后解分式方程可得，再根据分式方程有非负整数解，从而可得，且是2的倍数，最后进行计算求出所有符合条件的值，即可解答． 【详解】， 由①得，， 由②得，， 不等式组至少有3个整数解， ， 分式方程， 方程的两边同时乘以，得 ， 移项、合并同类项得，， 解得， 方程的解是非负整数， ，且是2的倍数， ，且是2的倍数， ， ， ， ，且，是2的倍数， 的取值为，1，3，5， 所有满足条件的整数的值之和是， 故选：D． 2．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数的取值范围，由分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，根据不等式组无解确定的取值范围，即确定的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的整数解确定的值，进而即可求解，解题的关键是根据不等式组无解确定的取值范围，进而由分式方程的整数解确定出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．若关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为正数且不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解是正数， ∴， ∴且． 4．当为何值时，关于的方程的解小于零． 【答案】且． 【分析】本题考查了分式方程的解，要注意分式方程的解不能使最简公分母等于0．方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，求解，再根据解小于0列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以去分母得， ， 整理得，， 解得， 方程的解小于零， 且， 解得且． 5．关于的分式方程． (1)若，解分式方程； (2)若这个方程的解为，求的值； 【答案】(1)无解 (2)5 【分析】本题考查解分式方程，根据方程的解求参数： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，将代入，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程化为：， 去分母，得：， ， ，等式不成立， ∴原方程无解； （2） 去分母，得：， 把代入，得：， 解得：． 6．阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为，求解是解题的关键． （1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解； （2）结合运用“阅读材料”即可求出和的值，并代数运算即可求解； （3）善于观察并分析方程，即可求出和的值，代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 经检，是该方程的解． 故答案为：，； （2）由已知得，， ∴ ． （3）原方程变为， ∴，， ∴，， ∴． 压轴题型六 分式方程增根无解压轴题 1．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 2．若关于x的分式方程=1-有增根，则m的值为 【答案】-2 【详解】 方程两侧同时乘以最简公分母(x-5)，得 ， 整理，得 ，即. 令最简公分母x-5=0，得 x=5， ∵x=5应该是整式方程的解， ∴m=5-7=-2. 故本题应填写：-2. 点睛： 本题考查了分式方程增根的相关知识. 一方面，增根使原分式方程去分母时所使用的最简公分母为零. 另一方面，增根还应该是原分式方程所转化成的整式方程的解. 因此，在解决这类问题时，可以通过令最简公分母为零得到增根的候选值，再利用原分式方程所转化成的整式方程检验这些候选值是否为该整式方程的解，从而确定增根. 在本题中，参数m的值正是利用x=5满足整式方程这一结论求得的. 3．关于x的方程． (1)m为何值时，方程有增根？ (2)m为何值时，方程无解？ 【答案】(1)当或时，方程有增根； (2)当或或时，方程无解 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的关键． （1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值； （2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答． 【详解】（1）解： 方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∴当或时，方程有增根； （2）解：由（1）可得， 则，即， 当，即时整式方程无解， 当，即时整式方程无解， 当，即时整式方程无解， ∴当或或时，方程无解． 4．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或． 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数： （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 5．在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 6．学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根） (2)且 (3)当或时原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． 故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）； （2）解方程，得， 方程的解为非负数， ， ， ， ， 且； （3）原方程化简为： 原方程无解， 或 ①当时，解得； ②当时，解得 当或时原方程无解． 压轴题型七 分式方程压轴题 1．2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约）项目，前以原计划平均速度完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原划晚到达目的地，则小阳前的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出分式方程解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即小阳前的平均速度为． 故选：C 2．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，代数式求值，解题的关键是灵活运用相关知识．设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天，根据“甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍”，可得，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍”，可得；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍”，可得，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果． 【详解】设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天． 由题意有：①，②，③． 由①得， ， ，即， 同理，由②得； 由③得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务．根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同． (1)求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？ (2)新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m； (3)该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？ 【答案】(1)一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品 (2)与的函数关系式是 (3)招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成多少个纪念品，注意分式方程要检验； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到含n的代数式表示m； （3）然后根据一次函数的性质，即可得到该企业如何招聘工人，使得工人工资的总费用最少． 【详解】（1）解：设一名普通工人每小时完成个纪念品，则一名熟练工人每小时完成个纪念品， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 即一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品； （2）解：由题意可得， ， 则， 即与的函数关系式是； （3）解：设工人工资的总费用为元， ， 随的增大而增大， 从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人， ，即， 解得， 当时，取得最小值，此时，， 答：招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少． 4．某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300 t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成． (1)求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料； (2)现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数） 【答案】(1)A型100t/天，B型50t/天 (2)至少9天 【分析】（1）设B种型号的机器人每天搬运x吨化工原料，则A种型号的机器人每天搬运2x吨化工原料，根据用两种机器人各搬运300t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设B型机器人工作b天，由题意列出不等式组，b为整数，求出b的最小值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每天搬运的重量为x吨，则A型机器人每天搬运的重量为2x吨，由题意列方程为：， 解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的根， 则2x=100， 即A型机器人每天搬运的重量为100吨，B型机器人每天搬运的重量为50吨． （2）设B型机器人工作b天，A型机器人工作天， 由题意得： ， 解得：b≥6．4， ∵b为整数， ∴b最小为7， 将b＝7代入中，解得A工作天数约为2，总费用为：150×2＋65×7＝755＞740，不符合题意， 当B工作9天时，A机器人只需要工作1天，总费用为：150×1＋65×9＝735，符合要求． 即至少安排B型机器人工作9天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍． （1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？ （2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？ 【答案】（1）每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）每辆A型货车运吨，型货车运吨 【分析】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型车运费为1.2元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，可得A型货车和型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型货车运费为1.2元 由题意得：， 解得： 经检验，时，，   ∴每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元； （2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：辆 ∴型货车的数量为：辆 设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨， 由题意得：， 解得：， ∴每辆A型货车运吨， 型货车运吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解． 6．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋 【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 分式（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 分式的意义压轴题 1．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 4．观察下列等式： 第1个等式：a1（1）；第2个等式：a2（）； 第3个等式：a3（）； 第4个等式：a4（）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式：a5＝　　＝　　． （2）用含n的式子表示第n个等式：an＝　　＝　　（n为正整数）． （3）求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016的值． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 6．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为，可设. 因为， 所以. 所以，解之，得. 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式. 问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 压轴题型二 分式的基本性质压轴题 1．已知．则分式的值为（　　） A．8 B．3 C． D．4 2．若，．则的值为 3．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 4．阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 5．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 6．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 压轴题型三 分式的混合运算压轴题 1．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 3．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 4．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 5．阅读下列材料 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：， （1）分式是_______分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）将分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，求x的整数值． 6．（1）计算： （2）计算： （3）先化简，再求值： 已知＝3，求的值． 压轴题型四 分式化简求值压轴题 1．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 3．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 4．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 5．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 6．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 压轴题型五 根据分式方程解的情况求值 1．若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．0 B．1 C．5 D．6 2．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 3．若关于的方程的解是正数，求的取值范围． 4．当为何值时，关于的方程的解小于零． 5．关于的分式方程． (1)若，解分式方程； (2)若这个方程的解为，求的值； 6．阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 压轴题型六 分式方程增根无解压轴题 1．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 2．若关于x的分式方程=1-有增根，则m的值为 3．关于x的方程． (1)m为何值时，方程有增根？ (2)m为何值时，方程无解？ 4．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 5．在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 6．学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 压轴题型七 分式方程压轴题 1．2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约）项目，前以原计划平均速度完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原划晚到达目的地，则小阳前的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则 ． 3．某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务．根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同． (1)求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？ (2)新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m； (3)该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？ 4．某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300 t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成． (1)求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料； (2)现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数） 5．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍． （1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？ （2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？ 6．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$