第13章 分式【单元卷·测试卷】-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第13章 分式【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．分式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 2．计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算法则，熟知运算法则是解题的关键． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较、零指数幂和整数指数幂的计算，解题的关键是掌握有理数的大小比较、零指数幂和整数指数幂的计算． 先根据零指数幂和整数指数幂对进行化简，再进行大小比较． 【详解】因，，，， 所以， 故选：B． 4．甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设工作总量为1，工程期限为x天，可得甲、乙两工程队的工作效率，然后根据等量关系“两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工”即可列出方程． 【详解】解：设工作总量为1，工程期限为x天，那么甲工程队的工作效率为： ，乙工程队的工作效率为：． 根据题意，所列方程为： 化简得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系是解答本题的关键． 5．解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．设，则；然后将与代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可． 【详解】解：， ， 由原方程，得 ； 方程的两边同时乘以，得 ， 移项，得 ． 故选：A． 6．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．把用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 9．化简：= 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先化简小括号内分式，再将除法转化为乘法计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．若分式的值为零，则x的值等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：1． 11．某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人，根据“结果每人比原计划少植树1棵”列出分式方程即可． 【详解】解：假设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人， 依题意得， 故答案为：． 12．已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的求值，掌握相关知识是解题关键． 将方程两边同时除以字母x即可求解． 【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：， ． 故答案为：3． 14．如果方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴，解得， 代入得：，解得， 故答案为：． 15．已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 16．已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ． 【答案】 【分析】利用新定义运算的含义，建立方程即可求出m的值． 【详解】解：∵，， ∴ ，即 整理得：， 移项合并得：， 解得： ， 检验当时， ， ∴是分式方程的解， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键，还要注意要验根． 17．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 【答案】或 【分析】先写出第个方程及其解，将所求方程转化为，再将作为整体写出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得： 第个方程为， 解为：或， 方程可化为： 即， 或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解分式方程及分式方程的解，弄清楚题目中的规律再由整体思想进行解方程是解题关键． 18．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定结果的符号，再约分即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再约分即可求解； （3）先把分子分母因式分解，然后约分即可； （4）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，运算顺序；先乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解后进行检验即可． 【详解】 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 经检验满足分式方程； ∴方程的解为 21．某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？ 【答案】甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天． 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确理解题意找准等量关系列出方程是解答此题的关键． 设甲乙两队单独完成此项工程分别需要天和天．根据“甲乙两个工程队合作施工12天可以完成”工程，可得等量关系：甲队12天的工作量乙队12天的工作量该项工程总量．根据“甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工”，可得等量关系：甲队10天的工作量乙队15天的工作量该项工程总量．据此列方程组求解即可． 【详解】解：设甲乙两队单独完成此项工程分别需要天和天．根据题意，可列出方程组： ， 解得：， 经检验是原方程组的解，且符合题意， 答：甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天． 22．为何值时，关于的方程无解． 【答案】当，或6时原方程无解 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可． 【详解】解：由原方程得：， 整理得：， （i）当时，原方程无解； （ii）当，原方程有增根， 当时，，即； 当时，，即， 即当，或6时原方程无解． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 23．定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”． 例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． (1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ (2)小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为，又因为都不为0， 所以，所以， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 【答案】(1)不是“互为关联分式” (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，分式的加减计算，分式的乘法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 24．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从汇通超市购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用6000元购买B品牌垃圾桶数量相同． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】(1)购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． (2)该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定题目中数量关系并据此列出分式方程或不等式是解题关键． （1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，根据“4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用6000元购买B品牌垃圾桶数量相等”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． （2）解：设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶， 依题意，得：， 解得：． 因为m是正整数，所以m最大值是16． 答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 25．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 分式【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．分式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 6．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．把用科学记数法表示为 ． 8．计算： ． 9．化简：= 10．若分式的值为零，则x的值等于 ． 11．某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程 ． 12．已知，则分式的值为 ． 13．已知，则的值为 ． 14．如果方程有增根，那么 ． 15．已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 16．已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ． 17．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 18．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 20．解方程：． 21．某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？ 22．为何值时，关于的方程无解． 23．定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”． 例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． (1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ (2)小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为，又因为都不为0， 所以，所以， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 24．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从汇通超市购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用6000元购买B品牌垃圾桶数量相同． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 25．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$