精品解析：浙江省杭州学军中学教育集团文渊中学2024--2025学年八年级上学期10月份数学月考卷

2024学年第一学期八年级数学独立作业（10月） （时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于体育运动图标是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 3. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（ ） A. B. 或 C. D. 4. 如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不能得到等边三角形的是（ ） A. 有一个内角是60°锐角三角形 B. 有一个内角是60°的等腰三角形 C. 顶角和底角相等的等腰三角形 D. 腰和底边相等的等腰三角形 6. 下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A. 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 9. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 12. 如图，在中，，为的中点．若，则的度数为______． 13. 如图，在中，于点，与相交于点．若，，则______． 14. 如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为______． 15. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____ 16. 如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共有8小题，共72分） 17. 如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图甲中画出一个以为底边且面积为的等腰三角形； （2）在图乙中画出一个以为直角边的直角三角形． 18. 如图，已知，，点E、F在BC上，．求证：． 19. 如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 20. 求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明） 21. 已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 22 尺规作图： （1）用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为； （2）用直尺和圆规在数轴上作出一个点，使该点表示的实数为． 23. 如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 24. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点，连接，在点运动过程中，当平分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级数学独立作业（10月） （时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形， 故选A． 【点睛】本题考查轴对称图形定义的应用，须注意图形细节的不同之处． 2. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 3. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解. 【详解】解：等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角是； 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，熟练掌握上述基本知识是关键. 4. 如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【详解】∵是的角平分线，，， ∴，． ∵是的角平分线， ∴． 故选：B． 5. 下列条件不能得到等边三角形的是（ ） A. 有一个内角是60°的锐角三角形 B. 有一个内角是60°的等腰三角形 C. 顶角和底角相等的等腰三角形 D. 腰和底边相等的等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以A选项符合题意，B选项不符合题意； 因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形， 所以C不符合题意； 因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质． 6. 下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了举反例判断命题，理解题意是解题的关键．根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，可以举反例． 【详解】A．当时，满足条件，不满足结论，故该选项可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； B．当时，不满足条件，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； C． 当时，不满足条件，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； D． 当时，满足满足条件，满足结论，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； 故选：A． 7. 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可； 【详解】解：∵，， ∴当时，． 当时，． 故选D． 8. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长． 【详解】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169， 在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2． ∵AB＝A′B′， ∴A′O2＋OB′2＝169， ∴OB′＝=， ∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 9. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设折断处离地面的高度是尺， 由勾股定理得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 10. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12. 如图，在中，，为的中点．若，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得出，所以为等腰三角形，可求出的度数，进而即可得解． 【详解】解：在中，，是的中点， ， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，于点，与相交于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分，得，由的周长为，，求得，从而即可得解。 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵周长．，， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 15. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____ 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图1）， ∵， ∴，即顶角是60°； 当高在三角形外部时（如图2）， ∵， ∴， ∴，即顶角是120°． 故答案为：60或120． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 16. 如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则，此时取得最小值，求出，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ∵点分别是点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为上一点， ∴当取得最小值时，则，此时取得最小值， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共有8小题，共72分） 17. 如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图甲中画出一个以为底边且面积为的等腰三角形； （2）在图乙中画出一个以为直角边的直角三角形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型； （1）取格点，连接，即可； （2）取格点，连接，． 【小问1详解】 解：如图，为所求； ，， ∴为所求的等腰三角形； 【小问2详解】 解：如图，为所求， ，， ∴， ∴是以为直角边的直角三角形，即为所求． 18. 如图，已知，，点E、F在BC上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件得出，，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， 在与中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 19. 如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块空地的面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 20. 求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明即可． 【详解】已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE=DF． 证明：连接AD，如图， ∵AB=AC，D是BC中点， ∴AD为∠BAC的平分线（三线合一定理）， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边相等）， ∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及等腰三角形的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等．等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 21. 已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 尺规作图： （1）用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为； （2）用直尺和圆规在数轴上作出一个点，使该点表示的实数为． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，勾股定理与实数，根据无理数构造出相应直角三角形是解题关键． （1）根据题意先取，再作，然后取，连接即可； （2）作，，，以为圆心，长为半径作弧交正半轴于即可． 小问1详解】 解：如图所示，先取，再作，然后取， ∴， ∴线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点表示的实数为， 由题意得， 23. 如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 24. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】（1）10； （2）t的值为、16、5； （3）当t的值为5或11时，平分． 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得； 【小问2详解】 解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5； 【小问3详解】 解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$