第十四章 整式乘法与因式分解（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列代数式计算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数的幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行计算，根据计算结果判定即可． 【详解】解：A． ，正确，该选项符合题意； B． ，错误，该选项不符合题意； C． ，错误，该选项不符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，错误， 故A不合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，正确， ∴D合题意． 故选：D． 3．计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】逆用幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则，准确计算． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D 5．已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：A． 6．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【答案】A 【分析】由多项式乘以多项式进行化简和变形，然后整体代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则正确的进行化简是解题的关键． 7．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： 故选：C． 8．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把正确结果的最后一项染黑了，正确的结果为，则被染黑的这一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴被染黑的这一项应是， 故选：． 9．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，该选项分解错误，不合题意； 、，该选项分解错误，不合题意； 、，该选项分解错误，不合题意； 、，该选项分解正确，符合题意； 故选：． 10．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，结合完全平方公式得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∵该图案的面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 即，，故A选项和B选项不符合题意； 根据题意可得：个全等的小长方形的面积加上1个小正方形的面积等于大正方形的面积， 即，故D选项不符合题意； 则， 由该图案的面积为，可得出， 即， 故，故C选项符合题意． 故选：C． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵两正方形的面积之和为20， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．将变形为，利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．若的运算结果中不含x项，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键． 先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含x项的系数为0，求出a即可． 【详解】解： ∵运算结果中不含项， ∴， 解得：． 故答案为：1 14．已知，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂乘法的逆运算求解即可．熟知相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 15．因式分解： . 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，把变形为，先利用立方和公式和提公因式法分解因式，再提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）（1）计算： （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式先计算乘方、乘法运算，再计算加减运算即可得到结果； （2）原式先计算乘方，再利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果； 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 17．（8分）（1）先化简，再求值． ，其中，满足． （2）已知关于、的方程组，当取不同值时，的值始终不变．请说明理由． 【答案】（1），；（2）的值不变，，理由见解析 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，熟练掌握乘法公式、绝对值和平方的非负性是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式去中括号，再进行多项式除以单项式计算即可，根据绝对值和平方的非负性求出，，代入求值即可． （2）由得：，进而判断即可． 【详解】（1）原式 ∵    ∴，， ∴， ∴原式； （2）     由得： ∴的值不变． 18．（9分）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的方法拼成一个边长为的正方形． (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_______，方法2：_______．（用含的代数式表示，不用化简）； (2)观察图2写出，，三个代数式之间的等量关系：_______； (3)根据（2）中你发现的等量关系，解决如下问题：若两实数满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形求值． （1）直接计算小正方形的边长可得面积，或者用大正方形面积减去四个小长方形面积来表示； （2）它们都表示阴影部分小正方形的面积，故相等； （3）由（2）得出的关系式变形即可得结果． 【详解】（1）解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长方形面积来表示即为阴影部分面积，大正方形边长为，则大正方形面积为，所以阴影部分面积为：； 方法2：阴影部分为正方形，边长为，故面积可表示为； （2）解：与都表示同一个图形面积， ∴； （3）解：∵， ∴由（2）可得： ， ∴． 19．（8分）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，利用公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行分解即可得； （2）利用完全平方公式进行分解即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（9分）阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)求代数式的最大值或最小值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)代数式的最大值为2 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是正确理解配方法，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的方法即可求出答案； （2）根据配方法即可求出答案． （3）先作差，然后利用配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为1； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴最大值为； （3）解：， ∵， ， 即． 21．（8分）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ①； ②． 【答案】（1），4；（2）①；② 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算除法，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答; （2）①利用平方差公式，进行计算即可解答； ②利用乘法的交换律和结合律，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2）①原式 ； ② ． 22．（12分）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数． (1)直接写出，两点的坐标：A（______，______），B（______，______） (2)如图1，点C为线段上一点（点C不与、A重合）且满足：，连接，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：． (3)如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据有理数混合运算即可求得a，从而得点A坐标；先根据多项式除以单项式法则计算，则可求得b值，从而得点B坐标． （2）在上截取，连，分别过、B作于，于， 证，再证，可得出结论． （3）在上截取，连，证明，得是等边三角形，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵ 又是多项式中一次项的系数． ∴ ∴． （2）证明∶ 在上截取，连，分别过、B作于，于，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3）解∶ ． 证明：在上截取，连，如图2， ∵等边， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，整式除法运算，点的坐标，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列代数式计算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 7．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把正确结果的最后一项染黑了，正确的结果为，则被染黑的这一项应是（    ） A． B． C． D． 9．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 12．计算： ． 13．若的运算结果中不含x项，则a的值为 ． 14．已知，，则的值为 ． 15．因式分解： . 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）（1）计算： （2）． 17．（8分）（1）先化简，再求值． ，其中，满足． （2）已知关于、的方程组，当取不同值时，的值始终不变．请说明理由． 18．（9分）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的方法拼成一个边长为的正方形． (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_______，方法2：_______．（用含的代数式表示，不用化简）； (2)观察图2写出，，三个代数式之间的等量关系：_______； (3)根据（2）中你发现的等量关系，解决如下问题：若两实数满足，求的值． 19．（8分）因式分解： (1)； (2) 20．（9分）阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)求代数式的最大值或最小值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 21．（8分）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ①； ②． 22．（12分）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数． (1)直接写出，两点的坐标：A（______，______），B（______，______） (2)如图1，点C为线段上一点（点C不与、A重合）且满足：，连接，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：． (3)如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$