第十四章 整式乘法与因式分解（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十四章 整式乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 5．若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 6．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 7．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（，n为非负整数）展开式的每一项按字母a的次数由高到低排列后，其项数及各项系数的规律（如图）．后人将下图称为“杨辉三角”．如： ，展开式只有一项，系数为1； ，展开式有两项，系数分别为1，1； ，展开式有三项，系数分别为1，2，1； …… 根据以上规律，的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．24 B．32 C．48 D．64 8．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 9．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 10．如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着所在直线将正方形分成四个部分，阴影四边形和四边形均为正方形，若重叠部分长方形的面积为48，则两阴影正方形的面积之和为（    ） A．88 B．98 C．106 D．100 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算： ． 12．小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 13．若则 ． 14．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 15．已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）（）计算：． （）计算：． 17．（8分）已知多项式． (1)化简多项式； (2)若，求的值． 18．（8分）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 19．（9分）有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． (1)求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． (2)若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）： ②若将正方形草地的面积记为，乙草地的面积记为，请比较与的大小，并说明理由． 20．（8分）（1）已知多项式除以一个多项式A，得商式为，余式为，求这个多项式． （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？ ①填写表格内的空格： 输入 3 2 1 输出答案 ②你发现的规律是： ． ③请用符号语言论证你的发现． 21．（9分）阅读材料：若，求，的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，， 所以，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，则_________，_________； (2)已知，求的值； (3)已知，，为三角形的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 22．（12分）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若x满足，求的值； (2)类比探究：若x满足．求的值； (3)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 23．（13分）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算，幂的运算，，，进行计算，即可． 【详解】A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项正确． B、，故选项错误． C、，故选项错误． D、，故选项错误． 故选：A． 3．已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运用以及同底数幂相乘的逆运用，先整理，再运用积的乘方的逆运用进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选：D 5．若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，熟练的进行多项式的乘法运算是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式可得结果为，再根据结果不含的一次项，从而可得答案． 【详解】解： ， ∵展开后不含的一次项， ， 故选：C． 6．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 7．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（，n为非负整数）展开式的每一项按字母a的次数由高到低排列后，其项数及各项系数的规律（如图）．后人将下图称为“杨辉三角”．如： ，展开式只有一项，系数为1； ，展开式有两项，系数分别为1，1； ，展开式有三项，系数分别为1，2，1； …… 根据以上规律，的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．24 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据图形可得，，的展开式，进行计算即可． 【详解】解： ， ， 所以各项系数的和等于． 故选：B． 8．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，完全平方公式，根据同底数幂乘除法，积的乘方，完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 9．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将转化为完全平方的和的形式，进行判断即可． 【详解】解： ， ∵， 当且仅当：时，， ∴不能同时为0， ∴，即：M的值一定是正数； 故选：C． 10．如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着所在直线将正方形分成四个部分，阴影四边形和四边形均为正方形，若重叠部分长方形的面积为48，则两阴影正方形的面积之和为（    ） A．88 B．98 C．106 D．100 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，完全平方公式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形．设，，根据，可得出，再由重叠部分长方形的面积为48，可得，再变形求解即可． 【详解】解：设，， 四边形和四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ，， ， ， 重叠部分长方形的面积为48， ， ， 两阴影正方形的面积之和为100 故选：D 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算： ． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法和单项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 12．小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识点，弄清题中的运算程序是解题的关键． 把代入运算程序中计算，如大于或等于则把其结果再代入运算程序中计算，如小于则直接输出结果． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 则， 故答案为：． 13．若则 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，根据法则变形为，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 14．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟悉掌握多项式除单项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式除单项式的运算法则运算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽， ∴长， 故答案为：． 15．已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的混合运算和完全平方的非负性，及不等式的基本性质． 先将整理成，然后将已知条件所给的式子整体代入得结果为．根据和，求出的取值范围，即可求出的最小值，即的最小值． 熟练掌握完全平方的非负性，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ． ， ． ， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）（）计算：． （）计算：． 【答案】（）；（）． 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）利用同底数幂的乘法、积的乘方分别运算，再合并同类项即可； （）利用同底数幂的乘法、积的乘方分别运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 17．（8分）已知多项式． (1)化简多项式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，正确的运算是解题的关键； （1）利用完全平方公式，以及多项式乘法，合并同类项即可求得； （2）求解一元二次方程，将代入（1）中所求，即可求得. 【详解】（1） ； （2）， 18．（8分）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先利用提公因式法进行分解，再运用完全平方公式进行分解即可解答； （2）利用平方差公式进行分解，即可解答． 【详解】（1）原式 （2）原式 19．（9分）有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． (1)求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． (2)若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）： ②若将正方形草地的面积记为，乙草地的面积记为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②，见解析 【分析】本题主要考查整式混合运算的应用，掌握整式混合运算法则和乘法公式是关键． （1）根据长方形的面积公式即可得到答案； （2）①乙草地的周长即可求解；②利用作差法即可求解． 【详解】（1）甲草地的面积； （2）①乙草地的周长，正方形草地的周长和乙草地周长相等， 正方形草地的边长； ②正方形草地的面积， 乙草地的面积， ， ． 20．（8分）（1）已知多项式除以一个多项式A，得商式为，余式为，求这个多项式． （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？ ①填写表格内的空格： 输入 3 2 1 输出答案 ②你发现的规律是： ． ③请用符号语言论证你的发现． 【答案】（1）；（2）①3，2，1；②输入什么数，输出时仍为原来的数；③见解析 【分析】本题主要考查了整式的除法，掌握根据整式的除法法则是本题的关键． （1）先根据已知条件、列出式子，再根据整式的除法法则及运算顺序求解即可； （2）①将3、2、1按照程序依次计算可得结果；②根据表格总结规律即可；③由程序计算的顺序列出算式，再根据整式的除法法则及运算顺序即可求出结果． 【详解】解：（1）据题意得： ； （2）①表格如下： 输入 3 2 1 输出答案 3 2 1 ②答案为：输入什么数，输出时仍为原来的数； ③验证： ． 21．（9分）阅读材料：若，求，的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，， 所以，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，则_________，_________； (2)已知，求的值； (3)已知，，为三角形的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】(1)，； (2)； (3)三角形是等边三角形． 【分析】（）先根据例题凑成个完全平方式的和等于的形式，再根据非负数的性质求得的值即可解答； （）先根据例题凑成个完全平方式的和等于的形式，再根据非负数的性质求得的值，最后代入即可解答； （）先根据例题凑成个完全平方式的和等于的形式，再根据非负数的性质求得的值，最后代入即可解答； 本题考查了完全平方公式、非负数的性质，等边三角形的定义，负整数指数幂等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，解得：， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形是等边三角形． 22．（12分）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若x满足，求的值； (2)类比探究：若x满足．求的值； (3)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 【答案】(1)24 (2) (3)正方形的面积为900 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想： （1）利用题干给定的方法，结合完全平方公式进行求解即可； （2）利用题干给定的方法，结合完全平方公式进行求解即可； （3）根据题意，用字母来代替和的长度，通过化简，来得到要求的面积． 【详解】（1）解：设， 则：， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）设， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）设 则，， ， ， ， 设，，则，， ， 正方形的面积为． 23．（13分）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②4 【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$