第1章 三角形的初步认识 单元检测(B卷·能力提升）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1章 三角形的初步认识 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下面各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 2．下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．线段的垂直平分线 3．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B．C．D． 4．已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 5．如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（　　） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 6．用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 9．AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，则∠BAC的度数是（　　） A．100° B．20° C．50°或110° D．20°或100° 10．如图，点A，E，F，C在同一直线上，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，连接BD，交EF于点O，且O为EF的中点．若AE＝CF，则下列结论：①△EOD≌△FOB；②AO＝CO；③AB＝CD；④AB∥CD．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 　 　． 12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 　 　． 13．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F．只填一个条件使得△ABE≌△ACD，添加的条件是：　 　． 14．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　． 15．如图，在中，∠CAB＝64°，∠ABC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点D，连接AD，则∠ADB的度数为　 　． 16．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，已知∠AOB和线段CD，运用尺规作图法在CD上作一点P，使点P到∠AOB的两边距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 19．已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD，CE相交于点O．求证：OD＝OE． 20．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°． （1）试说明：AC＝BD； （2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数． 21．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12． ①求AC的长； ②求△DCE的面积． 22．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”． 例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”． 问题1：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD． （1）如图1，△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）如图1，若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2：如图2，△ABC中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD，若△ACD是“和谐三角形”，求∠ACD的度数． 23．如图，在中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝8，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在BC边上时， ①若∠BAC＝40°时，则∠DCE＝　 　°； ②若∠BAC＝80°时，则∠DCE＝　 　°； ③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由． （2）当点D在BC的延长线上时，请判断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 【思路点拨】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、∵5+6＝11，∴不能组成三角形，故A选项错误； B、∵8+8＝16，∴不能组成三角形，故B选项错误； C、∵5+4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误； D、∵6+9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键． 2．下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．线段的垂直平分线 【思路点拨】根据三角形的中线的性质解答即可． 【解析】解：三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分． 故选：A． 【点睛】此题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分解答． 3．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B．C． D． 【思路点拨】根据高线的定义即可得出结论． 【解析】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高， 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 4．已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【思路点拨】根据三角形全等的判定定理：SAS，ASA，AAS，SSS，看看是否符合以上条件，进行判断即可． 【解析】解：甲，不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等； 乙，符合两边对应相等，且夹角相等，乙和已知三角形全等； 丙，符合AAS，即三角形和已知图的三角形全等； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理的应用，主要看看是否符合ASA，SAS，AAS，SSS，注意：对应相等，如：甲a＝a，c＝c，但夹角不相等，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 5．如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（　　） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 【思路点拨】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【解析】解：∵AM是△ABC的中线， ∴S△ACM＝S△ABC＝5， ∴点M到AC的距离为：2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 6．用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【思路点拨】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 【解析】解：连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中， ， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【思路点拨】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解析】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 【思路点拨】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE＝EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长． 【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEH＝∠BEC＝90°， ∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵在△HEA和△BEC中， ， ∴△HEA≌△BEC（AAS）， ∴AE＝EC＝4， 则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 9．AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，则∠BAC的度数是（　　） A．100° B．20° C．50°或110° D．20°或100° 【思路点拨】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可． 【解析】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+40°＝100°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°， 综上所述，∠BAC的度数为20°或100°． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 10．如图，点A，E，F，C在同一直线上，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，连接BD，交EF于点O，且O为EF的中点．若AE＝CF，则下列结论：①△EOD≌△FOB；②AO＝CO；③AB＝CD；④AB∥CD．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】分别证明△EOD≌△FOB（ASA），△AFB≌△CED（SAS），可得结论． 【解析】解：∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BFO＝∠DEO＝90°， ∵O是EF的中点， ∴OE＝OF， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA），故①正确， ∴DE＝BF， ∵AE＝CF，OE＝OF， ∴AO＝OC，故②正确， ∴AF＝EC， 在△AFB和△CED中， ， ∴△AFB≌△CED（SAS）， ∴AB＝CD，∠A＝∠C，故③正确， ∴AB∥CD，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形解决问题． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 　19或20或21或22或23　． 【思路点拨】由三角形三边关系定理得2＜x＜12，由x为最长边且为整数，得到x的值，即可求出此三角形的周长． 【解析】解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜x＜7+5， ∴2＜x＜12， ∵x为最长边且为整数， ∴7≤x≤11， ∴x的值是7或8或9或10或11， ∵5+7+7＝19，5+7+8＝20，5+7+9＝21，5+7+10＝22，5+7+11＝23， ∴此三角形的周长为19或20或21或22或23． 故答案为：19或20或21或22或23． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到2＜x＜12． 12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 　105°　． 【思路点拨】先根据余角的定义求出∠ABD的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解析】解：如图， ∵∠ABC＝90°，∠CBD＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°， ∴∠α＝∠A+∠ABD＝60°+45°＝105°． 故答案为：105°． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 13．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F．只填一个条件使得△ABE≌△ACD，添加的条件是：　∠B＝∠C（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据题意，已经有一组边相等，一个公共角，结合图形，根据两个三角形全等的判定定理，添加一组角相等，构成ASA，即可得到两个三角形全等．根据其他的判定定理，也可添加其他的条件． 【解析】解：∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， 故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 14．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　15cm　． 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝6cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3cm， ∴DA＝DB，AB＝6cm， ∵△ADC的周长为9cm， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝15（cm）， 故答案为：15cm． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．如图，在中，∠CAB＝64°，∠ABC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点D，连接AD，则∠ADB的度数为　52°　． 【思路点拨】由角平分线的性质可得DM＝DQ，DM＝DN，从而得出DQ＝DN，从而证得AD平分∠QAB，再求得∠QAB＝116°，∠ABM＝140°，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：作DM⊥CB，DN⊥AB，DQ⊥CA，垂足分别为点M，N，Q， ∵CD平分∠ACB，DM⊥CB，DQ⊥CA， ∴DM＝DQ， ∵BD平分∠ABM，DM⊥CB，DN⊥AB， ∴DM＝DN， ∴DQ＝DN， ∴AD平分∠QAB， ∵∠CAB＝64°，∠ABC＝40°， ∴∠QAB＝116°，∠ABM＝140°， ∵，， ∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣58°﹣70°＝52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用． 16．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　． 【思路点拨】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【解析】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF＝×20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFD＝×AD•DF＝×12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，已知∠AOB和线段CD，运用尺规作图法在CD上作一点P，使点P到∠AOB的两边距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【思路点拨】结合角平分线的性质，作∠AOB的平分线，交线段CD于点P，则点P即为所求． 【解析】解：如图，作∠AOB的平分线，交线段CD于点P， 则点P即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 18．如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　①（答案不唯一）　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 【思路点拨】当选择①BF＝DE时，可依据“SSS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，可依据“SAS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE；综上所述即可得出答案（答案不唯一）． 【解析】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴∠B＝∠D， ∴AE∥CF； 当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； ∴∠B＝∠D， ∴AE∥CF； 当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE， 故答案为：①（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 19．已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD，CE相交于点O．求证：OD＝OE． 【思路点拨】利用SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，利用AAS证明△BOE≌△COD，根据全等三角形的性质即可得解． 【解析】证明：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴AB﹣AE＝AC﹣AD， 即BE＝CD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠C， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（AAS）， ∴OE＝OD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°． （1）试说明：AC＝BD； （2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数． 【思路点拨】（1）根据SAS证△AOC≌△BOD，即可得证AC＝BD； （2）由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，设AC与BO交于点M，根据180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP即可得出∠APB＝50°． 【解析】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：设AC与BO交于点M，则∠AMO＝∠BMP， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， ∴180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP， 即∠MPB＝∠AOM＝50°， ∴∠APB＝50°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12． ①求AC的长； ②求△DCE的面积． 【思路点拨】（1）由题意知，∠ABC+∠ABD＝90°，∠ABD+∠EDB＝90°，则∠ABC＝∠EDB，证明△ACB≌△EBD（AAS）； （2）①由题意知，，由△ACB≌△EBD（AAS），可得，计算求解即可；②根据，计算求解即可． 【解析】（1）证明：∵∠DBC＝90°， ∴∠ABC+∠ABD＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DFB＝90°，即∠ABD+∠EDB＝90°， ∴∠ABC＝∠EDB， ∵∠ACB＝∠EBD，∠ABC＝∠EDB，AB＝DE， ∴△ACB≌△EBD（AAS）； （2）解：①∵点E是BC的中点， ∴， 由（1）可知，△ACB≌△EBD（AAS）， ∴AC＝BE，BC＝BD， ∴， ∴AC的长为6； ②：由题意知，， ∴△DCE的面积为36． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 22．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”． 例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”． 问题1：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD． （1）如图1，△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）如图1，若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2：如图2，△ABC中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD，若△ACD是“和谐三角形”，求∠ACD的度数． 【思路点拨】问题1：（1）根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理求出∠B的度数，由CD⊥AB可知∠ADC＝∠BDC＝90°，再求出各角的度数，进而可得出结论； 问题2：由“和谐三角形”的定义可知则∠ACD＝∠A或∠ACD＝∠ADC，据此得出结论． 【解析】解：问题1：（1）△ABC是“和谐三角形”，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， ∴∠B＝∠A， ∴△ABC是“和谐三角形”； （2）△ACD、△BCD是“和谐三角形”，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°． 在△ACD中， ∵∠A＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠A， ∴△ACD为和谐三角形”； 在△BCD中， ∵∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴∠B＝∠BCD， ∴△BCD为和谐三角形”； 问题2：若△ACD是“和谐三角形”，由于点D是线段AB上一点（不与A、B重合）， 则∠ACD＝∠A或∠ACD＝∠ADC． 当∠ACD＝∠A时，∠ACD＝∠A＝40°； 当∠ACD＝∠ADC时，∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝100°， ∴∠ACD＝． 综上，∠ACD的度数为40°或． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 23．如图，在中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝8，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【思路点拨】（1）根据垂直得到∠AFE＝90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE＝145°，再根据∠BAE＝∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数； （2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，进而得到EG＝EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积． 【解析】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°， ∵∠AEF＝55°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+55°＝145°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝110°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝145°﹣110°＝35°， （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠F＝90°，∠AEF＝55°， ∴∠EAF＝90°﹣55°＝35°， 由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝35°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝15， ∴S△ADE+S△CDE＝15， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴， ∴， ∵AB＝8， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在BC边上时， ①若∠BAC＝40°时，则∠DCE＝　140　°； ②若∠BAC＝80°时，则∠DCE＝　100　°； ③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由． （2）当点D在BC的延长线上时，请判断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）①根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAC+∠DCE＝180°，即可求出∠DCE的度数； ②根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAC+∠DCE＝180°，即可求出∠DCE的度数； ③根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAC+∠DCE＝180°； （2）根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠B＝∠2，进一步可得∠BAC＝∠DCE． 【解析】解：（1）①当∠BAC＝40°时， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°； ∴∠DCE＝180°﹣40°＝140°， 故答案为：140； ②当∠BAC＝80°时， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°； ∴∠DCE＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100； ③∠BAC+∠DCE＝180°．理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°； （2）当点D在BC的延长线上，∠BAC＝∠DCE，如图所示： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠2， ∵∠BAC+∠B+∠3＝180°，∠DCE+∠2+∠3＝180°， ∴∠BAC＝∠DCE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$