第1章 三角形的初步认识 单元检测2024-2025学年浙教版数学八年级上册

第1章 三角形的初步认识 单元检测 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．同位角互补，两直线平行 B．三角形内角和等于 C．对顶角相等 D．内错角相等 2．以下列各线段长为边，能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 4．如图，用尺规作的平分线．由作图知，从而得平分，则此两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠B＝∠DEF B． C．∠A＝∠D D．AC＝DF 7．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条EF来固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（　　） A．两点之间线段最短 B．长方形的四个角都是直角 C．长方形是轴对称图形 D．三角形具有稳定性 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=4，则D到斜边的距离为（　　） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 9．如图，以△ABD的顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交边AD于点E，分别以点D，E为圆心，BD长为半径作弧，两弧相交于点B和F，作直线BF，则作出的直线是(　　) A．线段AD的垂线但不一定平分线段AD B．线段AD的垂直平分线 C．∠ABD的平分线 D．△ABD的中线 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．1：2 B．3：2 C．5： D．：1 11．如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题 13．已知：如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上两点，且AE=CF，DE=BF，则图中有　 　对三角形全等． 14．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是 　 　cm． 15．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是　 　． 16．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2EB，点D是AC的中点，AE、BD交于点F，AF=3FE．若△ABC的面积为18，给出下列命题： ①△ABE的面积为6； ②△ABF的面积和四边形DFEC的面积相等； ③点F是BD的中点； ④四边形DFEC的面积为 ． 其中，正确的结论有　 　．（把你认为正确的结论的序号都填上） 17．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　 　． 三、解答题 18．如图，直线，相交于点O，平分，若，求的度数． 19．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠D，∠4＝∠5，运用平行线性质和判定证明：AE∥BF，要求写出具体的性质或判定定理． 20．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF． （2）若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数． 21．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由． 22．已知，，点E在直线的右侧，． （1）如图①，若，则 ； （2）如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设． ①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，故原命题是假命题； B、三角形的内角和是180°，故原命题是假命题； C、对顶角相等是真命题； D、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题. 故答案为：C． 【分析】根据对顶角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，以及平行线的判定方法，逐项分析即可． 2．【答案】A 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A.一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项不符合题意； B.斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项不符合题意； C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据 即可证明全等，故此选项符合题意； D.一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS、ASA、AAS、SAS、HL定理针对四个选项进行判断即可。 4．【答案】D 5．【答案】C 【解析】【解答】解：过点A作边BC所在的直线的垂线就是高线. 故答案为：C 【分析】 过△ABC的顶点A，作BC边上的高 ，就是过点A作边BC所在的直线的垂线段。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF 添加条件∠B=∠DEF，则， 添加条件AB∥DE， 添加条件∠A=∠D，不能根据SSA证明两三角形全等 添加条件AC=DF，则， 故答案为：C． 【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析，即可求解． 7．【答案】D 【解析】【解答】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故答案为：D． 【分析】根据三角形的稳定性求解即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，∠DEB=90°， ∴DE=CD=4. 故答案为：B. 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，即D到斜边的距离为 4. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：连接、、，由作图得，，， 点、在线段的垂直平分线上，直线是线段的垂直平分线， 故选项A正确. 故答案为：A． 【分析】根据尺规作图，可以得到直线线段的垂直平分线，即可得到答案． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：如图过D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB ∴DE＝DC 又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2， ∴AB＝ ＝ ， ∴S1：S2＝AB：BC＝ ：1． 故答案为：D． 【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质可得DE=DC，再利用三角形的面积公式可得S1：S2＝AB：BC＝ ：1。 11．【答案】B 【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示： ∵，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴，， ∴，故B正确. 故答案为：B. 【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①正确； ∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； 作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OH＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b ∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC）•a＝ab，④正确. 故答案为：C. 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确. 13．【答案】3 【解析】【解答】∵AB=CD，BC=DA，AC=AC， ∴△ADC≌△CBA， ∴∠DAE=∠BCF， 又∵AE=CF，AD=BC， ∴△ADE≌△CBF， 同理△EDC≌△CBF． 故有3对三角形全等． 故填3． 【分析】根据SSS，可证得△ADC≌△CBA，利用全等三角形的性质，可得出∠DAE=∠BCF，再利用SAS，可证得△ADE≌△CBF，同理可证△EDC≌△CBF，就可得出答案。 14．【答案】6 【解析】【解答】解：∵把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳， ∴AO＝BO，CO＝DO， 在△BOD和△AOC中， ∵BO=AO，∠BOD=∠AOC，DO=OC， ∴△BOD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝AC＝6cm， 故答案为：6． 【分析】先证明△BOD≌△AOC，再利用全等三角形的性质求解． 15．【答案】42 【解析】【解答】解：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OE＝OF＝OD＝4， ∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4， ∴ ＝42， 故答案为：42． 【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，再利用角平分线的性质可得OE＝OF＝OD＝4，最后利用三角形的面积公式可得=42。 16．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：①∵△ABC的面积为18，EC=2EB， ∴△ABE的面积=18× =6，故①正确； ②∵EC=2EB，点D是AC的中点， ∴△ABE的面积≠△BCD的面积， ∴△ABF的面积和四边形DFEC的面积不相等，故②错误； ③过D点作DG∥BC， ∵点D是AC的中点， ∴DG= EC， ∵EC=2EB， ∴DG=BE， ∵DG∥BC， ∴∠DGF=∠BEF，∠GDF=∠EBF， 在△DGF与△BEF中， ， ∴△DGF≌△BEF（ASA）， ∴DF=BF， ∴点F是BD的中点，故③正确； ④四边形DFEC的面积=18﹣18× ﹣18× × =18﹣6﹣ = ，故④正确． 故正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【分析】①根据等高的三角形面积比等于底边比即可求解；②先分别得到△ABE的面积和四边形DBC的面积与△ABC的面积之间的关系，依此即可求解；③过D点作DG∥BC，通过三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质即可求解；④用18﹣△ABF的面积﹣△ADF的面积，列式计算即可求解． 17．【答案】12.5 【解析】【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图， ∵ AD是∠BAC的角平分线， ∴ ∠EAD=∠CAD， ∵ CD⊥AD， ∴ ∠ADE=∠ADC=90°， ∵ AD=AD， ∴ △ADE≌△ADC（ASA）， ∴ DE=DC，AE=AC， ∴ S△BDC=S△BCE， ∵ AC-AB=5， ∴ BE=5， ∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大， ∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5. 故答案为：12.5. 【分析】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得. 18．【答案】 19．【答案】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3＝∠BCE，（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠3＝∠D， ∴∠D＝∠BCE， ∴AD∥BC，（同位角相等，两直线平行）， ∴∠6＝∠5，（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠4＝∠5， ∴∠4＝∠6， ∴AE∥BF（内错角相等，两直线平行）． 【解析】【分析】 根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥DF， 利用两直线平行，内错角相等 ，可得 ∠3＝∠BCE ，从而得出 ∠3=∠D＝∠BCE， 利用同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC ，根据 两直线平行，内错角相等，可得∠6＝∠5，从而得出∠4＝∠5=∠6， 根据内错角相等，两直线平行即证结论. 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）利用等式的性质证明AC=BD，进而由“SSS”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 21．【答案】解：作QR∥AB，PL∥AB，∴RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD ∴∠RQM=∠BMQ，∠RQN=∠QND，∠MPL=∠BMP，∠NPL=∠PND， ∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND ， ∴∠PMB=3∠QMB ，∠PND=3∠QND ， ∵∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND， ∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND， ∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q. 【解析】【分析】作QR∥AB，PL∥AB，可得RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠RQM=∠BMQ，从而可得∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，同理可得∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，结合已知即可求出结论. 22．【答案】（1）50； （2）① 52.5 ；②m的值为15或35或45． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$